Aufgabe: Stellen Sie das Doppelintegral auf, mit dem Sie das

Aufgabe: Stellen Sie das Doppelintegral auf, mit dem Sie das Volumen eines
sechseckigen Bleistiftes der Länge l mit Radius 1 und einem Winkel von 90◦ an
der Spitze berechnen können.
Lösung: Man muss die Funktion
f (x, y) = l −
p
x2 + y 2
über einen sechseckigen
Bereich
in der x-y-Ebene integrieren. Das von den Ge√
√
raden y = 3x und y = 3(1 − x) und der x-Achse begrenzte Dreieck ist ein
Sechstel dieses Sechsecks. Somit kann das Volumen berechnet werden als
Z
V =
f (x, y) dµ(x, y)
Sechseck
Z
=6
f (x, y) dµ(x, y)
Dreieck
Z 1 Z ymax (x)
f (x, y) dy dx
=6
0
0
Die Funktion ymax (x) ist nur stückweise in den Intervallen [0, 21 ] und [ 21 , 1] definiert:
Z 1 Z √3x
Z 1 Z √3(1−x)
2
V =6
f (x, y) dy dx + 6
f (x, y) dy dx
0
Z
√
Z
=6
0
1
2
0
1
2
3x
0
1
Z
p
2
2
l − x + y dy dx + 6
3(1−x)
l−
1
2
0
√
Z
p
x2 + y 2 dy dx
0
Die Integration ist nicht einmal mit Mathematica in geschlossener Form direkt
möglich, es braucht einige Hilfe vom Benutzer, damit Mathematica eine Lösung
finden kann. Das Integral über y kann nur in eine einfache Form gebracht werden,
wenn man Mathematica gewisse zulässige Annahmen mitteilt:
f = Assuming[Im[a] == 0 && 0 < a && a < 1
&& Im[x] == 0 && x > 0,
Integrate[l - Sqrt[xˆ2 + yˆ2], {y, 0, a}]
]
Mathematica findet so für das y-Integral mit einer beliebigen oberen Grenze a die
Formel
!
√
2 + x2
1
a
+
a
1√ 2
a + x2 − x2 log
.
a l−
2
2
x
Nach Ersetzen der oberen Grenze a mit Hilfe des /.-Operators kann die x-Integration
für die beiden Teilintegrale erfolgen:
1
Simplify[ 6 (Integrate[f /. a -> Sqrt[3]x, {x, 0, 1/2}]
+ Integrate[f /. a -> Sqrt[3](1 - x), {x, 1/2, 1}])
]
Sie ergibt
1√
3(12l − 3 log(3) − 4).
8
Als Näherungswert für l = 10 findet man
V = 24.4012.
Aus diesem Resultat lässt sich übrigens auch das Volumen eines beliebig gespitzten sechseckigen
p Bleistifts bestimmen. Ein solcher würde durch die Funktion
f (x, y) = l − b x2 + y 2 beschrieben. Ist α der halbe Öffnungswinkel der kegelförmigen Spitze, dann ist b = cot α. Indem man die z-Achse um den Faktor
1
streckt, erhält man einen Bleistift mit rechteckiger Spitze, dieser hat jedoch nur
b
die Länge bl . Sein Volumen ist gemäss obigem Resultat
1√
l
3(12 − 3 log(3) − 4),
8
b
bei Strecken hat sich das Volumen aber auch um den Faktor
ungestreckte Bleistift hatte also das Volumen
1
b
verkleinert. Der
1√
3(12l − b(3 log(3) − 4)).
8
Als Spezialfall
finden wir auch das Volumen des ungespitzten Bleistifts für b = 0,
√
3
es ist 2 3l. Natürlich kann man dies auch direkt nachrechnen, denn die sechseckige Grundfläche besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge 1,
hat also den Flächeninhalt
√
√
1 · 23
3 3
6·
=
2
2
Im Falle der NZZ-Bleistift-Rakete ist α = 12.6◦ , also b = 4.47374 und l =
31.666r, wobei r = 7.8cm ist. Das Volumen ist daher
V =
1√
3(12 · 31.666 − 4.47374(3 log(3) − 4))7.83 = 35.688dm3 .
8
Eine von Hand leichter durchzuführende Lösung ergibt sich, wenn man den
Integranden in Polarkoordinaten als l − r schreibt. Das Integrationsgebiet kann
man zerlegen in zwölf Hälften eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge 1,
es reicht offensichtlich, die Integration über ein einziges dieser Dreiecke
√ durchzuführen. Wir wählen dazu das Dreieck mit den Ecken O = (0, 0), A = ( 3/2, 0)
2
√
und B = ( 3/2, 1/2), welche bei O einen Winkel von 30◦ hat. In Polarkoordinaten ist dieses Dreieck also durch Polarwinkel ϕ zwischen 0 und π6 beschrieben.
Um das Integral in Polarkoordinaten schreiben zu können, müssen wir zu jedem Winkel ϕ ∈ [0, π6 ] bestimmen, bei welchem Wert von r der Strahl von O mit
diesem Argument die Seiten AB trifft, den Schnittpunkt bezeichnen wir mit S.
Wir bezeichnen diesen Wert von r mit r(ϕ). Die Strecke OS ist die Hypothenuse
√
des rechtwinkligen Dreiecks OAS, die Ankathete ist OA mit Länge 23 . Daraus
folgt
√
√
OA
3
3
cos ϕ =
=
⇒
r(ϕ) =
2r(ϕ)
2 cos ϕ
OS
Damit kann das Integral zur Bestimmung des Volumens des Bleistifts geschrieben
werden als
Z π Z r(ϕ)
6
(l − r) r dr dϕ
V = 12
0
0
Z
π
6
= 12
0
Z
l 2 1 3
r − r
2
3
r(ϕ)
dϕ
0
π
6
l
1
r(ϕ)2 − r(ϕ)3 dϕ
3
0 2
√
Z π
6 l
3
1
3 3
·
− ·
dϕ
= 12
2
3 8 cos3 ϕ
0 2 4 cos ϕ
√ Z π
Z π
9l 6 dϕ
3 3 6 dϕ
=
−
2 0 cos2 ϕ
2 0 cos3 ϕ
!
√
π6
Z π
π
6
3 3
sin ϕ
1
dϕ
9l
+
= [tan ϕ]06 −
2
2
2
2 cos ϕ 0
2 0 cos ϕ
!
√
π6
h
π ϕ i π6
π
3
9l
3
sin
ϕ
1
= [tan ϕ]06 −
+
log tan
+
2
2
2 cos2 ϕ 0
2
4
2 0
√ π
sin π6
9l
π 3 3
1
π
= tan −
+
log
tan
+
2
6
2
2 cos2 π6
2
4 12
√ 9l 1
3 3
4
1
π
=
·√ −
+ log tan
2
2
4·3 2
3
3
√
√ √
3 3l 3 3 1 1
=
−
+ log 3
2
2
3 2
√
√
√
3 3l
3 3 3 log 3
=
−
−
,
2
2
8
= 12
was mit dem vorangehenden Resultat übereinstimmt.
3