Diskrete Differentialgeometrie-Operatoren auf

Thorsten Philipp Diskrete Differentialgeometrie-Operatoren auf triangulierten Mannigfaltigkeiten
Diskrete Differentialgeometrie-Operatoren auf
triangulierten Mannigfaltigkeiten
Thorsten Philipp
Department Mathematik - Technische Universität München
Abstract
In dieser Arbeit geht es darum wichtige geometrische Eigenschaften wie z.B. die Krümmung
auf beliebigen triangulierten Gittern zu diskretisieren. Dazu wird ein allgemeines Vorgehen
zur Diskretisierung der Operatoren vorgestellt, bei dem die Durchschnittsbildung von Voronoi
Zellen und die gemischten Finite Elemente und Finite Volumen Methoden verwendet werden. Diese Methode wenden wir dann an, um den Laplace-Operator und damit dann die
Krümmungen zu diskretisieren. Anschließend werden die Anwendungen der entwickelten Operatoren gezeigt und kurz erläutert wie die Operatoren für höhere Dimensionen erweitert
werden können.
1
Einleitung
In der Computergrafik benutzt man das sog. Meshing um eine gegebene Oberfläche durch eine
Triangulierung als Dreiecks-Gitter zu approximieren. Obwohl diese Methode sehr beliebt ist und
Dreiecks-Gitter sehr oft in der Computergrafik verwendet werden, gibt es keinen einheitlichen Weg
einfache geometrische Operatoren wie etwa den Normalenvektor oder die Krümmung auf einer
diskreten Oberfläche abzuschätzen.
Die Motivation einen dieser Wege zu finden, ist die Anwendung der diskreten Operatoren auf
dem Gitter. So kann man zum Beispiel die Gitterqualität überprüfen oder schlecht gescannte
3D-Objekte aufbessern. Genaueres gibt es dann im Kapitel 8.
Figure 1: (a) mittlere Krümmung farbig dargestellt, (b) Hauptkrümmungsrichtungen, (c,d)
Verbesserung des Gitters [7]
Auf jeden Fall ist deren Berechnung nicht trivial, obwohl die Gitter stückweise lineare Flächen
sind. Im Folgenden wird eine Einführung in die wichtigsten und bekannten Operatoren der Differentialgeometrie gegeben, die aber nur für stetige Flächen nutzbar sind. Daher werden in den darauf
folgenden Kapiteln eine Diskretisierung der Operatoren mit verschiedenen Methoden entwickelt.
1
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2
Grundlagen der Differentialgeometrie [1], [7], [8]
Eine Parametrisierung eines Flächenstücks ist eine auf einem Teil U ⊆ R2 der Ebene definierter
Graph (u, v) 7→ (u, v, f (u, v)) einer Funktion f : R2 → R. Eine reguläre Fläche ist dann eine Teilmenge S ⊂ R3 , sodass zu jedem Punkt s ∈ S eine Umgebung V ⊆ R3 und eine Parametrisierung
φ : U → V existiert.
Sei nun S eine reguläre Fläche und x ein Punkt auf S. Ist S lokal bei x durch eine reguläre
Parametrisierung φ : U → R3 mit x0 ∈ U ⊆ R2 und φ(x0 ) = x gegeben, dann ist das Bild der
Ableitung dφ(x0 ) : R2 → R3 ein zweidimensionaler Unterraum Tx S, den man die Tangentialebene
von S in x nennt. Ein Normalenvektor n steht dann orthogonal zur Tangentialebene.
Figure 2: Tangentialebene und Normalenvektor grafisch dargestellt [4]
Als Krümmung κ bezeichnet man die lokale Beugung bzw. die Richtungsänderung beim Durchlaufen einer Kurve. Die Normalenkrümmung κN (φ) ist für alle Einheitsrichtungen eφ in der Tangentialebene definiert als die Krümmung der Kurve, die sowohl zur Fläche, als auch zur Ebene, die
n und eφ enthält, gehört. Da κN (φ) in alle Richtungen verschieden ist, kann man zwei Extremwerte der Normalenkrümmung definieren. κ1 und κ2 bilden das Maxi- bzw. Minimum der Normalenkrümmung und werden als die zwei Hauptkrümmungen von S bezeichnet. Die zugehörigen
Richtungen e1 und e2 sind orthogonal zueinander. Den Durchschnitt aller Normalenkrümmungen
bezeichnet man mit der mittleren Krümmung
Z 2π
1
κH =
κN (φ)dφ.
(1)
2π 0
2)
Mit der Gleichung κN (φ) = κ1 cos2 (φ) + κ2 sin2 (φ) folgt κH = (κ1 +κ
. Als Gaußkrümmung
2
definiert man das Produkt der Hauptkrümmung κG = κ1 · κ2 .
Zu guter Letzt wird der Laplace-Beltrami Operator K definiert, der sehr wichtig in dieser Arbeit
ist und eine Verallgemeinerung des bekannten Laplace Operators auf Mannigfaltigkeiten ist. Daher
wird er analog berechnet als Divergenz des Gradienten.
Im Zusammenhang zum Laplace steht oft die ”Mittlere Krümmung Normale” K, die einen Punkt
P auf der Oberfläche auf den Vektor K(P ) = 2κH (P )n(P ) abbildet. Die Definition kann man auch
über Flächengebiete definieren, sodass sich für die mittlere Krümmung Normale
K=
lim
diam(A)→0
∇A
A
(2)
ergibt, wobei A ein kleines Gebiet um den Punkt P auf der Oberfläche ist und diam der Durchmesser.
G
Analog kann man auch die Gaußkrümmung definieren κG = limdiam(A)→0 AA , wobei AG das Gebiet des Bildes der Gaußabbildung ist.
2
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3
Diskrete Operatoren und deren Herleitung
Kommen wir zurück zur Thematik des Gitters. Ein Gitter ist eine lineare Approximation einer beliebigen Oberfläche. Da unseren obigen Definitionen der Operatoren auf stetige Flächen beruhen,
müssen wir diese auf diskrete Gitter erweitern. Hierzu betrachten wir die Fläche an jedem einzelnen
Knoten und bilden räumliche Durchschnittswerte um diesen Knoten. Auf Grund nicht vorhandener Glattheitsbedingungen, werden für die Durchschnittswerte alle Dreiecke in unmittelbarer
Nachbarschaft betrachtet. Dies nenn man oft den 1-Ring. Dieses Verfahren ist nur dann möglich
wenn die Durchschnittswerte konsistent sind und das Dreiecksgitter nicht degeneriert. Dadurch
konvergiert eine Eigenschaft an einem Knoten gegen die punktweise Definition. Zum Beispiel ist
dann die diskrete Gaußkrümmung
Z
1
κG dA,
(3)
κ̂G =
A A
wobei A ein geeignetes Gebiet um P ist.
Um diese räumlichen Durchschnittswerte der geometrischen Eigenschaften herzuleiten, verwenden
wir einen gemischten Ansatz von Finiten Elementen und Finite Volumen. Wir wollen lineare
Finite Elemente auf jedem Dreieck, was einer linearen Interpolation der 3 Ecken enspricht. Zu
jedem Knoten wählt man dann ein entsprechendes Flächenstück über dem man den Durchschnitt
bildet. Dies nennt man Finite Volumen.
Figure 3: Gebiet um einen Knoten mit Schwerpunkt der Nachbardreiecke [7]
Jedes dieser Gebiete hat vom Zentrum aus gesehen jeweils eine Ecke in jedem benachbartem
Dreieck und jede Kante dieses Gebiets geht durch den Mittelpunkt der Kante zweier benachbarter
Dreiecke. Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Eckpunkte des Gebietes zu wählen. Einmal kann
man den Schwerpunkt eines jeden Dreiecks nehmen. Das entstehende Flächengebiet nennt man
ABarycenter und kann es im obigen Bild sehen. Wählt man den Umkreismittelpunkt, treffen die
Kanten des Gebiets die Mittelpunkte senkrecht, da sich nach einem Satz aus der Geometrie alle
Mittelsenkrechten eines Dreiecks im Umkreismittelpunkt treffen. Das so entstandene Gebiet nennt
man Voronoizelle und somit AV oronoi und sieht man im nachfolgenden Bild.
Figure 4: Gebiet um einen Knoten mit Umkreismittelpunkt der Nachbardreiecke [7]
3
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Ist der Punkt beliebig wird das Gebiet mit AM bezeichnet. Durch die Wahl, dass die Kanten
durch den Mittelpunkt der Dreieckskanten geht, wird sicher gestellt, dass sich die Flächenstücke
nicht überlappen.
Figure 5: mehrere benachbarte Voronoigebiete, die nicht überlappen [9]
In den folgenden Kapiteln wird der Laplace-Beltrami Operator diskretisiert um damit die verschiedenen diskreten Krümmungen herzuleiten. Hierbei werden wir uns bei den Flächenstücken
auf die Voronoigebiete beschränken.
4
Diskreter Laplace-Beltrami Operator
Wie bei der Einführung des Laplace-Beltrami Operator schon erwähnt, ist dieser Operator eine
Verallgemeinerung des bekannten Laplace Operators auf Mannigfaltigkeiten. Berechnen lässt er
sich daher analog als Divergenz des Gradienten. Um den Laplace-Beltrami Operator auf einem
diskreten Gitter zu berechnen, wird der Ansatz des 5-Punkte Sterns der Finiten Differenzen Methode verwendet. Die Funktion f bildet dabei die Punkte (u,v) des Punktegitters auf die Mannigfaltigkeit S ab. Es gilt
f (u + 1, v) − f (u, v)
− 4f = −div∇f mit ∇f =
(4)
f (u, v + 1) − f (u, v)
Figure 6: 5-Punkte Stern der Finiten Differenzen Methode [9]
Mit der Formel für die Divergenz
divg = g1 (u, v) − g1 (u − 1, v) + g2 (u, v) − g2 (u, v − 1)
(5)
ergibt sich die i-te Komponente des Laplace
(−4f )i = − f (u + 1, v) + f (u, v) + f (u, v) − f (u − 1, v) − f (u, v + 1) + f (u, v)
+ f (u, v) − f (u, v − 1) = 4f (u, v) − f (u + 1, v) − f (u − 1, v)
X
− f (u, v + 1) − f (u, v − 1) =
(fi − fj ),
j∈N1 (i)
4
(6)
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wobei N1 (i) die Nachbarpunkte des Punktes i sind. In der Praxis existiert allerdings kein orthogonales Gitter, sondern beliebig andgeordnete Gitterpunkte.
Figure 7: nicht orthogonales Gitter [9]
Daher müssen wir die Formel des Laplace anpassen, indem wir die Differenzen geeignet gewichten.
X
(−4f )i =
wij (fi − fj )
(7)
j∈N1 (i)
Für den stetigen Laplace-Operator gelten eine Reihe von Eigenschaften aus [5] und [11], die er
erfüllt. Folglich sollte der diskrete Laplace so viele wie möglich dieser Eigenschaften haben, jedoch
gibt es keine Diskretisierung, die alle Eigenschaften erfüllt. Folgende Eigenschaften sollten gelten:
• Symmetrie: Der Laplace-Operator soll selbst-adjungiert sein. Das bedeutet wij = wji .
• Lokalität: Die Gewichte sollen 0 sein, wenn (i,j) keine Kante ist.
• positive Gewichte: positive Gewichte wij > 0 gewährleisten das Maximumsprinzip für diskrete
Funktionen. Das bedeutet,dass das Maximum nur am Rand angenommen wird.
• positive Semi-Definitheit
• lineare Genauigkeit: Lineare Genauigkeit sollte betrachtet werden um geeignetes Verhalten
von flachen Gittern zu erhalten. Wenn der Rand geradlinig in die Ebene eingebettet ist und
f eine konstante Funktion in dieser Ebene ist, dann gilt (4f )i = 0 an jedem inneren Knoten.
• Konvergenz: Geht die Gitterweite gegen 0, also wird das Gitter immer feiner, soll der diskrete
Laplace-Operator gegen den stetigen konvergieren.
Es gibt verschiedene Wahlen der Gewichte, die jeweils unterschiedlich viele der obigen Eigenschaften erfüllen. Die beliebteste Wahl sind die Cotangens-Gewichte, die nur die Eigenschaft der
positiven Gewichte verletzt, was wir später zeigen werden. Jedoch gibt es in der Praxis Tricks dies
zu vermeiden.
4.1
Bestimmen der Gewichte
Zur Herleitung der Gewichte werden die Ideen aus [2], [5] und [10]
R benutzt. Um die Gewichte
wij zu bestimmen, benutzen wir die Dirichlet-Energie E(f ) = 12 k∇f k2 , dessen Ableitung der
diskrete Laplace Operator ist, weil 4f = 0 die Bedingung für die Dirichlet-Energie ist, minimal
zu sein. Im Folgenden wird die diskrete Version der Dirichlet-Energie hergeleitet.
Zunächst betrachten wir ein einzelnes Dreieck z1 z2 z3 ∈ R2 mit Winkeln α1 ,α2 ,α3 und eine affine
Funktion f : R2 → R mit Werten f (zi ) = xi . Wollen nun den Gradienten von f berechnen.
Es gelten
f (z) =
1
(A(z2 , z3 , z)x1 + A(z3 , z1 , z)x2 + A(z1 , z2 , z)x3 )
A(z1 , z2 , z3 )
1
A(z1 , z2 , z3 ) = det(z2 − z1 , z3 − z1 )
2
1
A(zi , zj , z) = det(zj − zi , z − zi ),
2
5
(8)
(9)
(10)
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Figure 8: Flächen des Dreiecks [9]
wobei man einfach das Dreieck in 3 Dreiecke aufteilt und die Flächen mit den Funktionswerten
gewichtet. Setzt man als Extremwert die Ecken ein, kann man sehen, dass die Formel stimmt.
Formel (10) ist die allgemeine Flächenberechnung von Dreiecken.
Für den
Gradient der Funktion
0 −1
1
die 90◦ -Drehmatrix ist.
z → A(zi , zj , z) erhalten wir dann 2 J(zj − zi ), wobei J =
1 0
Bilden wir nun den Gradienten von Gleichung (8) nach der Variable z und setzen den Gradienten
der Flächen ein, erhalten wir
1
J(x1 (z3 − z2 ) + x2 (z1 − z3 ) + x3 (z2 − z1 ))
2A(z1 , z2 , z3 )
1
=
J(x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 ),
2A
∇f =
(11)
(12)
Figure 9: Winkel und Seiten des Dreiecks [9]
wobei durch die Linearität alles ausgeklammert werden kann und die Differenzen durch die
Seiten ai des Dreiecks ersetzt werden kann. Bildet man die Norm des Gradienten und quadriert
diese, erhält man gerade die Form, wie sie in der Dirichlet Energie vorkommt. Desweiteren kürzt
sich das orthogonale J raus und aus dem Normquadrat kann man Skalarprodukte schreiben:
k∇f k2 =
1
k(x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 k2
4A2
−ha1 ,a2 i−ha1 ,a3 i
−ha2 ,a3 i−ha2 ,a1 i
−ha3 ,a1 i−ha3 ,a2 i
z }| {
z }| {
z }| {
1
2
2
2
2
2
=
(x
ka
k
+x
ka
k
+x
ka3 k2
1
2
1
2
3
4A2
+ 2x1 x2 ha1 , a2 i + 2x2 x3 ha2 , a3 i + 2x3 x1 ha3 , a1 i)
1
(−ha1 , a2 i(x21 − 2x1 x2 + x22 )
=
4A2
− ha2 , a3 i(x22 − 2x2 x3 + x23 ) − ha3 , a1 i(x23 − 2x3 x1 + x21 ))
6
(13)
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Mit den Eigenschaften −ha1 , a2 i = ka1 kka2 k · cos α3 und 2A = ka1 kka2 k · sin α3 etc. und der
Anwendung der Binomischen Formeln folgt:
k∇f k2 =
1
(cot α3 · (x1 − x2 )2 + cot α1 · (x2 − x3 )2 + cot α2 · (x3 − x1 )2 )
2A
(14)
Setzen wir das Ergebnis in die Formel der Dirichlet-Energie ein, so erhalten wir:
Z
X 1Z
1
2
k∇f k dA =
k∇f k2 dA
2 A
2 zi zj zk
zi zj zk ∈F
=
X 1
j
k
i
(cot(αij
)(xi − xj )2 + cot(αjk
)(xj − xk )2 + cot(αki
)(xk − xi )2 )
4
z z z
(15)
i j k
=
1 X
k
l
(cot(αij
) + cot(αji
))(xi − xj )2 ,
4
zi zj ∈E
wobei bei der letzten Umformung benutzt wurde, dass man nicht nicht mehr über alle Dreiecke
summiert, sondern alle Kanten. Da jede Kante des Dreieckgitters immer zu genau 2 Dreiecken
gehört, betrachtet man gerade beide gegenüberliegenden Winkel der aktuellen Kante.
Figure 10: gegenüberliegende Winkel der aktuellen Kante [7]
Leiten wir nun den Ausdruck ab, erhalten wir den diskreten Laplace-Beltrami Operator:
(−4f )i =
4.2
1
2
X
(cot αij + cot βij )(xi − xj ),
(16) wobei gerade xi = f (zi ) ist.
zi zj ∈E
Eigenschaften und Konsistenz unseres diskreten Laplace-Operators
• Symmetrie: wij = wji ist für unseren Operator auf jeden Fall erfüllt, da die beiden Winkel
der Kante ij gleicher der Kante ji sind und man ebenso α und β vertauschen kann.
• Lokalität ist auch erfüllt, da nur über existierende Kanten summiert wird.
• positive Gewichte:
h4f, f (z)i = h4f, xi =
X
X X
(4f )i xi =
(cot αij + cot βij )(xi − xj )xi
i
=
X
zi zj ∈E
=
i
j∈N1 (i)
(cot αij + cot βij )(xi − xj )xi + (cot αij + cot βij ) (xj − xi ) xj
| {z }
=−(xi −xj )
X
zi zj
(cot αij + cot βij ) (xi − xj )2
| {z }
∈E
≥0
7
(17)
Thorsten Philipp Diskrete Differentialgeometrie-Operatoren auf triangulierten Mannigfaltigkeiten
Der Cotanges ist zwischen 0◦ positiv und 90◦ und zwischen 90◦ und 180◦ negativ. Daher ist
die Eigenschaft der positiven Gewichte nur für nicht-stumpfe Dreiecke erfüllt. Dies werden
wir bei der Berechnung der Voronoifläche näher betrachten.
• positive Semi-Definitheit folgt aus der Symmetrie und den positiven Gewichten
• lineare Genauigkeit und Konvergenz sind ebenfalls erfüllt [11]
Im Folgenden überprüfen wir die Konsistenz unseres diskreten Laplace-Operators mit dem aus der
Herleitung über den 5-Punkte-Stern.
Hierfür betrachten wir die Gitterpunkte xi und xj des 5-Punkte-Stern und sehen, dass die Winkel
gegenüber der Kante xi xj gerade 45◦ sind und daher der Cotangens gleich 1 ist. Da dies für alle
Nachbarpunkte xj gilt, können wir die Winkel in unseren diskreten Laplace-Operator einsetzten
und erhalten mit dem 12 vor der Summe gerade die Formel (6). Also erfüllt unser diskrete LaplaceOperator auch die vereinfachte Form des 5-Punkte Sterns.
(a) Winkel im 5-Punkte-Stern
(b) Winkel im 9-Punkte-Stern
Figure 11: [9]
Möchte man versuchen die Diskretisierung zu verbessern und somit nicht nur die orthogonalen
Nachbarn des Knoten xi betrachten, sondern auch die Diagonalen, kommt man auf folgendes
Ergebnis. Für Nachbarpunkte xj ändert sich nichts, da die Winkel weiterhin 45◦ betragen. Schaut
man auf die Knoten xk , so sind die gegenüberliegenden Winkel der Kante xi xk 90◦ . Der Cotangens
davon ist 0. Also sind die Gewichte aller Punkte xk 0 und fallen somit aus der Summe im LaplaceOperator raus. Folglich liefert der Laplace-Operator für den 9-Punkte-Stern das selbe Ergebnis
wie für den 5-Punkte-Stern.
5
Diskrete mittlere Krümmung
Um die diskrete mittlere Krümmung zu bestimmen, müssen wir den Laplace Operator nicht nur an
einem Punkt betrachten, sondern als Durchschnitt des Gebietes um diesen Punkt. Hierzu benutzen
wir das Voronoigebiet und integrieren den Laplace-Beltrami Operator über dieses.
Für das Integral der mittleren Krümmung Normale K(x) erhalten wir dann:
Z
Z
1 X
K(x)dA = −
4u,v xdudv =
(cot αij + cot βij )(xi − xj )
(18)
2
A
A
j∈N1 (i)
Um daraus die mittlere Krümmung Normale K(x) zu erhalten, wird zunächst die Fläche des
Voronoigebiets berechnet.
8
Thorsten Philipp Diskrete Differentialgeometrie-Operatoren auf triangulierten Mannigfaltigkeiten
5.1
Berechnung der Voronoifläche
Figure 12: Voronoigebiet eines Dreiecks [7]
Zur Flächenberechnung des Voronoigebiets betrachten wir ein nicht-stumpfes Dreieck P,Q,R des
Punktes P mit Umkreismittelpunkt O. Nicht-stumpfes Dreieck bedeutet, dass kein Winkel des
Dreiecks zwischen 90◦ und 180◦ ist. Dadurch wird sicher gestellt, dass das Voronoigebiet des
Knoten innerhalb der Nachbardreiecke liegt. Somit erfüllt man auch gleichzeitig die Eigenschaft
der positiven Gewichte, wie in Kapitel 4.2 erwähnt. Veranschaulichen kann man sich dies mit der
beiliegende Cinderella-Anwendung ”Voronoi.html”.
Der Teil des Voronoigebietes des Dreiecks ist im Bild grau hinterlegt. Mit der Eigenschaft der
Mittelsenkrechten ergeben sich folgende Winkeleigenschaften:
2α + 2β + 2γ = π und α =
π
π
− ^Q, γ = − ^R
2
2
(19)
Für das Voronoigebiet dieses Dreiecks erhalten wir mit der Flächenformel für Dreiecke:
AV oronoi (P ) =
1 1
1 1
· |P R| · d + · |P Q| · e,
2 2
2 2
(20)
wobei d und e die Gegenkatheten der grauen Dreiecke sind. Da der Tangens Gegenkathete durch
Ankathete ist, erhalten wir für d und e: d = 12 |P R| tan α, e = 21 |P Q| tan γ.
Setzen wir für die Winkel die obige Winkeleigeschaften (19) ein, so ergibt sich: tan α = tan( π2 −
^Q) = − cot(−^Q) = cot(^Q), sowie für tan γ analog. Folglich lässt sich die Fläche (20) schreiben
als:
1
AV oronoi (P ) =
|P R|2 cot ^Q + |P Q|2 cot ^R
(21)
8
Da das Voronoigebiet aus allen Nachbarschaftsdreiecken eines Knoten xi besteht, summieren wir
nun über das gesamt Gebiet des 1-Ring und erhalten die komplette Fläche eines Voronoigebiets
des Knoten xi :
1 X
AV oronoi =
(cot αij + cot βij )kxi − xj k2
(22)
8
j∈N1 (i)
Natürlich kann man das Gebiet auch für stumpfe Dreiecke berechnen. Es muss weiterhin gelten, dass die Finite Volumen Region durch die Mittelpunkte der Kanten geht. Wir definieren
ein neues Gebiet Amixed , indem wir für jedes nicht-stumpfe Dreieck wie gewohnt den Umkreismittelpunkt benutzen und für stumpfe Dreiecke den Kantenmittelpunkt gegenüber des stumpfen
Winkels verwenden. Durch diese Definition liegen die Gebiete immernoch innerhalb des 1-Ring
und überlappen sich nicht, jedoch muss man bedenken, dass dann nicht mehr die Eigenschaft der
positiven Gewichte des diskreten Laplace-Operators erfüllt ist.
Wenn wir nun auf das Integral der mittleren Krümmung Normale zurückkommen:
Z
1 X
(cot αij + cot βij )(xi − xj ),
(23)
K(xi )dA =
2
A
j∈N1 (i)
so erhalten wir K(xi ), indem wir die rechte Seite durch A teilen. Dafür können wir die gerade
berechnete Fläche des Voronoigebiets AV oronoi benutzen, oder Amixed , falls das Gitter stumpfe
9
Thorsten Philipp Diskrete Differentialgeometrie-Operatoren auf triangulierten Mannigfaltigkeiten
Dreiecke enthält. Die diskrete mittlere Krümmung κH ist dann die Hälfte von K(xi ).
Diskrete mittlere Krümmung eines Knoten xi :
κH (xi ) =
6
1
X
4Amixed
(cot αij + cot βij )(xi − xj )
(24)
j∈N1 (i)
Diskrete Gaußkrümmung
Wir wollen in diesem Abschnitt das Integral der Gaußkrümmung κG über einem Gebiet A, auch
genannt Finite Volumen Gebiet, berechnen. Hierzu benutzen wir den Satz von Gauß-Bonnet:
Z
X
κG dA = 2π −
j ,
(25)
A
j
mit j den äußeren Winkeln am Rand des Gebietes.
Figure 13: äußere Winkel am Voronoigebiet [7]
Wenden wir diese Formel auf unsere Voronoiregion an, so sind die äußeren Winkel an den
Kantenübergängen gleich 0 und an den Umkreismittelpunkten gleich Θj , was dem Winkel am
inneren Knoten des Dreiecks entspricht.
Figure 14: äußerer Winkel gleich innerer Winkel am Voronoigebiet [9]
Somit ergibt
P sich für das Integral der Gaußkrümmung für nicht-stumpfe Triangulierungen die
Form 2π − j Θj .
Wieder gibt es auch eine Formulierung für gemischte Gebiete, um auch stumpfe Dreiecke in der
Triangulierung betrachten zu können.
Daraus ergibt sich der diskrete Gaußkrümmungsoperator:
P
(2π −
Θj )
j∈N1 (i)
κG (xi ) =
Amixed
mit Θj : Winkel des j-ten Dreiecks am Knoten xi .
10
(26)
Thorsten Philipp Diskrete Differentialgeometrie-Operatoren auf triangulierten Mannigfaltigkeiten
7
Diskrete Hauptkrümmungen
Zu guter Letzt wollen wir noch die 2 Hauptkrümmungen bestimmen. Da wir die mittlere sowie
die Gaußkrümmung bereits in den vorherigen Kapiteln berechnet haben, lassen sich daraus einfach
2)
und κG = κ1 ·κ2 ergibt sich:
die Hauptkrümmungen bestimmen. Mit den Gleichungen κH = (κ1 +κ
2
p
4(xi )
p
κ2 (xi ) = κH (xi ) − 4(xi )
κ1 (xi ) = κH (xi ) +
(27)
(28)
mit 4(xi ) = κ2H (xi ) − κG (xi ) und κH (xi ) = 12 kK(xi )k.
Für κH und κG kann man dann die diskreten Operatoren (24) und (26) einsetzen. Sollte die
Diskriminante nicht positiv sein, so muss diese auf 0 gesetzt werden.
8
Anwendungen
Eine Andwendung unserer Operatoren ist die geometrische Qualitätsüberprüfung von Gittern.
Figure 15: mittlere Krümmung des Pferdegitters farbig dargestellt [7]
Gitter sollen mit hoher Qualität erzeugt werden, jedoch ist das nicht immer ganz einfach, oder
sehr aufwendig. Mit unseren Operatoren kann man Krümmungsplots erstellen, indem man den
verschiedenen Krümmungen Farben zuordnet. Hierdurch kann man Probleme direkt an den Farben
des Gitters erkennen.
(a) mittlere Krümmung
(b) Gaußkrümmung
Figure 16: verschiedene Krümmungen des Gitters des VW Käfer [8]
11
Thorsten Philipp Diskrete Differentialgeometrie-Operatoren auf triangulierten Mannigfaltigkeiten
Eine weitere Anwendung ist die Rauschunterdrückung und Erweiterung eines Gitters, wenn z.B.
die Qualität des Gitters nicht ausreicht. Eine Möglichkeit ist die Isotrope Formglättung, bei der das
Rauschen durch einen mittleren Krümmungsfluß verteilt wird, indem man das Oberflächengebiet
minimiert. Ein Problem dieser Methode ist, dass man durch die Glättung des Gitters das Rauschen
zwar verbessert, jedoch scharfe Ecken des Gitters nicht erhalten bleiben. Eine Alternative ist daher
die anisotrope Glättungstechnik. Um die Merkmale des Gitters zu erhalten, wie z.B. scharfe Ecken,
führt man einen gewichteten mittleren Krümmungsfluß ein, der Knoten bestraft, die ein größeres
Verhältnis zwischen ihren 2 Hauptkrümmungen haben.
Figure 17: verauschter Würfel mit isotroper Glättung in der Mitte und anisotrope rechts [7]
Am Beispiel des obigen Bildes, sieht man eine stark verrauschten Würfel. Wendet man isotrope
Glättung an, verbessert sich zwar das Bild, jedoch werden die Ecken rund. Mit der anisotropen
Methode sieht man, dass die Kanten und Ecken erhalten bleiben.
9
Diskrete Operatoren in nD
Bis jetzt waren unsere 2-Mannigfaltigkeiten im 3D eingebettet. Nun möchten wir unsere Operatoren für 2-Mannigfaltigkeiten im nD betrachten.
Für den Laplace-Beltrami Operator betrachten wir das Gebiet eines Dreiecks in 3D: 2A = ku × vk,
dass durch die Vektoren u und v aufgespannt wird. Wir können diese Formel auch verallgemeinern,
sodass sie für nD gilt:
A=
p
1
1p
1
kuk2 kvk2 − (u · v)2
kukkvk sin(u, v) = kukkvk 1 − cos2 (u, v) =
2
2
2
(29)
Zusammen mit der Cotangens-Formel im nD und der Einstein’schen Summationsnotation, können
wir den Gradient des 1-Ring berechnen und erhalten die selbe Gleichung (16) wie im 3-Dimensionalen.
Der Operator für die Gaußkrümmung ist im nD der Gleiche, wie aus dem bereits bekannt Fall 3D.
Dies liegt daran, dass dieser Operator ein Attribut der 2-Mannigfaltigkeit ist und nicht von der
Einbettung abhängt.
Betrachtet man den Laplace-Beltrami-Operator für 3-Mannigfaltigkeiten im nD, muss man zunächst
den mittlere Krümmungsoperator auf 3-dimensionale Volumen erweitern. Anschließend kann man
für diese neue 3-Mannigfaltigkeit den Gradienten des 1-Ring berechnen, um so den LaplaceBeltrami-Operator zu erhalten.
Ebenfalls kann man die Theorie der Rauschunterdrückung auf höhere Dimensionen erweiteren,
indem man die erweiterten Operatoren verwendet.
10
Zusammenfassung
In dieser Arbeit ging es darum einen Weg zu finden Operatoren aus der Differentialgeometrie zu
diskretisieren, um sie dann auf Gittern anwenden zu können. Dies ermöglicht 3D Objekte zu untersuchen, da diese durch eine Triangulierung approximiert werden. Einer dieser Anwendungen,
die vorgestellt wurden, sind die Qualitätsüberprüfung der Gitter oder die Gitterverbesserung z.B.
schlecht gescannter Objekte.
Zunächst wurde im ersten Kapitel die Grundlagen der Differentialgeometrie inklusive aller nützlichen
12
Thorsten Philipp Diskrete Differentialgeometrie-Operatoren auf triangulierten Mannigfaltigkeiten
Krümmungen eingeführt und anschließend vorgestellt wie man diese Operatoren diskretisieren
kann. Dafür wählt man ein geeignetes Gebiet um einen festen Knoten und bildet den Durchschnitt über das gesamt Gebiet. Im wesentlichen gab es zwei Möglichkeiten das Gebiet zu wählen.
Einmal den Schwerpunkt und einmal den Umkreismittelpunkt der Nachbardreiecke. Im nächsten
Kapitel wurde der diskrete Laplace-Beltrami mit Hilfe von Finite Differenzen Methoden und der
Dirichlet Energie berechnet. Dieser wird gebraucht um dann die diskrete mittlere Krümmung zu
bestimmen. In diesem Kapitel wurde auch noch gezeigt, wie man konkret die Fläche des Voronoigebietes herleitet. Schließlich wurden dann noch die Abschätzungen für die Gaußkrümmung, Hauptkrümmungen und Hauptrichtungen hergeleitet.
Im letzten Abschnitt dieser Arbeit, wurde kurz angeregt, wie man die Operatoren auf höhere
Dimension erweitert.
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