Mechanismus Design Auktionen

Einführung
Hölländisch vs. Erstpreis
Englisch vs. Zweitpreis
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Optimale Auktion
Erweiterungen
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Auktionen
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Alexander Staus
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Hölländisch vs. Erstpreis
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Welche Auktionen kennen Sie?
traditionelle Auktionshäuser
eBay
Immobilien
Fahrräder
Blumen
UMTS (50,8 Mrd. Euro)
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Ziele
Unterschiedliche Auktionsformen kennenlernen
Vergleich der Auktionsformen
Optimale Strategien herleiten
Die “optimale” Auktionsform
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Warum Auktionen?
Schnelligkeit der Abwicklung
Offenlegung der wahren Wertschätzungen
Vermeidung des Moral Hazard Problems: Agent wird von
Verkäufer eingesetzt
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Hölländisch vs. Erstpreis
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Optimale Auktion
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Vier Auktionen im Überblick
Englische Auktion: Potentielle Käufer bieten solange, bis
nur noch ein Bieter übrig bleibt. → mündlich, sequentiell
Hölländische Auktion: Auktion beginnt mit hohem Preis,
verringert sich, bis ein erster Bieter sich meldet.
→ mündlich
Erstpreis-Auktion: Die Gebote werden verdeckt
abgegeben (z.B. Briefumschlag). Den Zuschlag erhält das
höchste Gebot für den gebotenen Preis.
→ geheim, simultan
Zweitpreis-Auktion: Die Gebote werden verdeckt
abgegeben. Den Zuschlag erhält das höchste Gebot für
den Preis des zweithöchsten Gebots. → geheim, simultan
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Optimale Auktion
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Annahmen
ein einziges unteilbares Gut
zwei Bieter i, j
jeder Bieter kennt seine Bewertung
Bewertungen der Bieter sind unabhängig identisch und
stetig verteilt
Bieter und Verkäufer sind risikoneutral
Bewertung des Verkäufers ist Null
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Allgemein
Wertschätzung des Bieters i für das Gut: vi
Preis, der für das Gut gezahlt wird: p
Nettonutzen des Bieters i: Ui = vi − p
Bieter maximieren Nutzen Ui
Wertschätzung der Bieter wird aus Gleichverteilung mit
Wertebereich [0, 1] gezogen
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Exkurs: Gleichverteilung
Abbildung: Diskrete Gleichverteilung
.1667
.1667
.1667
.1667
.1667
.1667
1
2
3
4
5
6
0
.1
Wahrscheinlichkeit
.2
.3
.4
.5
Wahrscheinlichkeitsverteilung (1 x würfeln)
Augenzahl
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Exkurs: Gleichverteilung
Abbildung: Stetige Gleichverteilung allgemein
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Optimale Auktion
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Exkurs: Gleichverteilung
Abbildung: Stetige Gleichverteilung zwischen 0 und 1
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Optimale Auktion
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Hölländische Auktion vs. Erstpreis-Auktion
Es muss der Preis bezahlt werden, der geboten wurde.
⇒ strategisch äquvalent!
Sollte Bieter i ein Gebot bi abgeben, das seiner
Wertschätzung vi entspricht?
⇒ Da der Preis, der für das Gut zu zahlen ist, genau dem
Gebot von i entspricht (bi = p), wäre der Nettonutzen von
Bieter i: Null (Ui = vi − p = vi − bi = 0).
Je geringer das Gebot (bi ) von Bieter i, desto höher sein
Nettonutzen.
Je geringer das Gebot von i, desto wahrscheinlicher, dass
ein anderer Bieter j den Zuschlag für das Gut erhält.
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Optimale Auktion
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Vollständige Information
Beispiel
2 Bieter i, j mit Wertschätzungen vi = 0, 7 und vj = 0, 2.
Für ein Gebot von bi = 0, 7 wäre der Nettonutzen Null.
Strategisch sinnvoll für i bis zu einer -Einheit über 0, 2 zu
warten und dann zu bieten.
Nettonutzen von i: Ui = 0, 7 − 0, 2 = 0, 5
Nettonutzen von j: Uj = 0
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Optimale Auktion
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Unvollständige Information
Jeder Bieter kennt nur seine eigene Wertschätzung vi und
die Verteilung, aus der die Wertschätzungen gezogen
werden.
Jedem Bieter ist die Anzahl der Mitbieter bekannt.
Jeder Bieter maximiert seinen erwarteten Nutzen E[Ui ].
max E[Ui ] = (vi − bi ) · Prob{bi > bj (vj )}
⇒ Prob{bi > bj } ist die Wahrscheinlichkeit, dass das
Gebot von Bieter i über dem Gebot von Bieter j liegt.
Gebot ist eine lineare Funktion der Wertschätzung:
bi = αi · vi , mit 0 ≤ αi ≤ 1, gleiches gilt für j.
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Hölländisch vs. Erstpreis
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Optimale Auktion
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Unvollständige Information
Maximierung des Nutzens
max E[Ui ] = (vi − bi ) · Prob{bi > bj (vj )}
max E[Ui ] = (vi − bi ) · Prob{bi > αj · vj }
max E[Ui ] = (vi − bi ) · Prob{bi /αj > vj }
max E[Ui ] = (vi − bi ) · bi /αj
∂E[Ui ]
vi − 2bi !
=
=0
∂bi
αj
bi = 21 vi
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Optimale Auktion
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Optimale Bietstrategie - Unvollständige Information
Bei zwei Bietern ist die optimale Bietstrategie die Hälfte
seiner Wertschätzung zu bieten: bi = 12 vi .
* Die Wahrscheinlichkeit der Bieter mit der höchsten
Wertschätzung zu sein sinkt.
* Der Nutzen bei Zuschlag steigt.
→ Dieser trade off führt zum Gebot der halben
Wertschätzung.
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Optimale Auktion
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n Bieter - Unvollständige Information
Bei n Bietern ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gebot i
über allen anderen Geboten liegt: bin−1
max E[Ui ] = (vi − bi ) · bin−1 = vi bin−1 − bin
∂E[Ui ]
∂bi
= (n − 1)vi bin−2 − nbin−1 = 0
bi =
n−1
n vi
⇒ Je mehr Teilnehmer an der Auktion, desto höher das
eigene Gebot.
Der erwartete Nutzen eines Bieters i:
n−1
= n1 vin
E[Ui ] = (vi − bi ) · vin−1 = (vi − n−1
n vi ) · vi
⇒ Je mehr Teilnehmer, desto geringer E[Ui ].
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Optimale Auktion
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Englische Auktion vs. Zweitpreis-Auktion
Es wird der Preis des zweithöchsten Gebots, bzw. eine
-Einheit mehr, bezahlt.
⇒ strategisch äquvalent!
Bei vollständiger Information
Beispiel
2 Bieter i, j mit Wertschätzungen vi = 0, 7 und vj = 0, 2.
Bei Zweitpreis-Auktion: bi = 0, 7, es muss nur 0,2 gezahlt
werden.
Bei englischer Auktion: i bietet eine epsilon-Einheit über
0,2 und erhält Zuschlag.
Nettonutzen in beiden Fällen: Ui = 0, 5
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Hölländisch vs. Erstpreis
Englisch vs. Zweitpreis
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Optimale Auktion
Erweiterungen
Unvollständige Information
Jeder Bieter kennt nur seine eigene Wertschätzung vi und
die Verteilung, aus der die Wertschätzungen gezogen
werden.
Jedem Bieter ist die Anzahl der Mitbieter bekannt.
Jeder Bieter maximiert seinen erwarteten Nutzen E[Ui ].
max E[Ui ] = (vi − bj ) · Prob{bi > bj (vj )}
Gebot ist eine lineare Funktion der Wertschätzung:
bi = αi · vi , mit 0 ≤ αi ≤ 1, gleiches gilt für j.
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Englisch vs. Zweitpreis
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Optimale Auktion
Erweiterungen
Unvollständige Information
Maximierung des Nutzens
max E[Ui ] = (vi − bj ) · Prob{bi > bj (vj )}
max E[Ui ] = (vi − bj ) · Prob{bi > αj · vj }
max E[Ui ] = (vi − bj ) · Prob{bi /αj > vj }
max E[Ui ] = (vi − bj ) · bi /αj
vi − bj !
∂E[Ui ]
=
=0
∂bi
αj
bj = vi
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Hölländisch vs. Erstpreis
Englisch vs. Zweitpreis
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Optimale Auktion
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Unvollständige Information
Optimale Strategie: Wertschätzung des jeweils anderen
bieten.
Da unbekannt und man nur zweithöchstes Gebot zu zahlen
hat, kann man bi = vi setzen und E[Ui ] wird maximal.
Bei n Bietern: gleiches Ergebnis wie bei Holländischer
bzw. Erstpreis-Auktion.
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Erlöse des Verkäufers bei 2 Bietern
Beispiel
2 Bieter ziehen aus einer Gleichverteilung ihre
Wertschätzung.
Im Erwartungswert wird 1/3 und 2/3 gezogen.
Erlös bei Englischer Auktion: zweithöchstes Gebot = 1/3.
Erlös bei Holländischer Auktion: Hälfte der höchsten
Wertschätzung
⇒ 1/2 · 2/3 = 1/3.
Erwarteter Preis in beiden Fällen: 1/3
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Optimale Auktion
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Erlöse des Verkäufers bei n Bietern
n Bieter teilen die Gleichverteilung in n + 1 gleichgroße
Teile.
Erwartungswert der hohen Wertschätzung:
n
n+1 .
Bei Holländischer/Erstpreis Auktion: Preis = Gebot
n−1 n
n−1
E[bi ] = n−1
n E[vi ] = n n+1 = n+1
Bei Englischer/Zweitpreis Auktion: Preis = zweithöchste
Wertschätzung
n−1
n+1
Bei allen vier Auktionsarten sind die Erlöse gleich.
⇒ Revenue Equivalence Theorem
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Hölländisch vs. Erstpreis
Englisch vs. Zweitpreis
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Optimale Auktion
Erweiterungen
Die optimale Auktion für den Verkäufer
Bei nur einem Bieter: E[vi ] = 0, 5
⇒ Bei allen Auktionen: E[Preis] = 0 → nicht optimal
Optimaler Preis bei einem Bieter: 0,5
Erlös größer; Wahrscheinlichkeit sinkt, dass das Gut
verkauft wird.
Bei n Bietern: Mindestpreis in Höhe von pmin =
vs +1
2 .
Durchschnitt zwischen der Wertschätzung des Verkäufers
(vs ) und der maximal möglichen Wertschätzung (1).
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Englisch vs. Zweitpreis
Erlöse
Optimale Auktion
Erweiterungen
Beispiel - eBay
Mischung zwischen Englischer Auktion und
Zweitpreis-Auktion, da zeitlich begrenzt.
Mindestpreise manchmal gegeben
Optimale Strategie:
kurz vor Ende maximale Wertschätzung angeben
um die Mittagszeit herum
Erwarteter Preis: -Einheit (hier: 50 cent) über der
zweithöchsten Wertschätzung.
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Hölländisch vs. Erstpreis
Englisch vs. Zweitpreis
Erlöse
Optimale Auktion
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Erweiterungen
Unterschiedliche oder andere
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wertschätzungen nicht unabhängig voneinander
Asymmetrische Information über den wahren Wert des
Guts
⇒ “winner’s curse” (z.B. Ölförderungsrechte)
Risikoaverse Bieter (Holländische/Erstpreis führen zu
höherem Preis)
n
Verkäufer ändert Gebote: wi = n−1
bi
n−1
Bei bi = n vi erhält Verkäufer wahre Wertschätzung vi
Jede Auktion kann entsprechend modifiziert werden
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