Zusammenfassung Theoretische Elektrodynamik

Zusammenfassung Theoretische Elektrodynamik
Vorerst klausurrelevanter Teil
Grundlage: Vorlesungsskript Prof. Lederer
Mario Chemnitz
24. April 2008
1
Elektrostatik
Der Übersichtlichkeit halber werden folgende Konstanten definiert:
k0 :=
1.1
1
;
4πε0
1
;
4πε0 ε
kr :=
m0 := m0
Coulomb-Kraft und elektrisches Feld
• Kraft zwischen Ladungen q
F~i = k0 qi
X
i6=j
qj
~ri − ~rj
|~ri − ~rj |3
• Abstraktion von qi zur Probeladung
X
X
F~i
~r − ~rj
~ r) = k0
~j
= E(~
=
E
qj
3
qi →0 qi
|~
r
−
~
r
|
j
j
j
lim
→ Superpositionsprinzip
• Übergang zur kontinuierlichen Ladungsverteilung
Z
Q = ρ(~rρ ) dVρ
V
~ r) = k0
=⇒ E(~
Z
1
ρ(~r)
~r − ~rρ
dVρ
|~r − ~rρ |3
• Punktladungswolke:
ρ(~rρ ) =
P
qi δ(~r − ~ri )
i
• Flächenladungsdichte:
• Linienladungsdichte:
1.2
dQ = η(~rη ) dfη
dQ = ξ(~
rξ ) dlξ
Gauß’sches Durchflutungsgesetz
(Integrale Formulierung der ersten Maxwell-Gleichung (MWGl) der E-Statik)
1.MWGl:
~ =ρ
ε0 div E
→ Bedeutung: Die Ladungen sind die Quellen der E-Felder.
Integration der MWGl über ein Volumen V mit dem glatten Rand ∂V und Anwendung des Gauß’schen Satzes ergibt das gesuchte Durchflutungsgesetz:
Z
Z
ρ(~r) dV = QV = ε0
V
1.3
Da
~ r) df~
E(~
∂V
Elektrostatisches Potential
~
r−~
rρ
|~
r−~
rρ |3
1
= −gradr |~r−~
lässt sich das E-Feld als Gradientenfeld schreiben:
rρ |
~ r) = −grad φ(~r)
E(~
Zr
⇐⇒
φ(~r) = −
~ r~0 ) dr~0
E(
Z
mit
φ(~r) = k0
∞
V
Aus physikalischen Gründen folgen natürlichen Randbedingungen: φ(~r → ∞) =
0
1.4
Arbeit im E-Feld und die 2.MWGl der E-Statik
Zr2
W =−
r1
F~ (~r) d~r = q
Zr2
grad φ(~r) d~r = q(φ(~r2 ) − φ(~r1 )) = q · U
r1
→ Integral ist wegunabhängig ⇒ konservatives Zentralkraftfeld
2
ρ(~r)
dV
|~r − ~rρ |
→ Da die elektrostatische Kraft konservativ ist, wird bei einer Integration über
eine geschlossenen Kurve keine Arbeit verrichtet:
I
~ r) d~r = 0
E(~
C
Dieser Ausdruck ist die Integrale Formulierung der zweiten Maxwell-Gleichung
der E-Statik. Die Anwendung der Stoke’schen Satzes liefert die diffenzielle Form:
~ r) = 0
rot E(~
→ Bedeutung: Das elektrostatische Feld ist wirbelfrei.
1.5
E-Feld geladener Flächen
1.Fall: ρext = 0
Somit gilt für das einseitige E-Feld einer unendlich groen, ebenen, homogen
geladenen Fläche:
η
E=
2ε0
(η...Flchenladungsdichte)
2. Fall: ρext 6= 0
Fläche)
⇒
~ 1, E
~ 2 (E-Felder vor (1) und nach (2) der geladenen
E
Im Folgenden wird also ein E-Feld beim Durchgang durch die geladene Fläche
betrachtet. Vorerst wird das E-Feld zweckmäßig in eine (bzgl. der Fläche) Normalund Tangentialkomponente zerlegt:
~i = E
~i + E
~i
E
n
t
a) Normalkomponenten an der Grenzfläche:
Konstruktion eines Gauß’schen Kästchens mit dem Volumen ∆V = ∆F · ∆x:
Z
Z
η Gauß
η
~
~
~
div E =
−→
E df =
dV
ε0
ε0
∂∆V
∆x→0
−→ ∂∆V → ∆F ;
dV → ∆F
3
∆V
~ n2 − E
~ n1 )∆F = η ∆F
=⇒ (E
ε0
~ n1 = η
~ n2 − E
E
ε0
η = const
Wenn η(~r) inhomogen ist, kann für kleine betrachtete Flächen η(~r) als lokal
homogen angenommen werden.
b) Tangentialkomponenten an der Grenzfläche:
Konstruktion einer Stoke’schen Fläche mit dem Inhalt ∆F = ∆l · ∆x:
I
Stokes
~ = 0 −→
~ r) d~r = 0
rot E
E(~
∂∆F
∆x→0
−→ ∂∆F → ∆l
=⇒
~ 1 )∆l = 0
~ t2 − E
(E
t
~2 − E
~1 = 0
E
t
t
1.6
Der elektrische (Punkt-)Dipol
• Dipolmoment:
p~ = q→∞
lim q · ~a
~a→~0
• Dipolpotential:
φD (~r) = k0 p~
~r − ~rρ
1
=
−k
p
~
·
grad
0
r
|~r − ~rρ |3
|~r − ~rρ |
• Dipolfeld:
~ D (~r) = −grad φD (~r) ≈ k0
E
p~
3(~rp~)~r
~r
− 3 = −k0 (~p · grad) 3
5
r
r
r
• Ladungsdichte eines PDs bei r~0 :
ρD (~r) = −~p · grad δ(~r − r~0 )
• Dipoldichte einer Summe aus PDs:
X
P~ (~r) =
p~i · δ(~r − ~ri )
⇒
ρD (~r) = −div P~ (~r)
i
~ ausschließlich auf die
Da p~i = const, wirkt der Nabla-Operator (div = ∇)
Dirac-Distribution.
4
1.7
Grundaufgaben und Lösungen der E-Statik
Abs.1.3
~ =ρ
ε0 div E
→
∆φ(~r) = −
ρ(~r)
ε0
Die Berechnung der Ladungverteilung ρ aus dem E-Feld oder dem Potential ist
mit den obigen Gleichungen trivial. Die eigentliche Grundaufgabe besteht in der
Lösung dieser Poissongleichung, d.h. der Berechnung des skalaren Potentials aus
der Ladungsverteilung. Zur Lösung dieser wird das mathematische Konstrukt der
Green’schen Funktion (GF) bemüht. Es gilt allgemein
Z
φ(~r) =
G(~r, r~0 ) ρ(r~0 )dV
V
wobei an die GF folgende Bedingung gestellt wird:
ε0 ∆G0 (~r, r~0 ) = −δ(~r − r~0 ).
Das Problem beschränkt sich also auf das Auffinden einer passenden GF, die den
Randbedingungen des Problems genügt. In diesem Sinne kann die GF als Abstraktion des Potentials auf das einer Punktladung mit der Ladung Eins betrachtet
werden. Diese Aussage beruht auf dem folgenden mathematischen Zusammenhang, denn da
1
1
δ(~r − r~0 ) = − ∆
4π |~r − r~0 |
folgt
G0 (~r, r~0 ) =
1
1
.
4πε0 |~r − r~0 |
Die nun eigentlich gesuchte GF besitzt jedoch noch einen weiteren additiven
Term F (~r, r~0 ), in dem die passenden Randbedingungen eingearbeitet sind und
der folgenden Bedingung genügen muss:
∆F (~r, r~0 ) = 0
Diese Bedingung rührt daher, da die Beziehung ε0 ∆G(~r, r~0 ) = −δ(~r − r~0 ) gelten
soll. Somit haben wir als allgemeine GF
G(~r, r~0 ) = G0 (~r, r~0 ) + F (~r, r~0 ).
5
1.8
Multipolentwicklung
Im Fernfeld (~r → ∞) wird die Ausdehnung der Ladungsverteilung klein gegen
den Abstand des Betrachtungspunktes. Unter diesen Voraussetzungen ist eine
Multipolentwicklung zur Vereinfachung des Potentials möglich. Im vereinfachten
Sinne kann man unter einer Multipolentwicklung eine Taylorpolentwicklung nach
r~0 verstehen.
∞
(l)
~0 ) T aylor X
∂
G
(~
r
,
r
0
x0r1 · x0r2 . . . x0rl
G0 (~r, r~0 ) ≈
∂ r~0 1 ∂ r~0 2 . . . ∂ r~0 l ~0
l=0
r =0
Notation:
G0 (~r, r~0 ) ≈
=
∞
X
(−1)n
l=0
∞
X
l=0
n!
3
X
x0j
j=1
∂
· 0
∂xj
!n
G0 (~r)
(−1)n ~0 ~ 0 n
r · ∇ G0 (~r)
n!
Somit folgt für das Potential
φ(~r) ≈
∞
X
φl (~r) = k0
l=0
∞
X
Q~r
r2 ...~
rl
1~
l=0
l! r2l+1
xr1 · xr2 . . . xrl
mit dem Multipoltensor der l-ten Stufe
l
Z
Q~r1~r2 ...~rl := 4πε0 (−1)
ρ(r~0 ) r02l+1
Vρ
∂ (l) G0 (r~0 )
dV 0 .
0
0
0
~
~
~
∂ r 1∂ r 2 . . . ∂ r l
Teilentwicklungen:
• l = 0:
Q
r
⇒ Monopolmoment entspricht der Gesamtladung Q.
φ0 (~r) = k0
Z
Q :=
Vρ
6
ρ(r~0 ) dV 0
• l = 1:
Qi xi
p~ · ~r
= k0 3
3
r
r
φ1 (~r) = k0
⇒
∂Q
∂~
r
entspricht dem Dipolmoment p~.
Z
p~ :=
ρ(r~0 ) r~0 dV 0
Vρ
• l = 2:
φ1 (~r) =
⇒ Der Tensor 2. Stufe
Dij .
∂2Q
∂~
xi ∂~
xj
Z
Dij :=
k0 Qij xi xj
2
r5
= Qij entspricht dem Quadrupolmoment
ρ(r~0 )(3x0i x0j − r02 δij ) dV 0
Vρ
Eigenschaften des Quadrupoltensors:
– Symmetrie: Dij = Dji
– Spurfreiheit: Spur(Dij ) =
3
P
Dii = 0
i=1
1.9
Elektrostatische Energie
• Gesamtenergie eines Systems aus Punktladungen:
W =q·U
N
N
k0 X X Qi Qj
W =
2 i=1 j6=i |~ri − ~rj |
=⇒
j=1
Q2
=
Faktor 21 rührt aus der Symmetrie der Formel, denn da |~rQ11−~
r2 |
summiert man eigentlich zweimal über den geforderten Term.
Q2 Q1
|~
r2 −~
r1 |
• Energie einer Ladungswolke (Übergang zur kontinuierlichen Verteilung)
k0
W =
2
Z Z
Vρ Vρ
7
ρ(~r)ρ(r~0 )
dV 0 dV
|~r − r~0 |
Umschreibung in eine Form mit Potentialausdrücken:
Z
Z
ε0
1
φ(~r) ρ(~r) dV = −
φ(~r) ∆φ(~r) dV
W =
2
2
Vρ
Vρ
mit Vρ → V∞ da ∆φ(~r) = 0 für r > rρ
Umschreibung mit Hilfe des ersten Green’schen Satzes in eine Form mit
E-Feld-Ausdrücken:
Z
Z
ε0
2
~
W =
w dV
E (~r) dV =
2
V∞
mit w =
ε0 ~ 2
E (~r)
2
V∞
als Feldenergiedichte
• Wechselwirkungsenergie zweier Ladungswolken
Z
W =
Z Z
φ1 (~r) ρ2 (~r) dV = k0
V1
V1 V2
ρ1 (~r)ρ2 (r~0 )
dV 0 dV
0
~
|~r − r |
Da das Volumen V1 das Volumen V2 nicht enthält, fällt nun der Faktor
weg.
1
2
~D
• Dipol-Wechselwirkung im äußeren Feld E
~D
WD = −~p · E
1.10
Kräfte/Drehmoment im äußeren Feld
• Eine Multipolentwicklung (bis zum Dipolterm) der WW-Energie liefert
~ ext (~r).
Wr = Qr · φext (~r) − p~r · E
Mit F~ = −gradr W ergibt sich die Kraft auf eine Ladungsverteilung,
bestehend aus Ladungen und Dipolen, im äußeren Feld
~ ext (~r) − [~pr · grad] E
~ ext (~r).
F~ (~r) = F~Q + F~D = Qr · E
8
• Auf einen Dipol, der sich in einem äußeren elektrischen Feld befindet, wirkt
~.
ein Drehmoment M
Z
m(~
~ r − r~0 ) dV 0
=
~ (~r) = p~r × E
~ ext (~r)
M
Vr
~ ext (~r)
mit m(~
~ r − r~0 ) := r~0 ρr (~r − r~0 ) × E
• Energie eines induzierten Dipols:
a) Zur Erzeugung:
1 ~
W = p~ · E
ext
2
b) Für die Bewegung im Feld:
~ ext
W = −~p · E
c) ⇒ Gesamtenergie:
1 ~
Wges = − p~ · E
ext
2
→ Arbeit gewonnen!
1.11
Elektrostatik bei Anwesenheit von Leitern
1.11.1
Die Feldbeschreibung
• Das Feld einer Leiter-/Ladungsverteilung genügt
ρ
∆φGes (~r) = −
φGes (~r)|Li = const.
ε0
mit Li als die Ränder der i-ten Leiter.
• Weiterhin gilt für die Leiteroberflächen:

E | = 0
t Li
~ r) = E
~n + E
~t ⇒
E(~
 En | = η
Li
ε0
En |Li
∂φGes (~r) ⇒ η(~r) = −ε0
∂n Li
9
Abbildung 1: Schema einer Leiteranordnung mit Feldlinien (Blau)
wobei ~n nach außen zeigt.
~ r), φGes (~r)
• Einfach: Berechnung der Ladungsverteilung aus dem Feld (E(~
bekannt → ρ(~r), ηi (~r))
• Schwer: Berechnung des Feldes und der Ladungsverteilung auf den Leitern
~ r), φGes (~r))
(ρ(~r), Randbedingungen und Leitergeometrie bekannt → E(~
⇒ Zwei Grundaufgaben (GA) der E-Statik mit Leitern:
– 1. GA: φ|Li bekannt =⇒ Berechnung von φ(~r), ηi (~r) → Qi
– 2. GA: Qi auf Li bekannt =⇒ Berechnung von φ(~r), ηi (~r) φ|Li
1.11.2
Lösung der Grundprobleme mittels Green’scher Funktion
• Die Anwendung des zweiter Green’scher Satz mit Ψ = G(~r, r~0 ) und φ =
φ(~r) liefert die allgemeine Lösung des Problems.
Z V
Z ∂G
∂φ 0
0
0
0
0
0
0
0
~
~
~
~
~
~
G(~r, r ) ∆φ(r ) −φ(r ) ∆G(~r, r ) dV =
φ(r ) 0 −G(~r, r ) 0 df
| {z }
| {z }
∂n
∂n
~0
ε−1
0 ρ(r )
δ(~
r−r~0 )
10
∂V
Z
=⇒ φ(~r) =
G(~r, r~0 ) ρ(r~0 ) dV 0 − ε0
V
Z φ(r~0 )
∂G
~0 ) ∂φ
−
G(~
r
,
r
∂n0
∂n0
∂V
→ Problem ist somit gelöst, wenn GF und RB bekannt sind.
⇒ Zur weiteren Vereinfachung dieses Ausdrucks nutzen wir wieder
die freie Variierbarkeit der GF und stellen eine neue Forderung, neben
−ε0 ∆0 G(~r, r~0 ) = δ(~r − r~0 ):
!
G(~r, r~0 )|r0 ∈Li = 0,
aus Symmetriegründen folgt zudem:
G(~r, r~0 )|r0 ∈Li = G(~r, r~0 )|r∈Li
Die Green’sche Funktion soll also auf dem Rand verschwinden. Somit
entfüllt der zweite Summand in dem obigen Flächenintegral der allgemeinen
Lösung des Problems und es ergibt sich mit φ(~r)|Li = φi = const. die
Lösungsform
X
φGes (~r) = φρ (~r) +
φi Γi (~r) (∗)
i
mit dem Raumladungspotential
Z
φρ (~r) = G(~r, r~0 ) ρ(r~0 ) dV 0
V
und den Geometriekoeffizienten

Z
∂G 0 1 auf Rand i
Γi (~r) = −ε0
df =
0 auf Rand j
∂n0
mit ∆Γi = 0.
∂Vi
Somit gilt ferner ∆φGes = φρ = − ερ0 .
• Das Hauptproblem liegt nun im Auffinden einer geeigneten GF. Am Einfachsten wird diese über das Prinzip der Spiegelladungen geliefert. Diese
Prinzip beruht nicht immer auf purer Analytik, sondern muss oft mir physiklischer Intuition vervollstndigt werden, da die Lage der Spiegelladungen oft
11
nicht direkt berechenbar ist. Aus Abs. 1.7 wissen wir, dass eine GF aus zwei
Summanden bestehen kann, wobei der zweite Summand die Informationen
über die Geometrie und Ladungen der Leiter enthält
G(~r, r~0 ) = G0 (~r, r~0 ) + F (~r, r~0 )
mit
∆F (~r, r~0 ) = 0.
• Die erste Grundaufgabe ist sofort mit der obigen Beziehung (∗) lösbar.
• Die zweite Grundaufgabe ist auf die erste Grundaufgabe rückführbar:
Z
Z
X
∂φ
(∗)
+
Qi = η(~r) df = −ε
df
=⇒
Qi = Qind
φj Cij
i
∂ni
j
Li
Li
mit der induzierten Oberflächenladungen der i Leiter
Z
∂φρ
−ε
df
∂ni
Li
und den Kapazitätskoeffizienten
Z Z
Z
∂G
∂Γi
2
df = ε
df df 0 .
Cij = −ε
0
∂nj
∂ni ∂nj
∂Vi Lj
Lj
Die beiden Normalenvektoren ~n0i und ~nj gehören jeweils zu denselben Flächenelementen, mit dem Unterschied, dass einer aus und einer in den Leiter
zeigt, da mit ∂Vi der i-te Rand (also den Leiter i) des Volumens V (enthält
ρ) und mit Lj der Rand des j-ten Leiters bezeichnet wird.
• Der Kapazitätstensor Cij ist symmetrisch (Cij = Cji ) und invertierbar,
woraus folgt
X
φi =
Cij−1 (Qj − Qind
j ).
j
Somit konnte die erste GA auf die zweite zurückgefhrt werden.
• Wichtige Green’sche Funktionen sind die des Halbraums
1
1
0
GHR (~r, r~ ) = k0
−
|~r − r~0 | |~r − ~rs |
und der Kugel
"
GK (~r, r~0 ) = k0
#
R
1
−
.
2
~
r
|
|~r − r~0 | r0 |~r − R
02
r
1
12
1.12
Die Elektrostatik in Dielektrika
1.12.1
Die dielektrische Polarisation
Ein Dielektrikum besteht, wie jedes andere Material auch, aus Atomen, also
aus nanometer-großen Dipolen. Da es genauso uneffizient wie unmöglich ist,
jedes Einzelne dieser mikroskopischen Dipole analytisch zu erfassen, arbeitet man
bei solchen Problemen mit makroskopischen, gemittelten Größen. So ergibt sich
beispielsweise für das gemittelte Dipolpotential
Z
1
φD (~r + ~r¯) dV̄
hφD (~r)i =
∆V
∆V
Z
1
= −k0
P~ (r~0 ) · gradr
,
|~r − r~0 |
∆V
wobei mit P~ die gemittelte Polarisationsdichte (Dipoldichte) bezeichnet wird.
~ = A∇b
~ + b∇A
~
Der letzte Ausdruck lässt sich noch mittels der Beziehung ∇(bA)
umformen. Für die Raumladungsdichte ρpol und die Oberflächenladung ηpol gilt
ρpol (~r) = −div P~ (~r)
1.12.2
ηpol (~r) = P~ (~r) · ~n.
Die dielektrische Verschiebung
Bisher galt ρ(~r) = ρext (~r). In Anwesenheit von Dielektrika gilt nun jedoch:
ρ(~r) = ρext (~r) + ρpol (~r).
Aus ρpol = −div P~ und ρpol = ε0 div P~ folgt nun für die dielektrische Verschiebung
~ r) = ε0 E(~
~ r) + P~ (~r) .
D(~
Somit lassen sich die Maxwellgleichungen im Dielektrikum wie folgt schreiben:
~ r) = ρext (~r)
div D(~
~ r) = 0.
rot E(~
~ bleibt wegen der letzten MWGL also weiterhin ein
Das elektrostatische Feld E
Gradientenfeld. Eine Beziehung zwischen dem D- und E-Feld folgt aus den Ma
terialgleichungen mit ε(~r) = 1 + χ(~r) :
~ r) = ε0 ε(~r)E(~
~ r).
D(~
13
Äquivalent zum Abs.1.5 lassen sich mit Hilfe des Gauß’schen Kstchens die
Übergangsbedingungen für die Normalenkomponenten zeigen
~ i = ηext (~r)
~ na − D
D
n
i ~i
a ~a
=⇒ ε0 ε En − ε En = ηext (~r)
a
i
a ∂φ
i ∂φ
=⇒ −ε0 ε
−ε
= ηext (~r).
∂n
∂n
Somit wären die Normalenkomponentenübergänge des D- und des E-Feldes unstetig. Im Allgemeinen gilt jedoch oft ηext = 0, womit das D-Feld stetig übergeht.
Genauso lassen sich wieder mit Hilfe der Stokes’schen Fläche die Übergangsbedingungen der Tangentialkomponenten des D- und E-Feldes zeigen
~a = E
~i
E
t
t
a
~
~
Dti
Dt
=
.
εa
εi
=⇒
1.12.3
stetig
Die Poissongleichung in Isolatoren
a) Inhomogene Medien (ε(~r) 6= const.)
h
i
~ = ρext = ε0 div ε(~r)E(~
~ r) folgt:
Aus div D
∆φ(~r) +
1
ρext (~r)
grad ε(~r) · gradφ(~r) = −
.
ε(~r)
ε0 ε(~r)
b) Homogene Medien (ε(~r) = εr = const.)
=⇒
ρext (~r)
∆φ(~r) = −
ε0 εr
Z
−→
φ(~r) = kr
V
ρ(r~0 )
dV 0
0
~
|~r − r |
c) Stückweise konstantes ε(~r)
∆φi (~r) = −
ρiext (~r)
ε0 εir
Wobei mit ρiext die separaten Ladungen im Gebiet i bezeichnet werden.
14
1.12.4
Potentialberechnung in Isolatoren mittels GF
Zur eleganten Lösung von Potentialproblemen stückweise konstanter Permittivität ε kann man wieder das Konstrukt der Green’schen Funktion nutzen
Z
i
φ (~r) = ρext (r~0 )Gi (~r, r~0 ) dV 0 .
V
Für verschiedene Gebiete existiert jeweils eine andere GF
−ε0 εir ∆Gi (~r, r~0 ) = δ(~r − r~0 )
−ε0 εjr ∆Gj (~r, r~0 ) =
0
Ladung in Gebiet i und ~r ∈ Vi
Ladung in Gebiet i und ~r ∈ Vj
mit den Übergangsbedingungen
ε
1.12.5
a ∂φ
a
∂n
=ε
i ∂φ
i
∂n
.
Raumladungsfreie Probleme
Ist ausschließlich die konstante Polarisation P~ vorgegeben, sind die einzigen
Quellen des E-Feldes die Polarisationsladungen an der Oberfläche des Dielektrikums
~ unstetig.
P~ · ~n = P cos γ = ηpol
=⇒ P~ , E
Mit P~ = const. ergibt sich für das Potential einer homogen polarisierten Kugel


Z
1
φ(~r) = −P~ · gradr k0
dV 0  ,
0
~
|~r − r |
V
welches stark dem Dipolpotential ähnelt.
1.12.6
Elektrostatische Energie und Kraft in Dielektrika
• Aus Abs.1.10 ist bekannt, dass bei Dipolproblemen W = Wρ + WP gilt.
Auf Polarisationsdichten umgeschrieben, liefert diese Beziehung


Z
Z
Z
1
1
2
~ (~r) dV + P~ (~r) · E(~
~ r) dV  =
~ r) · E(~
~ r) dV = W
ε0 E
D(~
2
2
V∞
V∞
V∞
15
• In linearen Medien gilt:
~ r)
P~ (~r) = ε0 χ(~r)E(~
Z
ε0
~ 2 (~r) dV
⇒ W (~r) =
ε(~r) E
2
V
Z∞
1
φ(~r) ρext (~r) dV
=
2
V∞
• Folgende Beziehung zeigt, dass die Energie im Dielektrikum kleiner ist
als im Vakuum. Des Weiteren entspricht diese Differenz der WW-Energie
zwischen Dielektrikum und Feld.
Z
1
~ V (~r) dV
WV − WD =
P~ (~r) · E
2
V∞
• Kraftdichte:
~ r ) − ε0 E
~ 2 (~r) grad ε(~r)
f~(~r) = ρext (~r) E(~
2
Der erste Summand ist die Kraft auf die externe Ladungsverteilung, der
Zweite die Kraft auf die Polarisationsladungen in einem inhomogenen
Dielektrikum. Da f~ ↑↓ grad ε(~r), verdrängt Materie mit großem ε Materie
mit kleinem ε.
• Maxwell’scher Spannungstensor:
fi = Tij
−→
1
Tij = Ei Dj − δij Ek Dk
2
=⇒ f~(~r) = div T̂ (~r)
• Somit folgt für die Kraft auf die Oberfläche eines Volumens
Z
Z
~
~
F (~r) = f (~r) dV = T̂ (~r) df~.
V
∂V
• Die Gesamtkraft auf einen endlichen dielektrischen Körper ist immer mit
Hilfe von Oberflächenkräften ausdrückbar
Z
⇒ Fi = Tij ej df.
∂V
16
1.13
Raumladungsfreie kapazitive Probleme
• Für zwei beliebige Leiter gilt:
Z
~ r) df~ = Q1 + Q2 = 0 f ür Q1 = Q2 ,
ε0 E(~
∂V
wobei ∂V beide Leiterflächen komplett einschliet. Weiterhin gilt:
Q1 = C11 φ1 + C12 φ2
Q2 = C21 φ1 + C22 φ2
wobei Cii die Eigenkapazität und Cij mit i 6= j die Kapazität der AnordR
~ df~ = 0 folgt:
nung beinhaltet. Aus E
)
C11 + C12 = 0
⇒ C11 = C22 = −C12 =: C
C21 + C22 = 0
=⇒
C=
Q1
Q1
=
.
(φ1 − φ2 )
U12
• Weiterhin gilt für Plattenkondensatoren:
C=
Q
Q
Q
F
=
=
= ε0 .
−2
U
Ed
k0 Qr d
d
• Für Kugelkondensatoren gilt indes:
C=
2
1 R1 · R2
k0 R1 + R2
Magnetostatik
2.1
Der elektrische Strom
• Stationäre Ströme (~r¨ = 0):
~ r)
me (~r¨ + γ~r˙ ) = −eE(~
⇒ Ohmsches Gesetz:
~ r)
~jcond (~r) = σ E(~
→ Konduktionsstrom
17
• Bewegte Ladungen:
~jconv (~r) = ~r˙ ρext (~r)
→ Konvektionsstrom
• Stromstärke:
Z
I(~r) =
~j(~r) df~
F
Für dünne Leiter vereinfacht sich der Ausdruck zu
Z
l
~ df~ = U
I=σ E
mit R =
.
R
σF
F
2.2
Die Kontinuitätsgleichung
Experimentell kann das Gesetz der Ladungserhaltung Q̇ + I = 0 innerhalb eines
geschlossenen Volumens abgeleitet werden. Dieser Ausdruck umgeschrieben
Z
Z
∂
ρ(~r, t) dV + ∂V )~j(~r, t) df~ = 0
∂t
V
(
und darauf den Gauß’schen Satz angewandt, ergibt die gewünschte Kontinuitätsgleichung
∂ρ
⇒
(~r, t) + div ~j(~r, t).
∂t
Diese stellt den Zusammenhang zwischen dem Strom und bewegten Ladungen
dar. Für die Magnetostatik gilt ferner ρ̇ = 0, wodurch die wichtige Beziehung
div ~j = 0 folgt.
Für den Zusammenhang zwischen Strom und externen Ladungen gelten folgende
Beziehungen:
a) σ, ε = const.:
ρ̇ = 0
=⇒
div ~j = 0
~ = 0.
div D
−→
b) σ, ε 6= const.: Da div ~j = 0 gehen die Normalenkomponenten der
Stromdichte ~jn stetig über. Desweiteren gilt:
Z
Z
Z
ε(~r) ~
~
~
~
D df = Qext = ε0
j(~r) df = ηext df~.
σ(~r)
∂V
∂V
18
∂V
Somit gilt für geladene Grenzflächen folgende Beziehung:
ε1
ε2
−
ε0 jn = ηext .
⇒
σ2 σ1
2.3
Das Magnetfeld sationärer Ströme
Teils experimentell und teils in Analogie zum Coulomb’schen Gesetz der E-Statik
lässt sich das Ampere’sche Gesetz der Magnetostatik (M-Statik) ableiten
ZZ
~s1 − ~s2
~
I1 d~s1 × I2 d~s2 ×
F12 = m0
.
|~s1 − ~s2 |3
L1 L2
Dieses beschreibt quantitativ die Kraft zwischen zwei stromdurchfloßenen Leitern
(hier: Kraft von Leiter 1 auf Leiter 2).
Durch Abstraktion von Leiter 1 zu einer punktuellen Leiterschleife mit geringer
Auswirkung lässt sich das Biot-Savart’sche Gesetz formulieren
Z
~r − ~s
~
.
B(~r) = m0 Id~s ×
|~r − ~s|3
L
Dieses beschreibt das Magnetfeld eines dünnen stromdurchfloßenen Leiters.
Äquivalent zum E-Feld gehorcht auch das B-Feld dem Superpositionsprinzip:
~ i . Erweitert man die Betrachtung von dünnen Leitern auf kontinuier~ = PB
B
i
liche Stromverteilungen ~j so erhält man für die magnetische Induktion
#
Z "
~0
~
r
−
r
~ r) = m0
~j(r~0 ) ×
B(~
dV 0 .
0
3
~
|~r − r |
L
Für allgemeine magnetische Kraft (Lorentzkraft) erhält man dann
Z
~
~ r) dV.
F (~r) = ~j(~r) × B(~
2.4
Die Maxwellgleichungen der Magnetostatik
~ r) b(~r)) umformen in
Das Biot-Savart’sches Gesetz lässt sich mittels rot(A(~
~ r) = m0 rotr
B(~
Z
19
~j(r~0 )
dV 0 ,
0
~
|~r − r |
woraus die lokalen Formulierungen der MWGl der M-Statik folgen
~ r) = 0
⇒ div B(~
~ r) = µ0 ~j(~r).
rot B(~
Mittels Stokes und Gaußfolgen die integralen Formulierungen
Z
Z
Z
~
~
~
B(~r) df = 0
B(~r) d~r = µ0 ~j(~r) df~ = µ0 IF
∂V
2.5
F
∂F
Das Vektorpotential
Die Umformung in Abs. 2.4 suggeriert einen Lösungsansatz der MWGl, nmlich
~ = rot A,
~
B
~ als Vektorpotential bezeichnet wird. Unterstrichen wird die Anwendwobei A
~ = div rot A
~ = 0.
barkeit des Ansatzes durch die mathematische Beziehung div B
~ = µ0 ~j liefert ferner
Die Beziehung rot B
~ = grad div A
~ −∆A
~ = µ0 ~j.(∗)
rot rot A
| {z }
(I)
Um diese partiellen Differentialgleichungen zu entkoppeln, muss nach einer passenden Eichtransformation für das Vektorpotential gesucht werden. Da
rotgradf (~r) = 0 bietet sich
~ r) = A
~ 0 (~r) + grad f (~r)
A(~
~ = rotA
~ 0 gilt.
an, damit rotA
Damit die Gleichung (∗) auf ein bekanntes Problem, nämlich die PoissonGleichung, rückgeführt werden kann, wählt man weiterhin die Coulomb-Eichung
~ r) =! 0,
div A(~
|
{z
}
(II)
woraus folgt
~ r) = div A
~ 0 (~r) + div grad f (~r)
div A(~
=⇒
~ 0 (~r) = −∆f (~r).
div A
Mit (I) und (II) folgt somit die gewünschte Poissongleichung
~ r) = −µ0 ~j(~r).
∆A(~
20
In Analogie zu vorhergehenden Lösungsverfahren aus der E-Statik hat man als
allgemeine Lösung für endliche Stromverteilungen ~j und mit natürlichen Randbedingungen:
~ r) =
A(~
Z
G0
(~r, r~0 )
~j(~r) dV = m0
0
Z
V
V
~j(r~0 )
dV 0 ,
0
~
|~r − r |
mit der Forderung an die Green’sche Funktion ∆G0 (~r, r~0 ) = −µ0 δ(~r − r~0 ). Analog
gilt fr die Multipolentwicklung des Vektorpotentials:
Ai (~r) ≈ m0
∞
X
j~ri
r2 ...~
rl
1~
l=0
l! r2l+1
xr1 · xr2 . . . xrl
mit dem vektoriellen Multipoltensor
Z
4π
∂ (l) G0 (r~0 )
i
l
j~r1~r2 ...~rl :=
(−1)
ji (r~0 ) r02l+1
dV 0 .
0
0
0
~
~
~
µ0
∂ r 1∂ r 2 . . . ∂ r l
V
Teilentwicklungen:
• l = 0: Monopolterm
j0i
Z
ji (r~0 ) dV 0
=
Mit ~j = (~j grad)~r lässt sich über einige Umformungen zeigen j0i = 0. Es
gibt also laut der klassischen E-Dynamik keine magnetischen Monopole.
• l = 1: Dipolterm
i
j1l
⇒
Z
ji (r~0 ) x0l dV 0
Z
~j(r~0 ) · (~r · r~0 ) dV 0 + . . .
=
~ r ) ≈ m0
A(~
r3
V
Umformungen liefern das magnetische Dipolpotential
~ × ~r
~ D (~r) = 1 m
A
4π r3
mit dem magnetischen Dipolmoment
Z
µ0
m
~ =
r~0 × ~j(r~0 ) dV 0 .
2
V
21
Für den speziellen Fall eines Kreisstroms in dünnen Drähten gilt:
~j(r~0 )dV 0 → I ds0
=⇒
m
~ = µ0 I F~ .
Für das Dipolfeld ergibt sich dann (analog zur E-Statik)
m
~
×
~
r
1
~ r) = rot A(~
~ r) =
rot
B(~
4π
r3
~ −m
~ r2
~ r) = 1 3~r(~r · m)
B(~
4π
r5
2.6
2.6.1
Das Magnetfeld in Materie
Magnetisierung
• Einführung einer molekularen Dipoldichte:
~ mol (~r) =
M
X
m
~ i δ(~r − ~ri )
i
• Zur effektiven lokalen Betrachtung atomarer Ströme (molekularer Dipole)
Einführung einer Magnetisierung:
Z
1
~
~ mol (~r + ~r¯) dV̄
M (~r) =
M
∆V
∆V
• Analog zur E-Statik Definierung eines gemittelten Vektorpotentials:
D
Z
Z
E
~0
1
1
~ mol (~r + ~r¯) dV̄ =
~ (r~0 ) × ~r − r dV 0
~ mol (~r) =
A
M
A
∆V
4π
|~r − r~0 |3
∆V
V
D
E
~ mol (~r) und Vergleich mit Vektorpotential einer
• Umformen von A
Stromverteilung liefert:
~ (~r) = µ0 ~jmol (~r)
rot M
→ Die Wirbel des Magnetisierungsfeldes sind die molekularen Ströme.
22
2.6.2
Die Maxwellgleichungen der M-Statik in Materie
Bisher: ~jges (~r) = ~jmakr (~r)
Jetzt: ~jges (~r) = ~jmakr (~r) + ~jmol (~r)
~ = µ0~jges folgt:
Mit rotB
h
i
~ r) − M
~ (~r) = µ0 ~jmakr (~r)
rot B(~
Dies suggeriert eine Einführung eines Magnetfeldes in Materie
~ r) := 1 B(~
~ r) − M
~ (~r) .
H(~
µ0
Somit können die ursprünglichen MWGl umgeschrieben werden in
~ r) = ~jmakr (~r)
rot H(~
~ r) = 0.
div B(~
Die Wirbel des H-Feldes sind also makroskopische Ströme. Da magnetische
Monopole ausgeschlossen sind, muss das B-Feld weiterhin quellenfrei sein,
dadurch müssen die Quellen des H-Feldes durch die Senken des M-Feldes bestimmt sein
~ r) = −div M
~ (~r).
µ0 div H(~
2.6.3
Die Materialgleichungen
~ und B
~
a) Linearer Zusammenhang zwischen M
⇒
~ =
M
χm
1 + χm
=⇒
1
~ = 1
~
H
B
m u0 1 + χm
Mit µ := 1 + χm folgt:
~ r) = 1 B(~
~ r)
H(~
µ0 µ
~ und B
~
b) Nicht-linearer Zusammenhang zwischen M
2.6.4
→ Ferromagnetismus
Übergangsbedingungen der magnetostatischen Felder
~ = 0 folgt über den Nachweis mittels des Gauß’schen Kästchens, dass
Aus div B
~ n (~r) stetig übergehen,
die Normalenkomponenten der magnetischen Induktion B
23
dementsprechen unstetig die Normalenkomponenten der magnetischen Feldstärke
~ n (~r).
H
~ = ~jmakr folgt wieder über den Nachweis mittels der Stoke’schen
Aus rot H
Fläche, dass die Tangentialkomponenten der magnetischen Feldstärke unstetig
übergehen
~2−H
~ 1 = [~jmakr ]OF .
H
t
t
Da in den meisten Fällen jedoch keine Oberflächenströme existieren, kann man
doch von einem stetigen Übergang ausgehen.
2.6.5
Stromfreie Probleme bei vorgegebener Magnetisierung
~ sei vorgegeben. Aus ~jmakr = 0 folgt ~jges = ~jmol und
Die Magnetisierung M
~ =0
rot H
~ = rot M
~.
rot B
=⇒
Die eingerahmte Relation suggeriert die Annahme eines skalaren Potentials mit
einem dazugehörigen Gradientenfeld.
a) Formale Einführung einer magnetischen Ladungsdichte
Z
~ r) = −div M
~ (~r) =: ρm (~r)
div H(~
=⇒ Qm = −
~ (~r) df~
M
Somit scheint die Einführung eines skalaren magnetostatischen Potentials logisch.
~
~ =0 ⇒ H
~ = −grad φm ⇒ ∆φm = − ρm = div M
rot H
µ0
µ0
Z
~ (r~0 )
1
divr0 M
dV 0
=⇒ φm (~r) = −
0
~
4πµ0
|~r − r |
V
Eine Umformung dieser Gleichung in eine grad-Darstellung und eine TaylorNäherung für große ~r liefern:
Z
1
1
~ · ~r
~ (r~0 ) dV 0 = 1 m
φm (~r) = −
grad
M
4πµ0
r
4πµ0 r3
V
mit m
~ :=
R
~ (r~0 ) dV 0 .
M
V
24
b) Homogene Magnetisierung im endlichen Volumen (Analogie zur Polarisation
in der E-Statik)
⇒
~
ρm = −div M
↔ ρpol = −div P~


Z
Z
~ (r~0 )
~ (r~0 )
1  divr0 M
~en · M
dV 0 −
df 0 
φm (~r) = −
0
0
~
~
4πµ0
|~r − r |
|~r − r |
V
∂V
Das magnetische Potential entsteht somit aus einer Volumen- und einer Oberflächenmagnetisierung. Ersteres entfällt bei quellenfreien Magnetisierungen.
2.7
Energie des magnetostatischen Feldes oder einer
stationären Stromverteilung
~ =B
~
• Annahme: linieare Beziehung zwischen B- und H-Feld: µ0 µH
• Feldenergie (starre Ströme):
Z
1
W =
2
~ r) H(~
~ r) dV
B(~
V∞
• Umformung ⇒ Energie in den Strömen und dem Vektorpotential
Z
1
~ r) ~jmakr (~r) dV
A(~
W =
2
Vi
• Energie in den Strömen
µ0 µ
W =
8π
Z Z ~
jmakr (r~0 ) · ~jmakr (~r)
dV dV 0
0
~
|~r − r |
Vj Vj
• Spezialfall: dünne Leiter im Vakuum
~jmakr (~r) dV −→
X
Ii dsi
i
1X
=⇒ W =
Lik Ii Ik
2 i,k
I I
mit Lik = m0
(Fi ) (Fk )
25
d~sk d~si
= Lki
|~si − ~sk |
→ Induktionskoeffizient
→ Andere Darstellung über magnetischen Fluss
Z
X
1
~ r) ~jmakr (~r) dV = 1
W =
A(~
Ik Φk
2
2 k
Vi
I
~ ks) ◦ d~sk = Φk =
A(~
=⇒
Z
~ r) df~k
B(~
Fk
(Fk )
→ magnetischer Fluss
Vgl.: W =
P
1
2
!
Ik Φk =
k
P
1
2
Ik Ii Lik
i,k
=⇒ Φk =
X
Ii Lik
i
Der Fluss durch die Leiterschleife k ist also durch alle Ströme bestimmt
und wird durch die Induktionskoeffizienten vermittelt.
2.8
Kraft auf eng begrenzte Stromverteilung im externen B-Feld
~ ext = 0 da ~jext = 0 (Quellen müssen nicht
• Externes B-Feld → rot B
bekannt sein)
~ ext (~r + r~0 )
• Herleitung aus: f~(~r + r~0 ) = ~j(~r + r~0 ) × B
~
~
~0
~ ext (~r + r~0 )
~ ext (~r + r~0 ) → Bext (~r + r ) − Bext (~r) = gradr0 B
B
r~0
1
~ ext (~r) = 1 gradr (m
=⇒ F~ (~r) = (m
~ r · gradr )B
~ r · vecBext (~r))
µ0
µ0
~ ext = 0 ⇒ Energie:
da rot B
W =−
1
~ ext (~r)
m
~r·B
µ0
⇒ Drehmoment:
mit
m
~r =
µ0
2
~r = 1 m
~ ext (~r)
M
~r×B
µ0
R
r~0 × ~j(~r + r~0 ) dV 0
V
26
• Der magnetische Spannungstensor
magn
fi = Tik,k
magn
Tik,k
= (Bi Hk ) − δik wmagn
mit
mit w als magnetische Energiedichte.
⇒ f~(~r) = div T̂ magn (~r)
3
Elektrodynamik
langsam
veränderlicher
Felder
3.1
Das Faraday’sche Gesetz
∂ ~˙
• Voraussetzung: Langsame Felder, d.h. | ∂t
D| ~j
ωε0 ε
1
σ
→ keine Abstrahlung von Feldern
→ Felder bewegen sich mit Quellen
→ kleine Frequenzen, große Leitfähigkeit
~ =
• rot E
6 0
• Experimentelle Befunde zeigen, dass ein zeitlich veränderliches B-Feld EFeld-Wirbel induziiert. Wird ein geschlossener Leiter in einem B-Feld bewegt (!), wird eine Spannung induziert und es fließt ein sogenannter Induktionsstrom. Die Ursache dieses Stromes ist die Änderung des magnetischen
Flusses
Z
~ r, t) df~.
Φ = B(~
F
• Es gilt die Lenz’sche Regel (Der Induktionsstrom wirkt seiner Ursache immer entgegen!)
• Faraday’sches Induktionsgesetz:
Iind ∼ −
d
Φ
dt
⇒
27
Uind = −
d
Φ
dt
I
~ r, t) d~r = − d
E(~
dt
⇒ Uind =
Φi =
P
Lik Ik
Uiind = − dtd Φi = − dtd
⇒
k
Uiind = −
a) Feste Geometrie:
P
k
b) Konstante Ströme:
~ r, t) df~
B(~
F
(F )
• Schreibweisen:
Z
Uiind = −
P
k
∂
Aus a) folgt auch: − ∂t
Φ=−
R
F
∂ ~
B(~r, t)
∂t
P
Lik Ik
k
∂
Lik ∂t
Ik
∂
Ik ∂t
Lik
· df~
~ r, t) = − ∂ B(~
~ r, t)
=⇒ rot E(~
∂t
~ +B
~˙ = 0) gilt streng genommen (Vgl.
Diese homogene MWGl (rotE
Herleitung) nur für feste Leiter. Da der Begriff “fester Leiter“ jedoch nur
ein relativer ist, setzt sich diese Gleichung als allgemein gültige MWGl der
E-Dynamik durch.
Aus b) folgt:
h
i
~ r, t) − ~v × B(~
~ r, t) = − ∂ B(~
~ r, t)
rot E(~
∂t
Diese Version der MWGl ist die eigentliche Formulierung des Induktionsgesetzes bei bewegten oder deformierten Leitern. Da dies, wie oben erwähnt,
nur eine Frage des Bezugspunktes ist, lässt sich diese Gleichung mittels
einer Transformation in den obigen Ausdruck überführen
~ r, t) = E(~
~ˆ r, t) + ~v × B(~
~ r, t),
E(~
~ˆ r, t) das E-Feld im ruhenden System ist.
wobei E(~
3.2
Die Potentialgleichungen
~ +B
~˙ = 0 und B
~ = rotA
~ folgt:
• Aus rotE
~ = −grad φ(~r, t)
~+ ∂A
E
∂t
28
| rot[. . .] = 0
~ r, t) = − ∂ A(~
~ r, t) + grad φ(~r, t)
E(~
∂t
~ r, t) = rot A(~
~ r, t)
B(~
• Einsetzen in die beiden anderen MWGl liefert:
~˙ r, t) − ε0 ∆φ(~r, t) = ρ(ext) (~r, t)
−ε0 div A(~
~ r, t) = µ0~j(~r, t)
rot rot A(~
~ r, t) =! 0
→ Coulomb-Eichung: div A(~
=⇒
−ε0 ∆φ(~r, t) = ρ(~r, t)
1 ∂2 ~
1
∆ − 2 2 A(~r, t) = ~j(~r, t)
−
µ0
c ∂t
• Lösung bei natürlichen Randbedingungen:
Z
Z
1
0
0
~
φ(~r, t) = k0 dV ρ(r , t)
= dV 0 ρ(r~0 , t) Ge0 (~r, r~0 )
|~r − r~0 |
V
V
Z
Z
1
0 ~ ~0
~
A(~r, t) = m0
dV j(r , t)
= dV 0 ~j(r~0 , t) Gm
r, r~0 )
0 (~
|~r − r~0 |
V
3.3
V
Grundelemente der Wechselstromtechnik
Anwendung der MWGl in Medien und des Ohm’schen Gesetzes
3.3.1
Die Kirchhoff ’schen Regeln
a) Stromregel
~ r, t) = ~j(~r, t) folgt div~j = 0
• Da rotH(~
I
XI
X
~
~
~ji · df~ =
⇒
j · df =⇒
Ii = 0
i
∂V
Fi
i
→ Knotensatz
29

< 0 f ür ~j df~
k
k
• Ik =
> 0 f ür ~jk df~k
b) Spannungsregel
~ d~r − U ind = 0
E
k
R
• Aus dem Induktionsgesetz folgt:
Ck
Induktionsspannung und die Spannung im k-ten Leiterkreis heben sich
auf.
Z
R
~
~ d~r −U ind = 0
• Auftrennung des Leiterkreises: ⇒
E d~r + E
k
Ck0
Ck00
| {z }
Externe Spannung Ukext
Z
~ d~r +
E
⇒
X
Lik
i
Ck0
∂
Ii = Ukext
∂t
→ Maschensatz
Diese Gleichung gilt streng genommen (Vgl. Herleitung) nur für feste Leitergeometrie. Doch im Sinne des Relativismus lässt sich sicher ein äquivalentes
Gesetz für deformierbare Leitersysteme herleiten.
3.4
Elektrische Schwingkreise
• Ohm’sches Gesetz:
Z
Z ~
Z
j
d~r
l
~
UR (t) = E(~r, t) d~r =
d~r = I
=I
=I ·R
σ
σF
σF
CR
CR
CR
• Diffentialgleichung für den Schwingkreis:
L
∂ 2I
∂I
I
∂Uext
+R
+ =
2
∂t
∂t C
∂t
a) Freie Schwingung → Uext = 0
Ansatz:
t
I(t) = e− τ a · eiΩt + b · e−iΩt
30
b) Erzwungene Schwingung → Uext = <[Ũ0 eiωt ]
Ũ0 = |Ũ0 |eiΦn
Ansatz:
I(t) = <[I˜0 e−iωt ]
I˜0 = |I˜0 |eiΦl
⇒ Scheinwiderstand R̃ = Wirkwiderstand R + Blindwiderstand (imaginär)
1
R̃ = R + i ωL −
=: |R̃|eiδ
ωC
R̃ =
Ũ0
I˜0
⇒ δ = Φn − Φl = ∆Φ
• Aufgenommene Leistung(Fall b))
N (t) = Uext · I = <(Ũ0 e−iωt ) · <(I˜0 e−iωt )
Mittelung:
∆t
N̄ =
1
∆t
Z2
→
N (τ ) dτ
P eriode ∆t =
1
ω
− ∆t
2
Wirkleistung:
N̄ = Uef f Ief f cos ∆Φ
Blindleistung:
N̄B = Uef f Ief f sin ∆Φ
mit
|Ũ0 |
|I˜0 |
Uef f := √ , Ief f := √
2
2
Energiesatz aus der DGL des Schwingkreises:
Q
+ RQ̇ + LQ̈ = Uext
| · Q̇
C
∂ L 2
∂ C 2
I = Q̇; Q = CU =⇒
I +
U = −RI 2 + Uext I
∂t 2
∂t 2
31
4
Das volle System der Maxwellgleichungen
Lokale Formulierung:
~ r) = ρ(~r)
div D(~
~ r) = 0
div B(~
~ r) + ∂ B(~
~ r) = 0
rot E(~
∂t
4.1
~ r) = ~j(~r) + ∂ D(~
~ r)
rot H(~
∂t
Lösungen der Maxwellgleichungen
a) Einführung der Potentiale
~ r, t)
~ r, t) = − ∂ B(~
rot E(~
∂t
~ =0
i) div B
−→
~ = − ∂ rotA
~
ii) rotE
∂t
~ r, t) = rotA(~
~ r, t)
B(~
n
o
~ + ∂A
~ = 0 → Eichbares Potential
⇒ rot E
∂t
~+ ∂A
~ =: −grad ϕ =⇒ E(~
~ r, t) = −grad ϕ(~r, t) − ∂ A(~
~ r, t)
⇒E
∂t
∂t
~= ρ
A
ε0
Durch das Addieren einer “nahrhaften Null”, erhält man
1 ∂2
∂
1 ∂
ρ
~
∆ϕ − 2 2 ϕ +
div A + 2 ϕ = −
c ∂t
∂t
c ∂t
ε0
∂
1
∂
ρ
~+
ϕ +
div A
ϕ =− .
2
∂t
c ∂t
ε0
~ = −div grad ϕ −
iii) div E
∂
div
∂t
~ − 12 ∂ E
~ = rot rot A
~ − 12 ∂ E
~ = grad div A
~ − ∆A
~ − 12 ∂ E
~ = µ0~j
iv) rot B
c ∂t
c ∂t
c ∂t
∂
~
~
ii) =⇒ A(~r, t) − grad div A(~r, t) + ϕ(~r, t) = µ0~j(~r, t)
∂t
32
b) Eichtransformationen:
~ r, t) = A
~ 0 (~r, t) + grad Φ(~r, t)
A(~
~ = rot A
~ = rot A
~ 0 (~r, t) + rot grad Φ(~r, t)
→ B
~0 = B
~0
= rot A
∂
Φ(~r, t)
∂t
~ = −grad ϕ0 + grad ∂ Φ − ∂ A
~
→ E
∂t
∂t
∂ ~
= −grad ϕ0 −
A − grad Φ
∂t
∂ ~0
0
~0
=E
= −grad ϕ − A
∂t
ϕ(~r, t) = ϕ0 (~r, t) −
Die Eichtransformationen lassen die Felder unverändert (nur die Potentiale
werden gehoben bzw. gesenkt).
c) Eichformen:
~ r, t) =! 0
div A(~
• Coulomb-Eichung:
=⇒ siehe Abs.3.2
Felder:
~ r, t) = − ∂ A(~
~ r, t) − grad ϕ(~r, t)
E(~
∂t
• Lorenz-Eichung:
!
1 ∂
ϕ(~r, t) =
c2 ∂t
~ r, t) +
div A(~
=⇒
~ r, t) = rot A(~
~ r, t)
B(~
0
~ r, t) = −µ0~j(~r, t)
A(~
ρ
ϕ(~r, t) = −
ε0
Lösung der Wellengleichungen:
Z∞
ϕret (~r, t) = k0
ρ(r~0 , t −
−∞
Z∞
~ ret (~r, t) = m0
A
−∞
33
|~r −
|~
r−r~0 |
)
c
r~0 |
~j(r~0 , t −
|~r −
|~
r−r~0 |
)
c
r~0 |
dV 0
dV 0
4.2
Folgerungen aus den MWGl - Poynting’scher Satz
~ + ∂ wges = −~j E
~
[. . .] =⇒ div S
∂t
34