Übungsblatt 1

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G EOMETRIE II
Boris Girnat
Technische Universität Braunschweig
Institut für Didaktik der Mathematik und Elementarmathematik
Wintersemester 2006/07
Abgabe: 28. November 2006
Übungsblatt 1
Geben Sie oben auf der ersten Seite Ihrer Hausaufgaben Namen, Matrikelnummer und Gruppe an.
Aufgabe 1: Es sei 4 ABC ein Dreieck mit den Seitenlängen b = 5 LE und c = 7 LE sowie
dem Winkel γ = 30◦ . Konstruieren Sie 4 ABC und berechnen Sie die Länge a der Seite BC, die
Größen der Winkel α und β, den Flächeninhalt F sowie den Umkreisradius R des Dreiecks.
Aufgabe 2:
1) Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für den Inkreis eines Dreiecks 4 ABC an. Dabei
dürfen nur ein Stift, Zirkel und ein Lineal ohne Skala als Werkzeuge benutzt werden.
2) Zeigen Sie: Für jedes Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c und dem Flächeninhalt F
gilt bezüglich des Inkreisradius r
2·F
.
r=
a+b+c
3) Berechnen Sie (sofern möglich) aus den gegebenen Größen für ein Dreieck 4 ABC jeweils
die fehlenden unter den Größen a, b, c, α, β, γ, den Inkreisradius r und den Umkreisradius
R; und geben Sie (sofern möglich) jeweils den Kongruenzsatz an, nach dem das jeweilige
Dreieck eindeutig bestimmt ist:
a) a = 4 cm, b = 5 cm und γ = 45◦ ;
b) b = 7 cm, c = 5 cm und γ = 60◦ ;
c) a = 6 cm, β = 45◦ und γ = 60◦ ;
d) a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm.
Aufgabe 3: Zeigen Sie: Für jedes Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c gilt bezüglich des
Flächeninhaltes F
q
1
2
F = · ( a2 + b2 + c2 ) − 2 · ( a4 + b4 + c4 ).
4
(Hinweis: Aus der bekannten Formel F = 21 · a · h a folgt augenscheinlich F2 = 14 · a2 · h2a . Gehen
Sie von dieser Gleichung aus und drücken Sie h a allein in Abhängigkeit von den Seitenlängen
des Dreiecks aus.)
Aufgabe 4:
1) Definieren Sie den Begriff des gleichseitigen Dreiecks.
2) Geben Sie jeweils eine Formel an, mit der sich der Flächeninhalt F, eine beliebige Höhe h, der Umkreisradius R, der Inkreisradius r und der Umfang U eines gleichseitigen
Dreiecks allein aus der Seitenlänge a des Dreiecks berechnen lassen, und weisen Sie die
Adäquatheit dieser Formeln nach. Verwenden Sie dabei nur radikale Ausdrücke. (Hinweis: Radikale Ausdrücke sind nicht das, was Sie jetzt gerade denken, sondern Terme,
die neben Konstanten, Variablen und Operatoren nur Wurzelausdrücke enthalten.)
Informationen zur Veranstaltung auf www.girnat.de
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