Klasse 8 - Aufgaben

GYMNASIUM CHRISTIAN-ERNESTINUM BAYREUTH
GRUNDWISSEN M ATHEMATIK, JAHRGANGSSTUFE 8
Grundwissen Mathematik für die Jahrgangsstufe 8
I: Rechnen mit Termen
1. Vereinfache die Terme möglichst weitgehend:
a) 4 − 8(2𝑎𝑏 − 1,2) + 𝑎(0,5𝑎 + 4𝑏)
b) (2𝑏)4 − (3𝑏 4 − 0,25𝑏 2 ) ∙ 4 + (−5𝑏 2 ): 10
c) (12𝑥 − 10𝑦): (−4) + (3𝑦): 0,5
d) (𝑥 − 2𝑦)(𝑥 + 12) + 36 − 18𝑥 ∙ (0,5𝑦 − 3) + (34 − 11𝑦) ∙ 𝑥
e) (−
12
5
𝑥 2 𝑦) ∙
5
18
1
𝑥 7 ∙ 4𝑥 2 𝑦
f) −33 𝑢𝑣 2 − 𝑣 2 ∙ 4𝑢 + 𝑢2 𝑣 − 𝑣𝑢²
3
2
3
1
2
g) (𝑚 − 3)(𝑚 − 𝑛 + 1) − (𝑚 + 3𝑚 − 4𝑚𝑛)
2
1
1
6
5
3
7
h) ( + 𝑎 ) : − ( + 𝑎) ( − 𝑎)
7
2. Klammere den in eckigen Klammern angegebenen Faktor aus:
a) 5𝑎 + 10𝑏 − 7,5
[2,5]
b) 4𝑦 − 16𝑥
[−8]
c) 6𝑧² + 3𝑧
[0,5𝑧]
d) −2𝑏 2 𝑐 + 2𝑏𝑐 − 𝑏𝑐²
[−2𝑏𝑐]
f) 0,165𝑔4 ℎ³ − 3𝑔2 ℎ2 + 1,8ℎ³𝑔³
[0,3𝑔²ℎ²]
e)
2
3
1
1
𝑥³ − 𝑥²
[ 𝑥²]
3
3
II: Gleichungen
Ermittle jeweils die Lösung der Gleichung über der angegebenen Grundmenge G.
a) 𝑥 ∙ (𝑥 − 4) − (2𝑥 − 0,75) ∙ 2 = (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 − 3)
b) (4𝑥 + 5)(1 − 𝑥) =
1
12
∙ (6 − 18𝑥) − (2𝑥)²
c) (3𝑥 + 9): 4 + (5𝑥 − 8): (−3) = −1
𝑥
1
4
4
𝐺=𝑄
𝐺=𝑄
𝐺=𝑍
d) (2𝑥 − 3) (1 − ) = 𝑥(11 − 2𝑥) + 𝑥
𝐺 = 𝑍+
e) (𝑥 − 15)2 = (13 + 𝑥)2 + 56
𝐺=𝑁
1
2
3
1
4
3
2
4
f) ( − 𝑥) : − (20𝑥 2 − ) ∙ = 2,5𝑥 + (−5𝑥) ∙ 𝑥
g) (0,2𝑥 − 7) ∙ 8 + 40 = 1,6𝑥
𝐺=𝑄
𝐺=𝑄
h) 5𝑥 − (𝑥 − 122 ) = (36 + 𝑥) ∙ 4
𝐺=𝑍
III: Prozentrechnen
1.
Herr Müller legt seinen Lottogewinn von 2000 € bei einem Zinssatz von 3 % pro Jahr an. Berechne sein
Guthaben nach Ablauf von zwei Jahren, wenn die Zinsen auf dem Konto verbleiben.
2.
Ein Anorak wird im Winterschlussverkauf um 20% herabgesetzt. Nachdem er zwei Wochen später immer noch
nicht verkauft wurde, wird der Preis nochmals um 10% reduziert und das Kleidungsstück würde jetzt nur noch
81 € kosten. Berechne, wie teuer der Anorak vor Beginn des Winterschlussverkaufs war.
3.
In einer achten Klasse mit 30 Schülern tragen sieben der Jugendlichen eine Brille. Berechne den Anteil der
Brillenträger in Prozent. (Runde die Prozentangabe auf eine Dezimale)
4.
Der Preis eines Kühlschranks (240 €) wurde um 10% gesenkt und dann wieder um 10% erhöht. Ermittle, wieviel
der Kühlschrank jetzt kostet.
5.
Wegen einer Baustelle dauert eine Zugfahrt jetzt 68 min, das sind 70% mehr als sonst. Wie
lange ist man normalerweise unterwegs?
6.
Bestimme die fehlenden Werte.
Die Rechnungen für die Ergebnisse
der grauen Felder müssen
nachvollziehbar sein. Beachte auch
die in der Tabelle vorgegebenen Einheiten
a)
Alter Betrag
b)
2,5 kg
Neuer Betrag
€
km
d)
0,5ha
15%
Zu- bzw. Abnahme in %
WF bzw. AF
c)
1,1
2,5
g
255 €
1500m
8m²
IV: Winkel
1. Zeichne in nebenstehende Abbildung zum Winkel 𝛼
einen Nebenwinkel 𝛽, den Scheitelwinkel 𝛾, den Stufenwinkel 𝛿
und den Wechselwinkel 𝜀 ein. Gib dann an, welche Aussage du
über die Größe der Winkel 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 und 𝜀 treffen kannst, wenn die
Geraden g und h zueinander echt parallel sind.
2. Begründe zunächst, dass der Winkel 𝛾 = 50° beträgt und bestimme
anschließend die Winkel 𝛼, 𝛽, 𝜀 sowie 𝜔 und gib dafür jeweils eine
kurze Begründung an.
3. Erkläre kurz, weshalb bei einem Vieleck mit n-Ecken für die Innenwinkelsumme (𝑛 − 2) ∙ 180° gilt.
V: Flächen, Volumina, …
1. Leite für die Raute (s. Bild) nachvollziehbar eine Formel für deren Flächeninhalt her.
Dabei sollen als Variablen nur die Diagonalen e und f verwendet werden.
2. Ein rechteckiges Grundstück hat einen Umfang von 200 m und eine Länge von 80 m.
a) Berechne die Breite und anschließend den Flächeninhalt des Grundstücks.
b) Gib die Maße eines flächengleichen quadratischen Grundstücks an.
3. Ein Parallelogramm hat die Seitenlängen 𝑎 = 8 𝑑𝑚 und 𝑏 = 0,5 𝑚.
a) Berechne die beiden Höhen des Parallelogramms, wenn der Flächeninhalt 0,0008 𝑎 betragen soll.
b) Hans soll das Parallelogramm aus Teilaufgabe a) im Maßstab 1:20 zeichnen. Berechne die Seitenlängen a
und b für seine Zeichnung.
4. Gib an, wie sich bei einem Dreieck die Höhe verändern muss, wenn die zugehörige Seite verdreifacht wird, der
neue Flächeninhalt aber nur noch halb so groß sein soll.
5a) Ein Dreieck ABC hat die Fläche 10 𝑐𝑚2 . Berechne die Höhe hc, wenn c = 5 cm.
5b) Berechne den Flächeninhalt eines Trapezes, wenn dessen parallele Seiten 5 cm bzw. 7 cm lang sind und der
Abstand der Parallellen 4 cm beträgt.
6. Ein Zelt hat die Form eines Prismas mit einem gleichschenkligen
Dreieck als Grundfläche. Die Maße sollen aus nachstehender
Zeichnung übernommen werden.
Berechne den Oberflächeninhalt des gesamten Zeltes (incl.
Bodenfläche) und das vom Zelt eingeschlossene Volumen.
7. Wandle jeweils in die in Klammern stehenden Einheiten um!
a)
b)
c)
d)
e)
f)
113 𝑐𝑚2
2456 ℎ𝑎
0,0013 𝑚3
71 230 387 𝑑𝑚
500,5 min
47 𝑔
[𝑚𝑚2 𝑏𝑧𝑤. 𝑚2 ]
[𝑚2 𝑏𝑧𝑤. 𝑘𝑚2 ]
[𝑙 𝑏𝑧𝑤. ℎ𝑙 ]
[𝑘𝑚]
[𝑔𝑒𝑚𝑖𝑠𝑐ℎ𝑡 𝑖𝑛 ℎ, min 𝑢𝑛𝑑 𝑠]
[𝑚𝑔 𝑏𝑧𝑤. 𝑘𝑔 𝑏𝑧𝑤. 𝑡]
VI: Drei- und Vierecke
1. Richtig oder falsch: Kreuze jeweils an und nenne bei falschen Aussagen ein Gegenbeispiel
Aussage
Richtig
falsch
Gegenbeispiel
Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch.
Jedes Viereck mit genau einer Symmetrieachse ist ein
gleichschenkliges Trapez.
Jede Raute ist ein Drachenviereck.
Jedes Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren, ist ein Quadrat.
Es gibt kein punktsymmetrisches Trapez.
Ein Viereck mit zwei Symmetrieachsen ist immer ein Rechteck.
2. Begründe mit einem passenden Kongruenzsatz, dass ein Dreieck, in dem eine Höhe die zugehörige Seite
halbiert, immer gleichschenklig ist.
3. Konstruiere im Dreieck ABC die Mittelsenkrechte m a
und die Winkelhalbierende 𝑤𝛼 . Gib jeweils an, um welchen
besonderen Punkt es sich beim Schnittpunkt aller
drei Mittelsenkrechten bzw. aller drei Winkelhalbierenden
handelt
4a) In einem Dreieck ABC gilt: 𝑏 = 𝑐 und 𝛽 = 50°.
Berechne α, γ und gib die Art des Dreiecks an.
4b) In einem Dreieck gilt : 𝛼 = 55° und 𝛽 = 35°.
Berechne 𝛾 und gib die Art des Dreiecks an.
4c) In einem Dreieck gilt: 𝑎 = 𝑏 und 𝛼 = 𝛾.
Berechne 𝛼, 𝛽, 𝛾 und gib die Art des Dreiecks an.