Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II - Humboldt

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II
Reelle Zahlen
H. Rodner, G. Neumann
Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik
Sommersemester 2010/11
Internetseite zur Vorlesung:
http://www.mathematik.hu-berlin.de/˜neumann/
H. Rodner, G. Neumann Humboldt-Universität Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II, Teil 2
Sommersemester 2010/11
Heronverfahren
1. Niveau:
I
I
a) Berechnung einzelner Folgenglieder nach Anleitung
b) Annäherung an den Flächeninhalt des Quadrats über Rechtecke
auch zeichnerisch
2. Niveau:
Interaktive Lernumgebungen:
www.zum.de (Zentrale für Unterrichtsmedien im Internet für alle
Fächer) bzw. direkt über www.mathematik-digital.de
3. Niveau:
I
I
a) Welche Zahl kann man mit folgender Iterationsvorschrift von
Heron bestimmen?
xn+1 = 13 (2xn + 35
xn2 )
√
b) Stelle eine Iterationsvorschrift für die 4 12 auf!
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Sommersemester 2010/11
Neunerperiode
0, 9 = 1
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Sommersemester 2010/11
Neunerperiode
Inhaltliche Argumentation 1:
0, 1 =
1
9
0, 2 =
2
9
...
0, 8 =
8
9
0, 9 =
9
9
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9. Klasse: Neunerperiode
Inhaltliche Argumentation 2:
I : 10 · 0, 9 = 9, 99999999999...
II : 1 · 0, 9 = 0, 99999999999...
I - II : 9 · 0, 9 = 9
⇐⇒ 0, 9 = 1
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9. Klasse: Neunerperiode
Problem:
Prozessorientierte Sicht:
0, 9 entsteht aus 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...
Produktorientierte Sicht:
0, 9 ist gleich 1
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Sommersemester 2010/11
9. Klasse: Indirekter Beweis für 0, 9 = 1
I
Angenommen, es sei 0, 9 6= 1.
I
Dann muss es einen Abstand d zwischen 0, 9 und 1 geben.
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Sommersemester 2010/11
9. Klasse: Indirekter Beweis für 0, 9 = 1
I
Angenommen, es sei 0, 9 6= 1.
I
Dann muss es einen Abstand d zwischen 0, 9 und 1 geben.
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9. Klasse: Indirekter Beweis für 0, 9 = 1
I
Wo liegt jede Zahl 0, 999 |{z}
... 9 mit n ∈ N, also jede Zahl mit
(n)
endlich vielen Neunen hinter dem Komma?
I
Nenne nun eine Zahl für d.
links von 0, 9
z.B. d sei ein Millionstel, 10−6 .
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9. Klasse: Indirekter Beweis für 0, 9 = 1
I
Wo liegt jede Zahl 0, 999 |{z}
... 9 mit n ∈ N, also jede Zahl mit
(n)
endlich vielen Neunen hinter dem Komma?
I
Nenne nun eine Zahl für d.
links von 0, 9
z.B. d sei ein Millionstel, 10−6 .
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9. Klasse: Indirekter Beweis für 0, 9 = 1
I
Wo liegt jede Zahl 0, 999 |{z}
... 9 mit n ∈ N, also jede Zahl mit
(n)
endlich vielen Neunen hinter dem Komma?
I
Nenne nun eine Zahl für d.
links von 0, 9
z.B. d sei ein Millionstel, 10−6 .
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9. Klasse: Indirekter Beweis für 0, 9 = 1
I
Wo liegt jede Zahl 0, 999 |{z}
... 9 mit n ∈ N, also jede Zahl mit
(n)
endlich vielen Neunen hinter dem Komma?
I
Nenne nun eine Zahl für d.
links von 0, 9
z.B. d sei ein Millionstel, 10−6 .
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9. Klasse: Indirekter Beweis für 0, 9 = 1
I
Dann finde ich stets eine Zahl, die kleiner ist als d:
z. B. ein Zehnmillionstel 10−7
I
Die Zahl mit dem Abstand Zehnmillionstel, also 10−7 ,
müsste dann rechts von 0, 9 liegen.
Widerspruch!
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Indirekter Beweis für 0, 9 = 1
Kurz:
I
Es existiere eine positive Zahl d := 1 − 0, 9.
I
Dann gibt es ein n ∈ N mit 101n < d,
woraus wegen 1 − 0, 999 |{z}
... 9 = 101n < d = 1 − 0, 9 folgt:
(n)
0, 9 < 0, 999 |{z}
... 9. Widerspruch
(n)
Siehe: Danckwerts, R.; Vogel, D.: Analysis verständlich unterrichten.
Elsevier/Spektrum: München/Heidelberg, 2006, S. 27 - 32
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Sommersemester 2010/11
Mögliche Klausuraufgaben
√
1. Die Betrachtung von 2 ist das schulische Standardbeispiel für
die Irrationalität einer Zahl und die Durchführung des Beweises.
Mit ähnlichen Mitteln lassen sich viele weitere Zahlen
untersuchen. Untersuchen Sie die Seitenlängen eines Quadrates
des Inhaltes 3 bzw. 6.
Beschreiben Sie, wie man die entsprechenden Quadrate
konstruiert.
2. a) Beweisen Sie, dass 0, 9 = 1 gilt.
b) Ein Schüler behauptet schlichtweg das Gegenteil.
Stellen Sie dar, wie Sie ihn mit einer anderen Argumentation als
Ihrem Beweis überzeugen können.
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Sommersemester 2010/11
Hausaufgaben für den 2.5.2011
I
I
Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz oder Divergenz.
Geben Sie gegebenenfalls den √
Grenzwert an.
2
(bn ) = n 10
(an ) = 1n
(cn ) = 4n+2n
n2
(dn ) = ( 12 )n
(en ) = 2n
(gn ) = cos(n)
(hn ) = − (−1)
n +
(fn ) =
n
1
n
n2
n+1
(in ) = (1 + 1n )n
Erklären Sie auf für Schüler verständliche Weise, dass die Reihe
∞
X
1
unbeschränkt ist und deshalb divergiert.
(sn ) mit sn =
n
n=1
I
Veranschaulichen Sie ikonisch, dass (tn ) mit tn =
konvergiert.
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∞
X
1
2n
n=1
Sommersemester 2010/11
Frohe Ostern!
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x2
32
+
y2
22
=1
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