Stochastik Klasse 10 – Zufallszahlen Thüringer CAS

Stochastik Klasse 10 – Zufallszahlen
25.10.2010 G. Moschkau
Thüringer CAS-Projekt
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Stochastik Klasse 10  Zufallszahlen
Thema
Grit Moschkau
Sek I
Sek II
Schlagworte:
ClassPad™
TI-Nspire™ CAS
…….
Urnenmodell, Histogramm, absolute und relative Häufigkeit, Zufallsexperiment, Wahrscheinlichkeit, Augensumme
Aufgabe:
Paul und Sabine wollen zweimal einen fairen Würfel werfen. Sie fragen sich, wie wahrscheinlich die verschiedenen Würfelsummen auftreten.
a) Welches Urnenmodell passt zu diesem Ereignis? Notieren Sie den Ereignisraum und die Anzahl seiner Elemente.
Erzeugen Sie mit dem ClassPad eine zweispaltige Tabelle mit jeweils 100 natürlichen Zufallszahlen von 1 bis 6.
1. Notieren Sie in den Spalten A und B die Augenzahlen der Würfelwürfe. Zeichnen Sie zu jeder der Spalten ein Histogramm mit den absoluten Häufigkeiten der
Würfe in jeder Spalte. Notieren Sie die Beobachtung im Heft.
2. Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten der Augensumme von zwei Würfen und stellen Sie sie in Form eines Histogramms dar.
Notieren Sie die Beobachtungen im Heft und erklären Sie diese.
b) Definieren Sie die Zustandsmenge E der Augensummen des Zufallsexperiments des zweifachen Wurfes eines fairen Würfels.
Geben Sie auch eine Abbildung X zwischen  und E an, die das Zufallsexperiment beschreibt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Augensumme n.
c) Wiederholen Sie die Lösung der Aufgabe unter der P-Oberfläche des ClassPad.
Übertragen Sie die Werte in eine Tabelle und stellen Sie diese grafisch dar.
Wie groß sind die absolute und relative Häufigkeit für Würfe und Wurfsummen von 1 bis 7? Folgern Sie hieraus die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses.
25.10.2010 G. Moschkau
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Paul und Sabine wollen zweimal einen fairen Würfel werfen. Sie fragen sich, wie wahrscheinlich die verschiedenen Würfelsummen auftreten.
a) Welches Urnenmodell passt zu diesem Ereignis? Notieren Sie den Ereignisraum und die Anzahl seiner Elemente.
•
•
•
Modell des Ziehens mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
 = {(1,1), (1,2), (1,3), …, (6,5), (6,6)}
|| = 62 = 36
Erzeugen Sie mit dem ClassPad eine zweispaltige Tabelle mit jeweils 100 natürlichen Zufallszahlen von 1 bis 6.
1. Notieren Sie in den Spalten A und B die Augenzahlen der Würfelwürfe. Zeichnen Sie zu jeder der Spalten ein Histogramm mit den absoluten Häufigkeiten der Würfe in
jeder Spalte. Notieren Sie die Beobachtung im Heft.
Befehl zur
Ausgabe
einer
Zufallszahl
von 1 bis 6
Erweiterung
des Befehls
auf die
Zellen A2 bis
A100:
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Spalte A
aktivieren
zur
grafischen
Darstellung
A
N
A
L
O
G
E
S
V
O
R
G
E
H
E
N
für
Spalte B
2. Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten der Augensumme von zwei Würfen und stellen Sie sie in Form eines Histogramms dar.
Notieren Sie die Beobachtungen im Heft und erklären Sie diese.
In Spalte C
nun die
Summen
A[i] + B[i]
Analog
weiter wie
in Spalten
A und B
mit
Kopieren,
Bereich
wählen
und
Einfügen
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Die Ergebnisse sind nicht gleichverteilt.
Die absoluten Häufigkeiten steigen beidseitig vom Randbereich in den mittleren Bereich der
Augensumme an.
Erklärung:
Es gibt unterschiedlich viele Zerlegungen in zwei Summanden von 1 bis 6 für die Zahlen von 1 bis 12.
Augensumme
1
2
3
4
…
7
…
12
Mögliche Ergebnisse

(1,1)
(1,2), (2,1)
(1,3), (3,1), (2,2)
(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)
(6,6)
b) Definieren Sie die Zustandsmenge E der Augensummen des Zufallsexperiments des zweifachen Wurfes eines fairen Würfels.
Geben Sie auch eine Abbildung X zwischen  und E an, die das Zufallsexperiment beschreibt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Augensumme n.
Zustandsmenge E = {1, 2, 3, …, 11, 12}
Abbildung X:   E, (i, j)  i + j heißt Zufallsvariable oder Zufallsgröße.
X=2
(1,1)
P(X = 2) =
…
…
X=6
(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3)
P(X = 6) =
X=7
(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)
P(X = 7) =
X=8
(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)
P(X = 8) =
…
…
…
X = 12
(6,6)
P(X = 12) =
…
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c) Wiederholen Sie die Lösung der Aufgabe unter der P-Oberfläche des ClassPad.
Übertragen Sie die Werte in eine Tabelle und stellen Sie diese grafisch dar.
100mal zwei
Würfel werfen
und
Augensumme
notieren
Mögliche Ergebnisse
Absolute Häufigkeit
Feld markieren
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Wie groß sind die absolute und relative Häufigkeit für Würfe und Wurfsummen von 1 bis 7? Folgern Sie hieraus die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses.
Absolute Häufigkeit der Augensummen von 4 bis 7
Relative Häufigkeit der Würfe:
Absolute Häufigkeit (A3)
100 = Anzahl der Würfe (A2 bis K2)
Vermutung:
P(4  X  7) = 0,5
Insgesamt 18 Permutationen
18
=
36 Ergebnistupel
1
=
36
2