MATHE-FIT KURS WS 2012/13

MATHE-FIT KURS WS 2012/13
Darmstadt, September 2012
Programm für den Kurs
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1 Mengen
2 Rechnen mit Brüchen
3 Summen- und Produktzeichen
4 Die binomischen Formeln
5 Rechnen mit Quadratwurzeln
6 Potenzen und allgemeine Wurzeln
7 Logarithmen
8 Lineare Gleichungen
9 Geradengleichungen in der x-y-Ebene
10 Lineare Gleichungssysteme
11 Quadratische Gleichungen
12 Parabeln
13 Ungleichungen und Beträge
14 Grundlagen der ebenen Geometrie
15 Trigonometrische Funktionen. Bogenmaß
16 Literaturverzeichnis
FB Mathematik und Naturwissenschaften
1 Mengen



Def. Eine Menge ist die Gesamtheit bestimmter, wohlunterschiedener Objekte, wobei von
jedem Objekt eindeutig feststeht, ob es zur Menge gehört oder nicht. Die zu einer Menge
gehörenden Objekte heißen Elemente der Menge. Besitzt eine Menge endlich viele Elemente,
spricht man von einer endlichen Menge, sonst heißt sie unendliche Menge.
Notierung der Menge in aufzählender Form oder in beschreibender Form (Bsp.1)
Schreibweisen:
Das Element x ist in der Menge M enthalten
Das Element x ist in der Menge M nicht enthalten
M = { } = ¢ Die Menge M enthält kein Element oder M ist die leere Menge
Logische Zeichen:
Bsp.2:
FB Mathematik und Naturwissenschaften
1 Mengen

Relationen zwischen Mengen (Bsp.3 + Bild.1)

Gleichheit:

Teilmenge:

Bsp.:






natürliche Zahlen:
ganze Zahlen:
rationale Zahlen:
reelle Zahlen:
komplexe Zahlen:
1.1.2 Operationen zwischen Mengen

Vereinigung:

Durchschnitt:

Differenz, Komplementärmenge:

Komplementärmenge
FB Mathematik und Naturwissenschaften
1 Mengen

Rechenregeln für Operationen zwischen Mengen
FB Mathematik und Naturwissenschaften
2 Rechnen mit Brüchen


Ein positiver Bruch
kann als Quotient zweier natürlicher Zahlen als endlicher
oder als unendlicher periodischer Dezimalbruch (Dezimalzahl) dargestellt werden.
Erweitern und Kürzen von Brüchen
Der Wert eines Bruches bleibt unverändert, falls Zähler und Nenner mit der
gleichen Zahl multipliziert (erweitert) oder durch die gleiche Zahl dividiert
(gekürzt) werden. Es gilt also

Ein Bruch kann immer durch den ggT von Zähler und Nenner gekürzt werden.

Im Zähler und Nenner dürfen nur gemeinsame Faktoren gekürzt werden. Falls
im Zähler oder Nenner Summen stehen, können gemeinsame Faktoren
ausgeklammert werden, durch die dann gekürzt wird, z.B.

Eine Summe wird durch eine Zahl gekürzt, indem jeder Summand durch diese
Zahl gekürzt wird.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
2 Rechnen mit Brüchen


Zwei Brüche heißen gleichnamig, wenn sie den gleichen Nenner besitzen.
Zwei Brüche sind gleich genau dann, wenn gilt:

Addition (Subtraktion) von Brüchen
Gleichnamige Brüche werden addiert, indem die Zähler addiert (subtrahiert)
werden und das Ergebnis durch den gemeinsamen Nenner geteilt wird.
Beliebige Brüche müssen vor der Addition (Subtraktion) gleichnamig gemacht
werden. Dazu müssen sie so erweitert werden, dass ihre Nenner gleich sind. Als
gemeinsamer Nenner kann z.B. der Hauptnenner oder das Produkt der Nenner
gewählt werden.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
2 Rechnen mit Brüchen

Multiplikation und Division von Brüchen
Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, indem der Zähler mit dieser Zahl
multipliziert wird.
Ein Bruch wird durch eine Zahl dividiert, indem man seinen Nenner mit der Zahl
multipliziert.
Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man das Produkt der
Zähler durch das Produkt der Nenner dividiert (Zähler mal Zähler und Nenner
mal Nenner).
Ein erster Buch wird durch einen zweiten Bruch dividiert, indem der erste Bruch
mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert wird. Es gilt also
Dabei müssen alle Nenner von Null verschieden sein.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
2 Rechnen mit Brüchen

Teilbarkeitsregeln
Eine natürliche Zahl ist genau dann teilbar durch
2, wenn ihre letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist, sonst nicht,
5, wenn ihre letzte Ziffer ein 0 oder 5 ist,
10, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist,
3, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist,
9, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist,
4, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine Zahl ergeben, die durch 4
teilbar ist,
25, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine Zahl ergeben, die durch
25 teilbar
8,wenn ihre letzten drei Ziffern eine Zahl ergeben, die durch 8
teilbar ist,
125, wenn ihre letzten drei Ziffern eine Zahl ergeben, die durch
125 teilbar.
FB Mathematik und Naturwissenschaften

Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, …
Praktische Anwendung: Eine wichtige Rolle spielen Primzahlen in der
Kryptographie:
Viele Verschlüsselungssysteme, beispielsweise RSA, basieren darauf,
dass zwar sehr schnell große Primzahlen multipliziert werden können,
andererseits aber kein effizientes Faktorisierungsverfahren bekannt ist.
So ist es innerhalb von Sekunden problemlos möglich, zwei 500stellige Primzahlen zu finden und miteinander zu multiplizieren. Mit den
heutigen Methoden würde die Rückgewinnung der beiden Primfaktoren
aus diesem 999-stelligen oder 1000-stelligen Produkt dagegen
Millionen von Jahren benötigen. Primzahlen werden auch bei der
Programmierung von Hashtabellen verwendet.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
3 Summen- und Produktzeichen

Falls viele Summanden addiert (bzw. subtrahiert) werden müssen, entsteht i. A.
ein sehr unübersichtlicher Ausdruck. Um eine einfachere und übersichtlichere
Darstellung zu erreichen, führt man das Summenzeichen ein.
Für zwei ganze Zahlen m und n mit m <= n setzt man mit beliebigen reellen vom
Index k abhängigen Zahlen ak

Für jede natürliche Zahl k von m bis n werden die durch k bestimmten Zahlen ak
aufsummiert. Es wird also die Summe aller ak für k = m bis k = n gebildet. k
heißt Summationsindex, m die untere und n die obere Summationsgrenze.
Der Summationsindex kann beliebig bezeichnet werden, z.B. mit i, j, k, 1, r n

Falls alle Summanden gleich sind, gilt
(n-m+1)a
n-m+1 Summanden
FB Mathematik und Naturwissenschaften
3 Summen- und Produktzeichen

Aus den Rechenregeln für die Addition (Subtraktion) und Multiplikation mit einer
Konstante folgt:

Vorsicht: Allgemein gilt:

Ausgeartete Summen
Für m = n besteht die Summe aus einem einzigen Summanden an:
Ferner hat es sich als nützlich erwiesen, für n = m − 1 eine leere Summe zu
definieren:
Man beachte, dass dieses der einzige Fall mit n < m ist, der sinnvoll definiert
werden kann. Im Gegensatz zur Integralnotation bleibt die Summe für n<m in
allen anderen Fällen undefiniert.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
3 Summen- und Produktzeichen


In Analogie zum Summenzeichen werden die durch den Index i beschriebenen
Zahlen miteinander multipliziert.
Für beliebige reelle Zahlen ai stellt
das Produkt aller Zahlen ai von i gleich m bis n dar.

Falls alle ai gleich a sind, gilt:
n
∏ a = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a =a (n-m+1) = (n-m+1)-te Potenz von a
i=m
FB Mathematik und Naturwissenschaften
4 Die binomischen Formeln



(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2

Anwendung:

Rechnungen vereinfachen (Berechnen von Quadraten)

Umwandlung in Produkte (Durch "geschicktes Hinsehen„ für quadratische
Gleichung)

Terme kürzen

"Verschönerung" von Wurzelausdrücken (Rationalmachen des Nenners)
FB Mathematik und Naturwissenschaften
5 Rechnen mit Quadratwurzeln






X=
heißt die Wurzel (Quadratwurzel) von y, falls x2 = y ist.
Die Zahl y heißt der Radikand.
Da das Quadrat x2 einer reellen Zahl nichtnegativ ist, können Wurzeln nur aus
nichtnegativen Zahlen y>= 0 gezogen werden
Falls man allgemeine Quadratwurzeln als nichtnegativ festsetzt, hat für a> 0
und
.
die Gleichung x2 = y die beiden Lösungen
Manchmal werden auch beide Werte
und
als
Wurzeln
bezeichnet. Wir setzen jedoch hier
.
Quadratwurzeln können rationale und irrational Zahlen sein, wie z.B.
.
Geometrische Bedeutung:
Quadratfunktion x2 = y (rot und blau).
Durch Spiegelung allein der blauen Hälfte
an der Winkelhalbierenden des I. Quadranten
entsteht
das Schaubild der Quadratwurzelfunktion (grün).
Bild 1. Quadratfunktion
FB Mathematik und Naturwissenschaften
5 Rechnen mit Quadratwurzeln

Für das Rechnen mit Quadratwurzeln gelten folgende Eigenschaften

Aus einer Summe darf die Wurzel nicht gliedweise gezogen werden. Im
Allgemeinen ist.


Allgemein ist also
Gliedweises Wurzelziehen ist nur bei Produkten und Quotienten nichtnegativer
Zahlen erlaubt.

Falls in Summen gemeinsame Faktoren auftreten, aus denen die Wurzel
einfacher gezogen werden kann, so müssen diese Faktoren ausgeklammert
werden.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
6 Potenzen und allgemeine Wurzeln

Def. n sei eine natürliche und a eine reelle Zahl. Die n-te Potenz an der Zahl a
ist das n-fache Produkt der Zahl a mit sich selbst, d.h.
a heißt Basis (Grundzahl) und n Exponent (Hochzahl).

Merke: Die n-te Potenz einer negativen Zahl ist bei gerader Hochzahl n positiv
und bei ungerader Hochzahl negativ. Speziell gilt

Für jede natürliche Zahl n ist 2n gerade und 2n + 1 und 2n - 1 ungerade. Damit
gilt

Potenzgesetze:
FB Mathematik und Naturwissenschaften
6 Potenzen und allgemeine Wurzeln

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Im Quotienten
können Faktoren a gekürzt werden und zwar
Es müssen noch Potenzen mit negativen Zahlen (für n< m) und die Potenz a0 = 1
(für n = m) eingeführt werden:
FB Mathematik und Naturwissenschaften
6 Potenzen und allgemeine Wurzeln




n-te Wurzeln (Potenzen mit dem Exponenten 1/n)
Falls xn = a gilt, ist die
n-te Wurzel aus a. Dabei heißt a der
Radikand und n der Wurzelexponent (Wurzelhochzahl).
Die n-te Wurzel aus a ist also die Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.
n-te Wurzel als Potenzen mit Exponenten 1/n:
Eindeutigkeit von Wurzeln
Für a>=0 ist die n-te Wurzel aus a, also
diejenige nichtnegative Zahl x, deren n-te Potenz gleich a ist, d.h.
>=0
xn=a.
Bemerkung: Mit diesem Wurzelbegriff besitzt für a>=0 die Gleichung xn=a
die einzige Lösung
, falls n ungerade ist und für gerades n die
beiden Lösungen ±
. Für gerades n hat im Falle a> 0 die Gleichung
.
xn = -a < 0 keine Lösung. Für ungerades n lautet die Lösung x = Eigenschaften:
FB Mathematik und Naturwissenschaften
6 Potenzen und allgemeine Wurzeln

Potenzen mit rationalen Exponenten
Für beliebige natürliche Zahlen m und n setzt man

Eigenschaften:

Für Potenzen mit rationalen Exponenten gelten dieselben Rechenregeln wie
für Potenzen mit ganzen Hochzahlen.

Der Wert einer Potenz mit gebrochener (rationaler) Hochzahl bleibt
unverändert, wenn die Hochzahl erweitert oder gekürzt wird:
FB Mathematik und Naturwissenschaften
6 Potenzen und allgemeine Wurzeln

Lösungen von Potenzgleichungen
Eine Gleichung der Form xa = b, wenn a von Null verschieden ist, heißt
Potenzgleichung. Für b > 0 hat die Potenzgleichung mindestens eine Lösung.

Die positive Lösung der Potenzgleichung xa = b, a 0, b > O lautet

Bei ganzzahligen geraden Exponenten n besitzt die Potenzgleichung xn = b,
b > 0 die beiden Lösungen

Bei ungeradem n hat die Gleichung xn = b, b > 0 die einzige Lösung x =
während für b < 0 die einzige Lösung ist:
Bild 2. Potenzfunktionen mit
positivem Exponenten
Bild 3. Potenzfunktionen mit
negativem Exponenten
FB Mathematik und Naturwissenschaften
7 Logarithmen



Def.: Für jedes a > 0 mit a 1 und jedes b > 0 hat die Gleichung ax = b genau
eine Lösung. Diese Lösung heißt Logarithmus von b zur Basis a und wird mit
x = loga (b) bezeichnet. (d.h. der Potenzwert ist gesucht )
Es gilt also x = loga(b) <=> ax = b.
Beachte:

Der Logarithmus ist für 0 und negative Zahlen nicht definiert

d.h. b kann nur eine positive Zahl > 0 sein , wenn x = loga (b)

y kann von - Unendlich bis + Unendlich reichen

Logarithmen zur Basis 10 heißen dekadische
Logarithmen (Zehner- Logarithmen).
Man bezeichnet sie mit lg(b) oder log(b), also
X = lg(b) <=> 10x = b.

Logarithmen zur Basis e heißen natürliche
Logarithmen. Man bezeichnet sie mit ln(b).
Es gilt also x = ln(b) = loge(b) <=> ex=b.
Bild 4. Logarithmus zur Basis
2 (grün), e (rot), 1/2 (blau)
FB Mathematik und Naturwissenschaften
7 Logarithmen

Rechenregeln für beliebige Logarithmen



1.
2.
3.

4.

5.

6.

7.

8.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
7 Logarithmen

Lösungen von Exponentialgleichungen
Eine Gleichung ax = b mit a, b> 0 heißt Exponentialgleichung. Durch
Logarithmieren geht sie über in x•lg(a) = lg(b).
Für lg(a) 0 <=> a 1 erhält man die Lösung der Exponentialgleichung ax = b,
a,b>0, a 1

Logarithmen zu verschiedenen Basen
Die Logarithmen zur Basis c erhält man, indem man die Logarithmen zur Basis a
durch die Konstante logac dividiert.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
8 Lineare Gleichungen





Eine Bestimmungsgleichung, in der die Unbekannte x nur mit Zahlen multipliziert
und addiert wird, heißt linare Gleichung mit einer Unbekannten.
In einer linearen Gleichung darf die Unbekannte nur in der ersten Potenz
vorkommen und nicht mit sich selbst multipliziert werden.
Die Lösungsmenge einer Bestimmungsgleichung bleibt unverändert, falls
folgende Rechenoperationen durchgeführt werden (äquivalente Umformungen):

1) Addition (Subtraktion) der gleichen Zahl auf beiden Seiten.

2) Division beider Seiten durch eine Zahl c 0.

3) Multiplikation beider Seiten mit einer Zahl c
0.
Falls mit Hilfe dieser zulässigen Umformungen die Gleichung in die Form x = b
übergeführt werden kann, ist b die Lösung der Ausgangsgleichung.
Für eine umgeformte Gleichung der Art a • x = b gibt es drei
Lösungsmöglichkeiten:

1. Fall: a 0 => x = b ist die einzige Lösung.

2. Fall: a = 0; b 0 (0 • x= b 0) => es gibt keine Lösung.

3. Fall: a= 0; b= 0 (0 • x= 0) => jedes beliebige
ist Lösung
(unendlich viele Lösungen).
FB Mathematik und Naturwissenschaften
8 Lineare Gleichungen

Praktische Lösung von linearen Bestimmungsgleichungen:

1. Schritt: Falls x im Nenner auftritt, wird die Gleichung mit dem
Hauptnenner durchmultipliziert (x 0) .

2. Schritt: Auflösung von Klammern.

3. Schritt: Zusammenfassen der Glieder mit und ohne x auf beiden Seiten
der Gleichung.

4. Schritt: Umformung der Gleichung derart, dass auf einer Seite der
Ausdruck
a • x und auf der anderen Seite die Zahl b entsteht:
a • x = b oder b = a • x.
5. Schritt: Falls a 0 ist, lautet die Lösung x = b/a
(Division beider Seiten durch a).
Falls die Gleichung 0 • x = b 0 entsteht, gibt es keine Lösung. Dies wird bereits
erkennbar, falls z.B. die Gleichung 5x + 8 = 5x + 13 entsteht.
Für 0 • x = 0 ist jedes
Lösung. Das wird früher erkennbar, falls auf beiden
Seiten die gleichen Terme entstehen.

FB Mathematik und Naturwissenschaften
9 Geradengleichungen
in der x-y-Ebene


Koordinatengleichung einer Geraden
Die sog, lineare Funktion y = mx + b, m und b reelle Konstante
stellt die Gleichung einer Geraden g in der x-y-Ebene dar. Alle Punkte P (x, y),
deren Koordinaten x, y diese Gleichung erfüllen, liegen auf dieser Geraden.
In der Geradengleichung y = mx + b stellt b den Achsenabschnitt auf der yAchse dar. m ist die Steigung. Wenn x um eine Einheit vergrößert wird, ändert
sich y um m Einheiten. Bei positiver Steigung wächst y, bei negativer Steigung
nimmt y entsprechend ab. Im Falle m = 0 stellt y= b eine zur x-Achse parallele
Gerade dar.

Beispiel 1: y=1,5x+1.
Für x = 0 stellt y = 1 den Achsenabschnitt
auf der y-Achse dar. m = 1,5 ist die Steigung
der Gerade. Wenn x um eine Einheit vergrößert wird,
wächst y um m = 1,5 Einheiten.
Bild 5. Beispiel 1
FB Mathematik und Naturwissenschaften
9 Geradengleichungen
in der x-y-Ebene

Punkt-Steigungs-Formel
Die Gerade soll durch einen vorgegebenen Punkt P(x0, y0) mit den Koordinaten x0
und y0 gehen und die Steigung m besitzen. Dann lautet die Gleichung der
Geraden
y – y0 = m • (x – x0) oder
y = mx + y0 – mx0.
=b
Bild 6. Punkt-Steigungs- Formel
FB Mathematik und Naturwissenschaften
9 Geradengleichungen
in der x-y-Ebene

Zwei-Punkte-Formel
Durch zwei verschiedene Punkte P1 (x1, y1) und P2 (x2, y2) mit den Koordinaten
x2 folgt aus dem
(x1, y1) bzw. (x2, y2) geht genau eine Gerade. Für x1
Strahlensatz die Gleichung
(Zwei-Punkte-Formel).
Bild 11. Zwei-Punkte-Formel
FB Mathematik und Naturwissenschaften
9 Geradengleichungen
in der x-y-Ebene

Achsenabschnittsformel
Dabei ist a der vorzeichenbehaftete Achsenabschnitt
auf der x-Achse und b der Abschnitt auf der y-Achse.
Diese Formel gilt nur für a, b 0, also für Geraden,
die nicht durch den Koordinatenursprung gehen.


Bild 7. Achsenabschnittsformel
Schnitt zweier Geraden
Zwei Geraden gl: y = mlx + bl; g2: y= m2x + b2
sind parallel <=> (ml = m2). Parallele Geraden besitzen keinen Schnittpunkt
oder sind identisch. Nichtparallele Geraden besitzen genau einen Schnittpunkt.
Als Lösung von mlx + b1 = m2x + b2 (Gleichsetzungsmethode) erhält man die xKoordinate des Schnittpunktes. Durch Einsetzen dieses x-Wertes erhält man die
y-Koordinate des Schnittpunktes.
Orthogonale Geraden
Die beiden Geraden gl: y = mIx + bl und gz: y= mZx + b2 stehen aufeinander
senkrecht (sind orthogonal), falls für ihre beiden Steigungen m1 und m2 gilt
m1 • m2 = -1
FB Mathematik und Naturwissenschaften
10 Lineare Gleichungssysteme






Def.: Eine Gleichung mit mehreren Unbekannten (Variablen) heißt linear, wenn
die Unbekannten nur in der ersten Potenz vorkommen und keine Produkte von
Unbekannten auftreten.
Def.: Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen
Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen.
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten
Def.: Eine Gleichung der Form a1x + a2y = b, a1, a2, b
;
a1, a2 nicht beide gleich Null, ist eine lineare Gleichung in x und y.
Alle Punkte P (x, y), deren Koordinaten diese lineare Gleichung erfüllen, liegen
auf einer Geraden in der Zahlenebene.
Für a2 0 geht diese Gleichung nach Division durch a2 über in
m = - a1/a2 ist die Steigung und b/a2 der Abschnitt auf der y-Achse.
Falls a2 verschwindet und a1 von Null verschieden ist, gilt a1 • x = b => x = b/a1.
Da alle x-Werte konstant sind, handelt es sich um eine Gerade, die parallel zur yAchse verläuft.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
10 Lineare Gleichungssysteme


Wir beschränken uns auf die Behandlung zweier Gleichungen mit zwei
Unbekannten
a11 • x + a12 • y = b1
a21 • x + a22 • y = b2
Dabei sind die Koeffizienten a11, a12, a21, a22 und die rechten Seiten b1, b2
vorgegebene reelle Zahlen. Lösungen dieses Gleichungssystems (x, y) sind alle
Zahlenpaare, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Geometrisch sind also
alle funkte P (x, y) zu bestimmen, die gleichzeitig auf beiden Geraden liegen.
Dabei gibt es folgende
Fälle:

1) Es gibt genau eine Lösung, d.h. die Geraden schneiden sich in genau
einem Punkt.

2) Es gibt unendliche viele Lösungen, d.h. die beiden Geraden sind
identisch (fallen zusammen).

3) Es gibt keine Lösung, d.h. die beiden Geraden sind parallel und
voneinander verschieden.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
10 Lineare Gleichungssysteme

Methoden:
1. Die Einsetzungsmethode
1. Auflösen einer der beiden Gleichungen nach einer Unbekannten.
2. Einsetzen des für diese Unbekannte erhaltenen Ausdrucks in die andere Gleichung.
3. Auflösung dieser Gleichung nach der (verbliebenen) einzigen Unbekannten.
4. Einsetzen dieser Unbekannten in 1). Dadurch erhält man die Lösung für die zweite
Unbekannte.
Falls in 3) ein Widerspruch entsteht, gibt es keine Lösung.
Falls in 3) eine Identität, z.B. 5x + 7 = 5x + 7 oder 5 = 5 entsteht, gibt es unendlich viele
Lösungen.
2. Die Glcichsetzungsmethode
Bei der Gleichsetzungsmethode werden beide Gleichungen nach derselben Unbekannten
aufgelöst. Gleichsetzen der Ausdrücke für diese Unbekannte liefert eine Gleichung für die
andere Unbekannte. Einsetzen der Lösung in die im ersten Schritt aufgelöste Gleichung ergibt
die Lösung für die andere Unbekannte.
3. Die Additionsmethode
Bei der Additionsmethode werden beide Gleichungen so durchmultipliziert, dass bei der
Addition (Subtraktion) dieser multiplizieren Gleichungen eine Unbekannte wegfällt. Dadurch
entsteht eine Gleichung für eine Unbekannte. Aus einer der beiden Ausgangsgleichungen erhält
man dann die Lösung für die andere Unbekannte.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
10 Lineare Gleichungssysteme




Lineare Gleichungen mit drei Unbekannten
Bei drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten wird in
einer Gleichung nach einer Unbekannte aufgelöst und der
entstehende Ausdruck in die beiden anderen Gleichungen
eingesetzt. Dadurch entstehen zwei lineare Gleichungen mit
zwei Unbekannten, die mit Einsetzungs-, Gleichsetzungsund Additionsmethode gelöst werden können.
Durch die Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und
Additionsmethode wird die Lösungsmenge eines linearen
Gleichungssystems nicht verändert. Falls dabei eine nicht
lösbare Gleichung oder ein Widerspruch entsteht, ist das
lineare Gleichungssystem nicht lösbar.
Die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit mehr als
drei Unbekannten wird mit dem sog. Gaußschen
Algorithmus berechnet.
Jede Lösung eines linearen Gleichungssystems muss durch
Einsetzen in alle gegebenen Gleichungen überprüft werden.
Bild 9. LGS mit 3 Unbkten.
Bild 10. LGS mit 3 Unbkten.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
11 Quadratische Gleichungen

Die reinquadratische Gleichung ax2 + c = 0, a
lösbar:

Für –c/a > 0 besitzt sie die beiden Lösungen
0 ist nur für –c/a >= 0

Für c = 0 gibt es nur die einzige Lösung x = 0.
Im Falle –c/a < 0 gibt es keine reelle Lösung.

Die spezielle quadratische Gleichung ax2 + bx = 0, a
Lösungen:
0 besitzt die beiden
FB Mathematik und Naturwissenschaften
11 Quadratische Gleichungen

Die allgemeine quadratische Gleichung
Jede quadratische Gleichung der Form ax2+bx+c=0; a,b,c
kann durch Division durch a auf die Normalform
,a
0
gebracht werden.


Über die Lösungsmöglichkeiten entscheidet die sog. Diskriminante D = p2 - 4q,
aus der die Wurzel gezogen werden muss.

1. Fall: D < 0: die rechte Seite ist negativ, da links ein Quadrat steht, gibt
es keine reelle Lösung.

2. Fall: D = 0: es gibt nur eine Lösung

3. Fall: D > 0: es gibt zwei verschiedene Lösungen
und
FB Mathematik und Naturwissenschaften
11 Quadratische Gleichungen

Drei Lösungsfälle:
FB Mathematik und Naturwissenschaften
11 Quadratische Gleichungen


Satz von Vieta (nur für quadratische Gleichungen in Normalform)
Die Normalform
x2 + px + q = 0
besitze die beiden Lösungen x1 und x2. Dann gilt
x1 + x2= -p und x1 • xz = q.
Der Koeffizient p von x stellt also die negative Summe der Lösungen dar,
während das konstante Glied q gleich dem Produkt der beiden Lösungen ist.
Anwendung des Satzes von Vieta

1) Mit Hilfe des , Satzes von Vieta lassen sich quadratische Gleichungen in
Normalform angeben, die zwei vorgegebene Lösungen x1 und x2 besitzen:
(x - x1) • (x - x2) = x2 - (x1 + x2) • x + x1 • x2 = 0.

2) Über -p = xl + xz und q = xl • xz kann bequem nachgeprüft werden, ob
die zwei berechneten Werte x1 und x2 tatsächlich Lösungen sind (auf das
Vorzeichen achten!).

3) Mit Hilfe der Lösungen x1, x2 kann die quadratische Gleichung in
Produktform geschrieben werden
x2 + px + q = (x - x1) • (x - x2) = 0.

4) Aus xl + x2 = -p kann aus einer Lösung bequem die zweite Lösung
berechnet werden.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
11 Quadratische Gleichungen

Polynomdivision bei einer bekannten Lösung x1 :
Aus x2 + px + q = (x – x1) • (x - x2) = 0
folgt dann durch Division durch (x – x1)
(x2 + px + q) : (x – x1) = x - x2 = 0
Diese Division geht ohne Rest auf und ergibt unmittelbar die zweite Lösung.

Wurzelgleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen
Gleichungen mit Wurzeln, in deren Radikanden die Unbekannte x vorkommt,
heißen Wurzelgleichungen. Falls nur eine Wurzel der Form
auftritt
und außerhalb der Wurzel die Unbekannte x nur linear vorkommt, bietet sich
folgender Lösungsweg an
1. Bringe die Wurzel alleine auf eine Seite.
2. Quadriere diese ungeformte Gleichung.
3. Löse die entstehende Gleichung.
4. Überprüfe, welche dieser Lösungen die Ausgangsgleichung tatsächlich erfüllt.
Achtung:
Das Quadrieren stellt keine äquivalente Umformung einer Gleichung dar.
Durch das Quadrieren einer Wurzelgleichung kann sich Anzahl der Lösungen
vergrößern. Daher muss unbedingt die Probe durchgeführt werden.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
11 Quadratische Gleichungen

Gleichungen, die durch Substitution auf quadratische Gleichungen führen
1. Substitutionsmethode
Für eine vorgegebene Funktion f (x) soll die Gleichung
a • (f(x))2 + b • f(x) + c = 0
gelöst werden.
Durch die Substitution u = f(x) geht diese Gleichung über in
au2 + bu + c = 0,
also in eine quadratische Gleichung in der Unbekannten u. Falls diese
Gleichung die Lösungen u1 und u2 besitzt, erhält man die Lösungen x der
Ausgangsgleichung als Lösungen der Gleichungen
f(x) = u1 und f(x) = u2.
2. Biquadratische Gleichungen
Gleichungen der Form
ax4 + bx2 + c = 0, a
0
heißen biquadratische Gleichungen. Durch die Substitution x2 = u geht die
biquadratische Gleichung über in
au2 + bu + c = 0,
also in eine quadratische Gleichung in u.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
11 Quadratische Gleichungen

2. Biquadratische Gleichungen
Eine biquadratische Gleichung ax4 + bx2 + c = 0, a
0 kann wie folgt gelöst
werden:

1) Substitution x2 = u.

2) Lösung der quadratischen Gleichung au2 + bu + c= 0.
1. Fall: Die quadratische Gleichung besitzt keine nichtnegative Lösung. Dann
besitzt die biquadratische Gleichung keine reelle Lösung.
2. Fall: Die quadratische Gleichung besitze die nichtnegativen Lösungen
(u1= u2 ist dabei möglich). Dann besitzt die biquadratische Gleichung die
Lösungen
Die Anzahl der reellen Lösungen einer biquadratischen Gleichung liegt zwischen
Null und vier.

Gleichungen mit Brüchen mit Unbekannten im Nenner
Manche Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner die Unbekannte x enthalten,
können durch Multiplikation mit dem Hauptnenner in eine quadratische
Gleichung in x überführt werden. Eine Lösung dieser quadratischen Gleichung ist
jedoch nur dann Lösung der Ausgangsgleichung, falls für diesen Wert keiner der
Nenner verschwindet.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
12 Parabeln




Nach oben geöffnete Normalparabeln
Der Graph der Funktion y=x2 stellt eine nach oben geöffnete
Normalparabel dar, deren Scheitel (Tiefpunkt) S im
Koordinatenursprung (Nullpunkt) liegt. Die y-Achse ist
Symmetrieachse.
Diese Standard-Normalparabel werde parallel zu den beiden
Koordinatenachsen verschoben und zwar um xo Einheiten
in x-Richtung und yo Einheiten in y-Richtung. xo und yo sind
dann die Koordinaten des Scheitels S. Die Funktion besitzt
Bild 11.Normalparabeln
die Darstellung
y – y0 = (x - xo)2, d.h. y= y0 +(x - xo)2.
Der Graph der Funktion y = y0 + (x – x0)2 stellt eine nach oben geöffnete
Normalparabel dar. Der Scheitelpunkt S(x0, yo) besitzt die Koordinaten xo und
yo. Die Parallele zur y-Achse durch den Scheitel S ist Symmetrie-Achse.
Für xo ,yo > 0 wird die Standard-Normalparabel nach rechts (oben) verschoben,
für xo ,yo < 0 nach links (unten).
FB Mathematik und Naturwissenschaften
12 Parabeln

Beispiel 2:
Gesucht sind die Gleichungen
der
nach
oben
geöffneten
Normalparabeln
mit
den
angegebenen Scheitelpunkten
a) S(0;1,5); y= 1,5 + x2;
b) S(3; 0);
y=(x - 3)2;
c) S(-1,5;-2); y = -2+(x + 1,5)2
d) S (2; -2); y = -2 + (x - 2)2.
Bild 12. Beispiel 2
FB Mathematik und Naturwissenschaften
12 Parabeln

Jede Funktion y = x2 + px + q stellt eine nach oben geöffnete Normalparabel dar.
Die Koordinaten des Scheitels S erhält man durch die quadratische Ergänzung.
Aus
folgt
Der Scheitel S besitzt die Koordinaten
FB Mathematik und Naturwissenschaften
12 Parabeln

Nach unten geöffnete (gespiegelte) Normalparabeln
Durch Spiegelung an der x-Achse geht die Normalparabel y = x2 über in y = -x2.
Der Graph dieser Funktion ist eine nach unten geöffnete Normalparabel mit
dem Scheitel im Koordinatenursprung.
Parallelverschiebung ergibt die allgemeine Darstellung.
Der Graph der Funktion y = y0 - (x - xo)2 stellt eine nach unten geöffnete
Normalparabel dar. Der Scheitelpunkt S(xo, yo) besitzt die Koordinaten xo und
yo.
Der Graph der Funktion

stellt eine nach unten geöffnete Normalparabel dar mit dem Scheitel


FB Mathematik und Naturwissenschaften
12 Parabeln



Beispiel 3:
Folgende
Parabeln
skizziert werden
a) y = -x2;
b) y = 1 - (x - 3)2
sollen
Bild 13. Beispiel 3
FB Mathematik und Naturwissenschaften
12 Parabeln



Allgemeine Parabeln
Die Funktionsgleichung
ist für a> 1 eine in y-Richtung gestreckte,
für 0 < a < 1 eine in y-Richtung gestauchte
Normalparabel. Das Streckungsverhältnis
lautet a: 1 für a> 1.
Für a< 0 kommt zur Streckung oder
Stauchung im Verhältnis lal : 1 (lal. = Betrag von a)
noch eine Spiegelung an der x-Achse hinzu.
0
Die Funktionsgleichung y = yo + a • (x - xo)2, a
Bild 14. Allgemeine Parabeln
stellt eine allgemeine Parabel dar mit dem
Scheitelpunkt S(xo, Yo).
Für a> 0 ist die Parabel nach oben, für a< 0 nach unten geöffnet. Diese Parabel
geht aus der entsprechenden Standardparabel durch Streckung in y-Richtung im
Verhältnis lal : 1 hervor. Dabei ist lal der Betrag von a mit
FB Mathematik und Naturwissenschaften
12 Parabeln

Jede Funktionsgleichung
stellt eine allgemeine Parabel dar
mit dem Scheitel

Beispiel 4:
a) y = 2x2 + 8x + 5
b) y = -1/2x2 + 3x – 2
c) y = 1/2x2 – x + 2
Bild 15. Beispiel 4
FB Mathematik und Naturwissenschaften
12 Parabeln

Nullstellen von Parabeln – quadratische Gleichungen
Die Nullstellen, also diejenigen, an denen die Parabel y = ax2 + bx + c die
x-Achse schneidet, erhält man die Lösung der quadratische Gleichung (y = 0)
ax2 + bx + c = 0.
Diese Gleichung geht über in
Division durch a liefert
Falls der Scheitel einer nach oben geöffneten Parabel oberhalb der x-Achse bzw.
einer nach unten geöffneten Parabel unterhalb der x-Achse liegt, gibt es keine
reellen Nullstellen. Andernfalls lauten die Lösungen
Dabei stellt
die x-Koordinate des Scheitels S der Parabel dar.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
12 Parabeln



Schnitt einer Parabel mit einer Geraden
Die Berechnung der Schnittpunkte der Parabel y = ax2 + bx + c mit der
Geraden y = mx + b erfolgt durch Gleichsetzen:
ax2 + bx + c = mx + b.
Falls diese Gleichung keine Lösung besitzt, gibt es keinen Schnittpunkt, sonst
liefern die Lösungen x1 und x2 die x-Koordinaten der Schnittpunkte
P1 (x1; mx1 + b); P2 (x2; mx2 + b).
Beispiel 5
Gegeben ist die Parabel
y = -1/2x2 + 5x – 19/2
sowie die beiden Geraden
g1 : y = 1/2x – 2;
g2 : y = 1/3x + 2.
Gesucht:

Scheitelgleichung der Parabel

Parabel

Schnittpunkte
Bild 16. Beispiel 5
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12 Parabeln

Schnitt zweier Parabeln
Die Berechnung der Schnittpunkte der beiden Parabeln
p1: y = a1x2 + b1x + c1; p2: y = a2x2 + b2x + c2
erfolgt durch Gleichsetzen:
a1x2 + b1x + c1 = a2x2 + b2x + c2.

Falls diese Gleichung keine Lösung besitzt, schneiden sich die beiden Parabeln
nicht, sonst liefern die Lösungen dieser (quadratischen) Gleichung die xKoordinaten der Schnittpunkte. Im Falle a1 = a2 entsteht eine lineare Gleichung
mit genau einer Lösung für b1 b2.

Die y-Koordinaten der Schnittpunkte erhält man
x-Koordinaten in eine der beiden Parabelgleichungen.
durch
Einsetzen
der
FB Mathematik und Naturwissenschaften
12 Parabeln

Beispiel 6
Gegeben sind
Gesucht:

x-Werte der Schnittpunkte von
p1 und p2

x-Werte der Schnittpunkte von
p1 und p3

x-Werte der Schnittpunkte von
p2 und p3
Bild 17. Beispiel 6
FB Mathematik und Naturwissenschaften
13 Ungleichungen und Beträge





Zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen
a und b besteht genau eine der drei Beziehungen
a < b (a ist kleiner als b)
a = b (a ist gleich b)
Bild 18. Ungleichungen
a > b (a ist größer als b)
a
b (a ungleich b) bedeutet entweder a < b oder a > b. Die Bezeichnung
a > b bzw. a < b (a kleiner gleich b) besagt, dass a entweder kleiner oder
gleich b, also nicht größer als b ist. Von den beiden Beziehungen a < b oder
a = b kann höchstens eine richtig sein.
Beziehungen der Art a < b, a > b, a < b, a > b , wobei a und b auch
mathematische Ausdrücke sein können, heißen Ungleichungen.
Für das Rechnen mit Ungleichungen gelten folgende Eigenschaften

Aus a < b und b < c
=>
a < c.

Aus a < b
=>
a + c < b + c für beliebiges c.

Aus a < b
=>
a • c < b • c für beliebiges c > 0;
a • c > b • c für beliebiges c < 0.

Aus a < b und c < d
=>
a + c < b + d.
Bei doppelten Ungleichungen a < b < c müssen gleichzeitig beide Ungleichungen
a < b und b < c erfüllt sein. b liegt dann echt zwischen a und c.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
13 Ungleichungen und Beträge


Intervalle
Zweiseitig begrenzte Intervalle bestehen aus allen reellen Zahlen, die
zwischen den beiden Grenzen liegen. Dabei können die Randpunkte (Grenzen)
dazugenommen oder weggelassen werden. Für a < b gibt es folgende Intervalle
abgeschlossen: [a; b] = {x l a < x < b}
offen: (a; b) = {x l a < x < b}
halboffen: (a; b] = {x l a < x < b}
halboffen: [a; b) = {x l a < x < b}
Bild 19. Zweiseitig begrenzte Intervalle


Die eckigen Klammern [ , ] bedeuten, dass die Intervallgrenzen zum Intervall
gehören, bei runden Klammern ( , ) gehören die Intervallgrenzen nicht dazu.
Zweiseitig begrenzte Intervalle werden also durch doppelte Ungleichungen
beschrieben.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
13 Ungleichungen und Beträge


Intervalle
Einseitig begrenzte Intervalle werden durch eine einzige Ungleichung
beschreiben, z.B.
(-co, a) = {x l x < a} offen, nach oben begrenzt;
(-co, a] = {x l x < a} abgeschlossen, nach oben begrenzt;
(a, +co) = {x l x > a} offen, nach unten begrenzt;
[a, +co ) = {xlx > a} abgeschlossen, nach unten begrenzt.

Bei (halb-)offenen Intervallen werden häufig auch folgende Bezeichnungen
benutzt
(a, b) = ]a, b[;
(a, b] = ]a, b];
[a, b) = [a, b[

Intervalle treten z.B.
Ungleichungen auf.
als
Lösungsmengen
linearer
oder
quadratischer
FB Mathematik und Naturwissenschaften
13 Ungleichungen und Beträge


Lineare Ungleichungen mit einer Variablen
Falls in einer Ungleichung die Variable x nur in der ersten Potenz vorkommt,
handelt es sich um eine lineare Ungleichung, z. B. ax + b < c.

Zur Bestimmung der Lösungsmenge L wird die Ungleichung durch wiederholte
Addition und Multiplikation so umgeformt, dass x isoliert auf einer Seite steht.
Dabei ändert eine Addition und die Multiplikation mit einer positiven Zahl die
Ungleichung nicht, während bei der Multiplikation mit c < 0 das Zeichen > in <
übergeht und umgekehrt. Die Ungleichheitszeichen kehren sich in diesem Fall
um.

Falls in einer Ungleichung ein Bruch vorkommt, dessen Nenner die Variable x
enthält, wird dieser Nenner dadurch beseitigt, dass die Ungleichung mit dem
Nenner durchmultipliziert wird.

Dabei müssen für den Nenner Fallunterscheidungen gemacht werden. Bei
positivem Nenner bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten, während es bei
der Multiplikation mit einem negativen Nenner umgekehrt werden muss.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
13 Ungleichungen und Beträge






Beträge und Abstände. Ungleichungen mit Beträgen
Der Betrag einer Zahl a
a für a > 0
|a| =
-a für a < 0
kann als Abstand dieser Zahl vom Nullpunkt auf dem Zahlenstrahl erklärt
werden
Für a > 0 gilt somit a = lal und für a < 0 a = -lal.
Bei der Berechnung von Beträgen fest vorgegebener reeller Zahlen gibt es im
allgemeinen keine Probleme. So ist z.B.
|5| = 5; |-7| = 7; |0| = 0; |-1| = 1
unmittelbar plausibel. Beim Buchstabenrechnen ist jedoch nicht unmittelbar
ersichtlich, ob die entsprechende Zahl positiv oder negativ ist. Dann müssen zur
Beseitigung des Betragszeichens Fallunterscheidungen gemacht werden.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
13 Ungleichungen und Beträge



Eigenschaften der Beträge

|-al = lal

la • bl = lal • |bl

-lal < a < lal (folgt aus a = lal für a > O, a = -la lfür a < 0)

la + bl < lal + |bl (Dreiecksungleichung).
Der Betrag la - bl stellt den Abstand zwischen a und b dar.
Alle reellen Zahlen x, welche bei vorgegebenem xo die Ungleichung |x –xol < d
erfüllen, dürfen von xo höchstens den Abstand d haben. Die Lösungsmenge
dieser Betragsungleichung ist somit das abgeschlossene Intervall
[x0 - d; x0 + d] = {x | xo – d < x < x0 + d}.
Bei Ungleichungen mit Beträgen müssen zur Beseitigung der Betragszeichen
wegen
a für a > 0
|a| =
-a für a < 0
die beiden Fallunterscheidungen a > 0 und a < 0 gemacht werden.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
13 Ungleichungen und Beträge

Quadratische Ungleichungen
Ungleichungen, bei denen eine Variable nur in der zweiten und evtl. in der ersten
Potenz vorkommt, heißen quadratische Ungleichungen.
Reinquadratische Ungleichungen
Ungleichungen der Art x2 < a; x2 < a; x2 > a; x2 > a
heißen reinquadratische Ungleichungen.
Die reinquadratische Ungleichung x2 < a besitzt für a < 0 keine reelle Lösung
und für a > 0 die Lösungsmenge
Die reinquadratische Ungleichung x2 > a besitzt für
a < 0 die Lösungsmenge L = |R (alle reellen
a > 0 die Lösungsmenge
Zahlen)
und
für
FB Mathematik und Naturwissenschaften
13 Ungleichungen und Beträge

Allgemeine quadratische Ungleichungen
Ungleichungen der Form
ax2 + bx + c > 0 bzw. ax2 + bx + c > 0
bzw. ax2 + bx + c < 0 bzw. ax2 + bx + c < 0
heißen quadratische Ungleichungen.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
14 Grundlagen der ebenen
Geometrie


Dreieck
In einem Dreieck beträgt die Summe der drei Winkel 180°,
d.h. a+ ß + y = 180°.
Bild 20. Dreieck

Die Länge einer Seite ist kleiner als die Summe der Längen der beiden übrigen
Seiten, also
a < b + c; b < a + c; c < a + b. (Dreiecksbedingung)

Der Inhalt der Fläche des Dreiecks ist halb so groß
wie der Inhalt des umschriebenen Rechtecks. Damit
gilt: Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist gleich der
Hälfte des Produkts einer Seitenlänge mit der Höhe.
Bild 21. Flächeninhalt
FB Mathematik und Naturwissenschaften
14 Grundlagen der ebenen
Geometrie

In einem beliebigen Dreieck schneiden sich die Höhen, Seitenhalbierenden
und Winkelhalbierenden jeweils in einem Punkt.
Bild 22. Höhen, Seitenhalbierenden und Winkelhalbierenden
Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden teilt diese im Verhältnis 2:1, d.h. der an
der Spitze liegende Teil der Seitenhalbierenden ist doppelt so lang wie der
andere Teil.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
14 Grundlagen der ebenen
Geometrie

Satz von Pythagoras:
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Längen der Katheten
gleich dem Quadrat der Länge der Hypothenuse.
Für y = 90° gilt a2 + b2 = c2.
Bild 23. Satz von Pythagoras:
FB Mathematik und Naturwissenschaften
14 Grundlagen der ebenen
Geometrie

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in ihren Winkeln
übereinstimmen.
Falls zwei Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen,
ist auch die 3. Winkel gleich. Diese Eigenschaft folgt
aus der Winkelsumme
a + ß + y = 180°; a‘ + ß‘ + y‘ = 180°.

In ähnlichen Dreiecken stimmen die Verhältnisse der
drei entsprechenden Seiten überein, es gilt also
Hieraus folgt
die Verhältnisse der entsprechenden Seiten sind also
gleich.
Bild 24. Ähnliche Dreiecke
FB Mathematik und Naturwissenschaften
14 Grundlagen der ebenen
Geometrie

Strahlensätze
In den ähnlichen Dreiecken ABC und AB'C' stimmen die Verhältnisse
entsprechender Seiten überein.
Bezeichnet man mit PQ die Länge der Verbindungsstrecke vom Punkt P zum
Punkt Q, so gilt
Bild 25. Strahlensätze
Bild 26. Strahlensätze
FB Mathematik und Naturwissenschaften
14 Grundlagen der ebenen
Geometrie




Viereck
In einem Viereck beträgt die Winkelsumme 360°,
d.h. a + ß + y + S = 360°.
Durch jede der beiden Diagonalen kann ein Viereck
in zwei Dreiecke zerlegt werden.

Falls jeweils die beiden gegenüberliegenden Seiten
parallel sind, heißt das Viereck Parallelogramm.

Bild 27. Viereck
Parallelogramm:
Umfang U = 2a + 2b
Flächeninhalt F = a • ha (Seitenlänge mal Höhe).
Bild 28. Parallelogramm
FB Mathematik und Naturwissenschaften
14 Grundlagen der ebenen
Geometrie

Ein Viereck (Parallelogramm) mit vier rechten
Winkeln ist ein Rechteck.
Rechteck:
Umfang U = 2a + 2b
Flächeninhalt F = a • b (Länge mal Breite).
Bild 29. Rechteck

Ein Rechteck mit gleichen Seitenlängen ist ein Quadrat.
Quadrat: .
Umfang U = 4a
Flächeninhalt F = a2
a
Bild 30. Quadrat
FB Mathematik und Naturwissenschaften
14 Grundlagen der ebenen
Geometrie

Ein Viereck mit zwei parallelen Seiten ist ein Trapez.
Flächeninhalt eines Trapezes
a = Länge der Grundseite
c = Länge der Deckseite
h = Höhe
Bild 31. Trapez
Das eingezeichnete Rechteck mit den Seitenlängen h und (a + c)/2 besitzt den
gleichen Flächeninhalt wie das Trapez.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
14 Grundlagen der ebenen
Geometrie

Vieleck
Ein n-Eck (n > 3) wird von einem
geschlossenen
Streckenzug,
der
n
verschiedene in einer Ebene liegende
Punkte
(Eckpunkte)
miteinander
verbindet, gebildet. Dabei dürfen keine
Überschneidungen auftreten und keine
zwei aufeinanderfolgende Streckenzüge
auf einer Geraden liegen.

Ein n-Eck heißt regelmäßig falls alle n
Seiten gleich lang und alle n Innenwinkel
gleich groß sein.
Alle n Eckpunkte eines regelmäßigen
n-Ecks liegen auf dem Umkreis.

Die Winkelsumme im n-Eck beträgt
(n - 2) • 180° für n > 3.
Bild 32. Vieleck
Bild 33. regelmäßiges Sechseck
FB Mathematik und Naturwissenschaften
14 Grundlagen der ebenen
Geometrie


Kreis
r = Radius
d = 2r = Durchmesser
Kreis mit dem Radius r
Flächeninhalt F = pi • r2
Umfang
U = 2 • r • pi
Bild 34. Kreis


Kreisausschnitt
Länge des Kreisbogens mit dem Mittelpunktswinkel
:
Flächeninhalt des Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel .
Bild 35. Kreisausschnitt
FB Mathematik und Naturwissenschaften
15 Trigonometrische
Funktionen. Bogenmaß

Trigonometrische Funktionen im rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck gilt
Bild 36. rechtwinkliges Dreieck
FB Mathematik und Naturwissenschaften
15 Trigonometrische
Funktionen. Bogenmaß





Bogenmaß auf dem Einheitskreis
Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius r= 1.
Sein Umfang ist U = 2 • pi.
Im Einheitskreis kann jedem orientierten Winkel
das
(vorzeichenbehaftete) Bogenmaß x = x( ) zugeordnet
werden. Dabei läuft die mathematisch positive
Orientierung gegen die Uhrzeigerdrehung.
x verhält sich zum Gesamtumfang U = 2 • pi wie
zum vollen Winkel 360°. Damit erhält man die
Umrechnungsformel vom Grad- ins Bogenmaß
Bild 37. Bogenmaß
Im Einheitskreis kann
beliebig gewählt werden.
Dem Winkel
= 540° entsprechen 11/2 Kreisumfänge,
also
FB Mathematik und Naturwissenschaften
15 Trigonometrische
Funktionen. Bogenmaß
Tabelle 1. Spezielle Winkel im Bogenmaß
FB Mathematik und Naturwissenschaften
15 Trigonometrische
Funktionen. Bogenmaß


Sinus- und Kosinusfunktion
Für eine allgemeine Definition betrachtet man
einen Punkt P mit den Koordinaten (x,y) auf dem
Einheitskreis, also nach dem Satz von Pythagoras
gilt sin2x + cos2x = 1. Der Ortsvektor von P
schließt mit der x-Achse einen Winkel
ein. Der
Koordinatenursprung (0,0), der Punkt (x,0) auf der
x-Achse und der Punkt P(x,y) bilden ein
rechtwinkliges Dreieck.

Die Ankathete des Winkels
ist die Strecke
zwischen (0,0) und (x,0) und hat die Länge x, es
gilt also

Bild 38. Sinus und Kosinus
Die Gegenkathete des Winkels
ist die Strecke
zwischen (x,0) und(x,y), und hat die Länge y, es
gilt also
FB Mathematik und Naturwissenschaften
15 Trigonometrische
Funktionen. Bogenmaß

Die y-Koordinate eines Punktes im ersten
Quadranten des Einheitskreises entspricht
also dem Sinus des Winkels zwischen seinem
Ortsvektor und der x-Achse, die x-Koordinate
dem Kosinus des Winkels. Setzt man diese
Definition in den anderen Quadranten fort, so
lassen sich Sinus und Kosinus für beliebige
Winkel definieren.

Nach einer Kreisumdrehung (= 2 • pi)
„wiederholen" sich die alten Funktionswerte.
Für x und x + 2•pi fallen die entsprechenden
Punkte auf den Einheitskreis zusammen. Ihre
Koordinaten stimmen somit überein. Es gilt
also

Sinus und Kosinus sind also periodische
Funktionen mit der Periode 2 • pi.
Klip 1. Sinus und Kosinus
FB Mathematik und Naturwissenschaften
15 Trigonometrische
Funktionen. Bogenmaß





In Abhängigkeit vom Bogenmaß x
sind in der Skizze die beiden
Funktionen
y= sin x und y= cos x
graphisch dargestellt.
Es gilt:
Die Funktionswerte liegen zwischen
Bild 39. Sinus und Kosinus
-1 und + 1,
die Grenzen mit eingeschlossen.
Wegen sin(-x) = -sin(x) ist
y = sin(x) eine ungerade Funktion
(Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung).
y = cos(x) ist wegen cos (-x) = cos(x)
eine gerade Funktion
Tabelle 2. Sinus- Kosinuswerte
(die y-Achse ist Symmetrie-Achse).
FB Mathematik und Naturwissenschaften
15 Trigonometrische
Funktionen. Bogenmaß

Tangens- und Kotangensfunktion
Nach dem Strahlensatz gilt
sinx : tanx = cosx : 1.
Hieraus
Aus den beiden ähnlichen Dreiecken ergibt sich cot:
Bild 40. Tangens und Kotangens


Die Funktion y = tan(x) hat an den Stellen x = (2k + 1) • pi/2 , k = 0, ± 1, ± 2,...
Polstellen. An diesen Stellen verschwindet der Nenner. Falls sich x von links einer
Polstelle nähert, wachsen die Funktionswerte unbeschränkt gegen + co. Bei einer
Annäherung von rechts gegen die Polstellen fallen die Funktionswerte gegen - co.
Die Funktion y = cot(x) hat an den Stellen x = k • pi, k= 0, ± 1, ± 2,... Polstellen.
FB Mathematik und Naturwissenschaften
15 Trigonometrische
Funktionen. Bogenmaß

Beide Funktionen sind ungerade und besitzen die Perioden, es gilt also
tan (-x) = -tan(x); cot (-x) = -cot(x);
tan (x + pi) = tan x; cot (x + pi) = cot x.
Bild 41. Tangens
Bild 42. Kotangens
FB Mathematik und Naturwissenschaften
16 Literaturverzeichnis

Preuß/Wenisch; Lehr- und Übungsbuch Mathematik 1, Fachbuchverlag Leipzig im Hanser
Verlag

Pfeifer /Schuchmann; Kompaktkurs Mathematik, Oldenbourg Verlag

Bosch; Brückenkurs Mathematik, Oldenbourg Verlag

Heinrich/Severin; Training Mathematik, Bd. 1 Grundlagen, Oldenbourg Verlag

Stingl; Einstieg in die Mathematik für Fachhochschulen, Hanser Verlag

http://www.mathematische-basteleien.de/

http://de.wikipedia.org/wiki/(Mathematik)
FB Mathematik und Naturwissenschaften