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KLASSENARBEIT MATHEMATIK G9A
14.03.2013
1 2 3 4 5
Aufgabe
Punkte (max) 7 2 4 8 5
Punkte
(1) Löse folgende Gleichungen.
(a)
(c)
x3 + 2x2 − 15x = 0
√
x=4
(b)
(d)
x4 + 5x2 − 36 = 0
1,5 · 0,992x = 0,01.
(2) Bestimme zeichnerisch und rechnerisch:
3 + −1 =
3 − −1 =
und
1
1
2
2
(3) Zeige, dass das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A(−2|1|5),
B(4|4|7) und C(4| − 3| − 7) rechtwinklig ist.
Ergänze es zu einem Rechteck und bestimme dessen Flächeninhalt und Umfang.
(4) Die Punkte A(4|0|0), B(0|4|0) und C(0|0|8) sind Eckpunkte eines Dreiecks.
Zeige, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist, und berechne
den Winkel γ in C.
Bestimme den Punkt D so, dass ABCD eine Raute ist.
Die Punkte OABC mit O(0|0|0) bilden eine Pyramide. Stelle
diese in einem Koordinatensystem dar und berechne sein Volumen und seine Oberfläche.
(5) Eine quadratische Pyramide hat eine Grundkante der Länge
a = 8 und eine Seitenkante der Länge s = 5.
Zeichne die Pyramide ABCDS in ein Koordinatensystem mit
A(0|0|0) und B(8|0|0), und bestimme die Koordinaten der Punkte C, D und S.
Berechne den Winkel zwischen Grundfläche und Seitenfläche.
2
14.03.2013
Lösungen
(1) Löse folgende Gleichungen.
(a)
(c)
x3 + 2x2 − 15x = 0
√
x=4
(b)
(d)
x4 + 5x2 − 36 = 0
1,5 · 0,992x = 0,01.
a) Ausklammern: x(x2 +2x−15) = 0; abc-Formel liefert x1 = 0,
x2 = 3, x3 = −5.
b) Substitution x2 = z ergibt z 2 + 5z − 36 = 0, also z1 = 4 und
z2 = −9. Resubstitution liefert x2 = 4 und damit x1,2 = ±2,
bzw. x2 = −9, was keine Lösung hat.
√
c) x = 4 liefert nach Quadrieren x = 16.
d) Isolieren der Potenz (: 1,5) ergibt 0,992x = 0,006667. Logarithmieren liefert dann
log 0.006667
x=
= 249, 3.
2 log 0.99
(2) Bestimme zeichnerisch und rechnerisch:
3 + −1 =
3 − −1 =
und
1
1
2
2
KLASSENARBEIT MATHEMATIK G9A
3
(3) Zeige, dass das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A(−2|1|5),
B(4|4|7) und C(4| − 3| − 7) rechtwinklig ist.
Ergänze es zu einem Rechteck und bestimme dessen Flächeninhalt und Umfang.
−→
−→
−→
6
Es ist AB = 3 und |AB| = 7, AC =
20 −→
−→
√
sowie BC = −7 und |BC| = 245.
−14
6
−4
−12
−→
und |AC| = 14,
Pythagoras ist erfüllt wegen
2
2
2
AB + AC = BC ,
also hat ABC einen rechten Winkel in A.
−→
Das gesuchte Rechteck
6istdamit
10ACDB,
folglich muss AC =
−→
−→
4
0
BD sein. Aus AC = −4 = −5
− 4 folgt D(10|0| − 5).
−12
7
Flächeninhalt des Rechtecks ist F = 7 · 14 = 98, Umfang gleich
U = 2 · 7 + 2 · 14 = 42.
(4) Die Punkte A(4|0|0), B(0|4|0) und C(0|0|8) sind Eckpunkte eines Dreiecks.
Zeige, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist, und berechne
den Winkel γ in C.
Bestimme den Punkt D so, dass ABCD eine Raute ist.
Die Punkte OABC mit O(0|0|0) bilden eine Pyramide. Stelle
diese in einem Koordinatensystem dar und berechne sein Volumen und seine Oberfläche.
√
√
√
Es ist AB = 32, AC = 80 und BC = 80. Also sind die
Schenkel AC und BC gleich lang.
Die Höhe durch C ist√daher gleich der Seitenhalbierenden von c;
1
32
also folgt sin( α2 ) = 2√80 und somit α2 ≈ 18, 77◦ , also α = 37, 5◦ .
Die beiden gleich langen Seiten im Dreieck sind AC und
4 BC,
−→
−→
4
also muss die Raute ADBC heißen. Aus AD = CB folgt −8 −
0 4
4
0
= −8
, also D(4|4| − 8).
0
4
14.03.2013
Die Pyramide OABC hat als Grundfläche das rechtwinklige
Dreieck OAB mit Inhalt F = 21 · 4 · 4 = 8; Höhe der Pyramide
ist h = 8, also V = 13 Gh = 64
.
3
Die Oberfläche besteht aus den drei Dreiecken in den Koordinatenebenen; diese haben Inhalt O1 = 8 und O2 = O3 = 21 · 4 · 8 =
16.
√
Das große Dreieck ABC hat Grundseite AB =√ 32 und Höhe
d.h. es ist√
h1 = 2√2 + 22 + 82 =
h
AB (2|2|0),
√1 = CM mit M = M
√
√
72. Also ist O4 = 12 32 · 72 = 21 · 4 · 2 · 6 · 2 = 24. Die
Gesamtoberfläche ist daher O = 8 + 2 · 16 + 24 = 64.
(5) Eine quadratische Pyramide hat eine Grundkante der Länge
a = 8 und eine Seitendreieck der Höhe h1 = 5.
Zeichne die Pyramide ABCDS in ein Koordinatensystem mit
A(0|0|0) und B(8|0|0), und bestimme die Koordinaten der Punkte C, D und S.
Berechne den Winkel zwischen Grundfläche und Seitenfläche.
Für die Höhe h der Pyramide ist nach Pythagoras h2 + ( a2 )2 =
h21 , also h2 + 16 = 25 und somit h = 3.
Weiter ist C(8|8|0), D(0|8|0), der Mittelpunkt der Grundfläche
ist M (4|4|0), und die Spitze S(4|4|3).
Der gesuchte Winkel α genügt tan α = 43 ; dies liefert α = 36, 9◦ .