Tag 9 - Donnerstag, 26.09.13 - Aufgaben Elementare

Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig
Vorkurs Mathematik 2013
Tag 9 - Donnerstag, 26.09.13 - Aufgaben
Elementare Geometrie, Vektorrechnung, Analytische Geometrie
Themen:
ˆ Sätze am allgemeinen Dreieck (Sinussatz, Kosinussatz, Kongruenzsätze,
Ähnlichkeit von Dreiecken, Strahlensätze)
ˆ Sätze am rechtwinkligen Dreieck (Satz des Pythagoras, Höhensatz)
ˆ Rechenregeln für Vektoren, Betrag, Skalarprodukt, Vektorprodukt
ˆ Geradengleichungen im R2 und R3
1. Bestimmen Sie mit dem Sinus- oder Kosinussatz die weiteren Größen des
Dreiecks. Ist das Dreieck eindeutig gegeben?
a) α = 55°, c = 7, 34, β = 48°
b) a = 8, 45, b = 6, 38, α = 68, 5°
c) a = 9, 35, b = 14, 25, α = 39, 2°
d) a = 5, 62, γ = 115°, b = 8, 5
e) a = 3, 43, b = 5, 26, c = 7, 95
f) a = 1, 27, b = 4, 68, c = 6, 89
2. Eine Person mit Augenhöhe von 1, 60 m steht 27 m von einem Baum
entfernt und visiert die Spitze des Baumes unter einem Winkel von 25° zur
Horizontalen an.
Wie hoch ist der Baum?
3. Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche von 100 cm2 .
Die Seitenkanten (zwischen einer Ecke der Grundfläche und Spitze der
Pyramide) sind 13 cm lang.
a) Wie hoch ist die Pyramide?
b) Wie groß ist der Winkel α zwischen Seitenflächen und Grundfläche?
4. Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck?
a) Skizzieren Sie beliebige n-Ecke für n = 3, 4, 5 und bestimmen Sie
deren Innenwinkelsumme!
b) Stellen Sie eine Vermutung über die allgemeine Formel für die Innenwinkelsumme eines n-Ecks in Abhängigkeit von n ∈ N \ {1; 2} auf.
(Zusatz: Beweisen Sie Ihre Formel mit Vollständiger Induktion!)
5. Wie lauten die Vektoren, die vom Punkt A(3, −4, −2) aus
a) zum Punkt B(7, −4, 6)
b) zum Koordinatenursprung
c) senkrecht auf die Koordinatenachsen
zeigen?
 
 
1
6
~
6. Berechnen Sie für die Vektoren ~a = 2 und b =  4  die Produkte
3
−2
a) ~a · ~b,
b) ~a × ~b sowie c) den Winkel α zwischen ~a und ~b.
 
 
3
2
~
7. Prüfen Sie, ob ~a = 4 und b = −5 senkrecht aufeinander stehen.
7
2
8. Gegeben sind die Geraden
µ ¶
µ ¶
1
1
g1 : ~x =
+t
2
1
und
µ ¶
µ ¶
2
1
g2 : ~x =
+s
.
1
2
mit s, t ∈ R.
a) Geben Sie je drei Punkte an, die auf g1 bzw. g2 liegen.
b) Prüfen Sie, ob die Geraden einander schneiden und berechnen Sie den
Schnittpunkt (falls dieser existiert)!
9. Geben Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g an, welche durch die
Punkte P1 und P2 verläuft, falls
a) P1 (−2; 3; −5) und P2 (1; −4; −1),
b) P1 (3; −2; 1) und P2 (1; −2; 2)
gegeben sind.
2
10. Spannen die drei Punkte A(3, 1, −2), B(−1, 3, 4) und C(4, −2, −6) ein
Dreieck auf? Wie groß ist sein Flächeninhalt?
11. Es seien A(2, 0, 5), B(2, 4, 5) und C(0, 4, 9) die Eckpunkte eines Dreiecks.
Berechnen Sie die Länge der Seitenhalbierenden durch B. Welchen Winkel
−→
−→
schließen die Vektoren AC und AB ein?
12. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(−2; 6), B(5; −1) und C(−3; −3).
Welchen Mittelpunkt und welchen Radius hat der Umkreis des Dreiecks?
13. Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders mit den Ecken P (2, −1, 2),
Q(2, 1, 2), R(2, 1, 0) und S(1, 1, 1). Bestimmen Sie einen Vektor, der zur
Dreiecksfläche P QR senkrecht steht.
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