Formelsammlung zum Kurs Produktions- und

Formelsammlung für Produktions- und Kostentheorie (Stand: 13.02.2002)
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Formelsammlung für Produktions- und Kostentheorie
INHALTSVERZEICHNIS
1. Mathematische Grundlagen...............................................................................................................................................................4
a)
Auflösung quadratischer Gleichungen mit der pq-Formel ......................................................................................................4
b)
Auflösung quadratischer Gleichungen mit der abc-Formel.....................................................................................................4
c)
Das kartesische Koordinatensystem (x-Achse = Abzisse; y-Achse = Ordinate) ....................................................................4
d)
Der Strahlensatz ........................................................................................................................................................................4
e)
Der Langrage-Ansatz (für die Bestimmung der Minimalkostenkombination bei substitutionaler Produktion) ....................4
2. 7 allgemeine Annahmen an Technologien ........................................................................................................................................5
a)
Input ohne Output ist möglich ..................................................................................................................................................5
b)
Produktionen mit positivem Output sind möglich ...................................................................................................................5
c)
Irreversibilität der Produktion...................................................................................................................................................5
d)
Es existiert kein Schlaraffenland ..............................................................................................................................................5
e)
Abgeschlossenheit der Technologie .........................................................................................................................................5
f)
Beliebige Teilbarkeit der Güter ................................................................................................................................................5
g)
Homogenität der Güter .............................................................................................................................................................5
3. 5 Grundformen von Technologien ....................................................................................................................................................5
a)
Größendegression einer Technologie .......................................................................................................................................5
b)
Größenprogression einer Technologie .....................................................................................................................................6
c)
Größenproportionalität einer Technologie ...............................................................................................................................6
d)
Additive Technologie................................................................................................................................................................6
e)
Lineare Technologie .................................................................................................................................................................6
f)
Beispiele für Annahmen an Technologien und Technologie-Eigenschaften ..........................................................................6
4. Der Effizienzbegriff/Das Effizienzkriterium.....................................................................................................................................7
a)
Dominanz ..................................................................................................................................................................................7
b)
Der Effizienzbegriff ..................................................................................................................................................................7
α)
Das Postulat der technischen Maximierung ....................................................................................................................7
β)
Das Postulat der technischen Minimierung .....................................................................................................................7
5. Produktionstheoretische Grundbegriffe zur Charakterisierung von Produktionsfunktionen...........................................................8
a)
b)
Partialanalyse ............................................................................................................................................................................8
α)
(Durchschnitts-)Produktivität = Durchschnittsprodukt eines Faktors i ..........................................................................8
β)
Produktionskoeffizient (ai) des Faktors i (= Kehrwert der Produktivität = âi)................................................................8
χ)
(partielle) Grenzproduktivität = Grenzertrag...................................................................................................................8
δ)
Änderung des Grenzertrags/der (partiellen) Grenzproduktivität ....................................................................................8
χ)
Das partielle Grenzprodukt (dx) zwischen Faktor i und dem Output x..........................................................................8
ε)
Die Produktionselastizität (ε)...........................................................................................................................................8
Totalanalyse ..............................................................................................................................................................................8
α)
Das totale Grenzprodukt (dx) zwischen allen Faktoren i und dem Output x .................................................................8
β)
Die Niveauvariation und Homogenität (λ)......................................................................................................................8
χ)
Die Skalenelastizität (t; stimmt mit dem Homogenitätsgrad der Produktionsfunktion überein)....................................9
Formelsammlung für Produktions- und Kostentheorie (Stand: 13.02.2002)
δ)
c)
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Das Wicksel-Johnson-Theorem (Skalenelastizität = Summe aller Produktionselastizitäten)........................................9
Die Grenzrate der Substitution (GRS; sij) ................................................................................................................................9
6. Die Gutenberg-Produktionsfunktion...............................................................................................................................................10
1)
b)
c)
Symbole und Begriffe.............................................................................................................................................................10
α)
Die Verbrauchsfunktion [ρi (λ)] ....................................................................................................................................10
β)
Die „monetäre“ Verbrauchsfunktion [qi ⋅ ρi (λ)] .........................................................................................................10
χ)
Die Kosten-Leistungsfunktion [k(λ)] ............................................................................................................................10
δ)
Die Zeitkostenleistungsfunktion [z(λ)] .........................................................................................................................10
Bestimmung der Kostenleistungsfunktion und der Zeitkostenleistungsfunktion aus der Faktorverbrauchsfunktion..........10
α)
Kostenleistungsfunktion [k(λ)]......................................................................................................................................10
β)
Zeitkostenleistungsfunktion [z(λ)] ................................................................................................................................10
χ)
Parameter (λ und t) ........................................................................................................................................................10
Ermittlung der Kostenfunktion sowohl für die zeitliche als auch die intensitätsmäßige Anpassung sowie der
Anpassungsbereiche ...............................................................................................................................................................10
α)
Bestimmung der Optimalität (λ*)..................................................................................................................................10
β)
Der Bereich zeitlicher Anpassung .................................................................................................................................10
χ)
Bestimmung der Kostenfunktion bei zeitlicher Anpassung..........................................................................................10
7. 3 Lagerhaltungsmodelle ..................................................................................................................................................................11
a)
b)
Symbole ..................................................................................................................................................................................11
α)
Der Lagerbestand (b) .....................................................................................................................................................11
β)
Der maximaler Lagerbestand (bmax) ..............................................................................................................................11
χ)
Der durchschnittlicher Lagerbestand (
δ)
Die bestellfixen Kosten (c) ............................................................................................................................................11
χ)
Die Bestellhäufigkeit im Planungszeitraum (h) ............................................................................................................11
ε)
Die Beschaffungskosten (KB)........................................................................................................................................11
φ)
Die Lagerhaltungskosten (KL) .......................................................................................................................................11
γ)
Der Lagerkostensatz (l)..................................................................................................................................................11
η)
Die auftragsfixen Kosten und/oder auftragsgebundenen Kosten (m) ..........................................................................11
ι)
Der vom Lieferanten gewünschte Stückpreis (n)..........................................................................................................11
ϕ)
Der Beschaffungspreis des Materials (p) ......................................................................................................................11
κ)
Die Bestellmenge (q) .....................................................................................................................................................11
λ)
Die Lagerabgangsrate (s) ...............................................................................................................................................11
µ)
Die Länge des Planungszeitraums (T)...........................................................................................................................11
ν)
Die Anlieferungs- und Verbrauchsperiode (ta) .............................................................................................................11
ο)
Die Bestellperiode (tb)....................................................................................................................................................11
π)
Die reine Verbrauchsperiode (tv) ...................................................................................................................................11
θ)
Der Gesamtbedarf (x) ....................................................................................................................................................11
ρ)
Die Lagerzugangsrate (z)...............................................................................................................................................11
b
max
2
)................................................................................................................11
Das HARRIS-Modell................................................................................................................................................................12
α)
Herleitung der optimalen Losgröße (qopt) aus der Kostenfunktion...............................................................................12
β)
Die optimale Bestellhäufigkeit (hopt) .............................................................................................................................12
χ)
Die optimale Lagerzeit (topt)...........................................................................................................................................12
Formelsammlung für Produktions- und Kostentheorie (Stand: 13.02.2002)
c)
d)
e)
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Das Lagerhaltungsmodell mit sukzessivem Lagerzugang .....................................................................................................12
α)
Herleitung der optimalen Losgröße (qopt) aus der Kostenfunktion ...............................................................................12
β)
Die optimale Bestellhäufigkeit (hopt)..............................................................................................................................12
χ)
Die optimale Lagerzeit (topt)...........................................................................................................................................12
δ)
Die Lagerabgangsrate (s) ...............................................................................................................................................13
ε)
Der maximale Lagerbestand (bmax) ................................................................................................................................13
Das Lagerhaltungsmodell mit mengenabhängigen Preis .......................................................................................................13
α)
Herleitung der optimalen Losgröße (qopt) aus der Kostenfunktion ...............................................................................13
β)
Die optimale Bestellhäufigkeit (hopt)..............................................................................................................................13
χ)
Die optimale Lagerzeit (topt)...........................................................................................................................................13
δ)
Der mengenabhängige Preis (p).....................................................................................................................................13
Zusammenfassung und Gegenüberstellung der 3 Lagerhaltungsmodelle .............................................................................13
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1. Mathematische Grundlagen
a) Auflösung quadratischer Gleichungen mit der pq-Formel
2
(1.1) x1/2 = −
p
⎛p⎞
± ⎜ ⎟ −q
2
⎝2⎠
für x2 ± px ± q = 0
b) Auflösung quadratischer Gleichungen mit der abc-Formel
2
(1.2) x1/2 = −
b
⎛ b ⎞ c
± ⎜ ⎟ −
2a
⎝ 2a ⎠ a
für ax2 ± bx ± c = 0
c) Das kartesische Koordinatensystem (x-Achse = Abzisse; y-Achse = Ordinate)
y = Ordinate
x = Abzisse
d) Der Strahlensatz
a
x
α
•
b
1
a
x
=
=x
b 1
e) Der Langrage-Ansatz (für die Bestimmung der Minimalkostenkombination bei substitutionaler Produktion)
(1.3) tan α =
I
(1.4) Min K = ∑ qi r i
i =1
unter der Nebenbedingung (udN)
(1.5) x = x ⋅ (r1, ..., rI) bzw. x - x ⋅ (r1, ..., rI) = 0.
Dieses Kostenminimierungsproblem mit einer Gleichung als Restriktion kann durch die Minimierung der LangrangeFunktion (L) ersetzt werden:
I
(1.6) Min. L (r1, ..., rI, λ) = ∑ qi r i + λ ⋅ [ x - x ⋅ (r1, ..., rI)]
i =1
Indem man L nach den Variablen r1, ..., rI, λ partiell differenziert und diese partiellen Ableitungen gleich Null setzt,
erhält man die notwendigen Bedingungen für die bezüglich x kostenminimalen Faktoreinsätze:
∂L
∂x
(1.7)
= qi − λ
= 0 , i = 1, ..., I
∂ ri
∂ ri
∂L
(1.8)
= x − x ⋅ (r1 , ..., r I) = 0 .
∂λ
Für die beiden Faktoren i und j ergeben sich daraus die Beziehungen
∂x
∂x
sowie qj = λ ⋅
und daraus folgt
(1.9) qi = λ ⋅
∂ ri
∂ rj
∂x
q ∂
(1.10) i = r i .
qj ∂ x
∂ rj
In den Kostenminima verhalten sich also die Faktorpreise zueinander wie die Grenzproduktivitäten der Faktoren.
Andererseits ist auf jeder Produktionsisoquante das totale Grenzprodukt gleich Null, d.h. es gilt
∂x
∂x
⋅ dr1 + ...+
⋅ drI = 0 und daher
(1.11) dx =
∂ r1
∂ rI
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∂x
∂ rj
∂ ri
=
.
(1.12) sij = ∂x
∂ rj
∂ ri
Die GRS (sij) zwischen den Faktoren i und j ist damit umgekehrt proportional zu den Grenzproduktivitäten dieser
beiden Faktoren. Setzt man die abgeleiteten Beziehungen (1.10) und (1.12) zusammen, so hat man zusammenfassend
als Bedingungen für die Minimalkostenkombinationen substitutionaler Produktionsfunktionen
∂x
qi ∂ r i
1
(1.13)
=
= sji , i ≠ j; i, j ∈ {1, ..., I},
=
qj ∂ x
sij
∂ rj
d.h. bei kostenminimalem Mengeneinsatz aller Produktionsfaktoren müssen deren Preise im selben Verhältnis wie die
Grenzproduktivitäten und im umgekehrten Verhältnis zur GRS stehen. Diese Bedingungen sind für alle Punkte auf der
Expansionslinie erfüllt. Multipliziert man die für die jeweiligen Produktionsniveaus x kostenminimalen Faktoreinsatzmengen ri* (x) mit ihren Preisen qi, so erhält man nach Summation die Kosten in Abhängigkeit der Produktion, d.h. die
Kostenfunktion
I
(1.14) K (x) = ∑ qi r i
i =1
2. 7 allgemeine Annahmen an Technologien
a) Input ohne Output ist möglich
(2.1) ℜ −K ⊂ T, ℜ−K = {v ∈ ℜ K | v k ≤ 0 für alle k ∈{1, ..., K}}
Verschwendung und Produktionsstillstand sind möglich; graphisch betrachtet müssen der Nullpunkt und der
gesamte/komplette 3. Quadrant (negative Orthant) Teilmenge der Technologie sein.
b) Produktionen mit positivem Output sind möglich
(2.2) C ℜ-K ∩ T ≠ 0
Es gibt nicht ausschließlich Technologien, die aus Gütervernichtung oder Produktionsstillstand bestehen; graphisch
muss die Produktionsmöglichkeitsmenge zumindest einen Punkt aus dem 1., 2. oder 4. Quadranten umfassen.
c) Irreversibilität (= Nicht-Umkehrbarkeit) der Produktion
(2.3) T ∩ (-T ) = {0}
Es gibt keinen Output ohne Input; graphisch betrachtet darf man keine umgekehrten Aktivitäten durch Spiegelung von
Punkten aus dem 1. und 3. Quadranten am Ursprung erzeugen können.
d) Es existiert kein Schlaraffenland
Kombination aus den Annahmen a) und c); graphisch darf kein Punkt im 1. Quadrant liegen.
e) Abgeschlossenheit der Technologie
Hierfür gibt es nur mathematische Gründe; graphisch muss es einen Rand der Technologie geben, der zu ihr zählt.
f) Beliebige Teilbarkeit der Güter
Damit können die meist einfacheren Rechenverfahren auf zusammenhängenden Mengen angewandt werden.
g) Homogenität der Güter
Die Einheiten eines Faktors bzw. Produktes sind gleich und damit untereinander austauschbar.
3. 5 Grundformen von Technologien
a) Größendegression einer Technologie
(3.1) Wenn für alle v ∈ T gilt: λ⋅v ∈ T mit 0 ≤ λ ≤ 1.
mit
λ = Leistungsintensität
w = Aktivität
v = Gütervektor
Gut 1
Gut 2
Abb.: Größendegression
T = Technologie.
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b) Größenprogression einer Technologie
(3.2) Wenn für alle v ∈ T gilt: λ⋅v ∈ T mit λ ≥ 1.
Gut 1
Gut 2
Abb.: Größenprogression
c) Größenproportionalität einer Technologie
(3.3) Wenn für alle v ∈ T gilt: λ⋅v ∈ T mit λ ≥ 0.
Gut 1
Gut 2
Abb.: Größenproportionalität
d) Additive Technologie
(3.4) Wenn für alle v, w ∈ T gilt: v + w ∈ T.
Dies trifft für Technologien mit Größenprogression und/oder -proportionalität, aber nicht mit Größendegression zu.
e) Lineare Technologie
(3.5) Wenn für alle v, w ∈ T gilt: λ⋅(v + w) ∈ T mit λ ≥ 0.
Dies trifft nur für additive Technologien mit Größenproportionalität zu.
f) Beispiele für Annahmen an Technologien und Technologie-Eigenschaften
Aufgabe: Gebe in Form einer Tabelle an, welche Annahmen an Technologien gestellt werden und welche
Eigenschaften Technologien aufweisen können. Kreuze dort an, welche der Annahmen und Eigenschaften durch die
schraffierten Gütermengen in den Abbildungen erfüllt sind (Inputmengen negativ, Outputmengen positiv)! (Quellen:
Fandel, G.: Produktions- und Kostentheorie, 3. Aufl., Berlin u.a., 1991, S. 42 f.; EA 10/95, Aufgabe 1 b); EA 10/96,
Aufgabe 1 b); BWT II, KE 1, 1. Teil, Produktions- und Kostentheorie, 4/92, Übungsaufgabe 1, S. 20-22.)
Gut 1
Gut 1
Gut 2
Gut 2
Beispiel 1
Gut 1
Gut 1
Gut 2
Gut 2
Beispiel 3
Beispiel 2
Gut 1
Gut 1
Gut 1
Beispiel 4
Gut 1
Gut 2
Gut 2
Gut 2
Beispiel 5
Beispiel 6
Gut 2
Beispiel 7
Beispiel 8
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Gut 1
Gut 1
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Gut 1
Gut 1
Gut 2
Gut 2
Beispiel 10
Beispiel 9
Gut 2
Gut 2
Beispiel 11
Beispiel 12
Gut 1
Gut 2
Beispiel 13
Lösungen
Charakteristik
Annahmen
Input ohne Output
Positive Ergebnisse
Nicht-Umkehrbarkeit
kein Schlaraffenland
Abgeschlossenheit
Eigenschaften
Größendegression
Größenprogression
Größenproportionalität
Additivität
Linearität
Beispiele
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5
6
7
8
9
10
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
11
12
13
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4. Der Effizienzbegriff/Das Effizienzkriterium
a) Dominanz
(4.1) Eine Produktion w ∈ T dominiert eine Produktion v ∈ T, wenn w ≥ v und wk > vk für mindestens ein k ∈
{1, ..., K} gilt.
b) Der Effizienzbegriff
Der Effizienzbegriff/das Effizienzkriterium läßt sich in folgende zwei gleichwertige Aussagen kleiden:
α) Das Postulat der technischen Maximierung
Eine Produktion v ∈ T ist effizient, wenn bei gegebenen Faktoreinsatzmengen maximale Produktmengen erzielt werden und dabei keine Faktormengen verschwendet werden.
β) Das Postulat der technischen Minimierung
Eine Produktion v ∈ T heißt effizient, wenn die vorgegebenen Produktmengen durch minimale Faktoreinsatzmengen
hergestellt werden und dabei keine Produktquantitäten verschenkt werden.
1
Andere, aber m.E. falsche Lösung in Musterlösung zu Aufgabe 1b) der EA 10/96.
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5. Produktionstheoretische Grundbegriffe zur Charakterisierung von Produktionsfunktionen
a) Partialanalyse
Partialanalyse = wie ändert sich die Ausbringungsmenge x, wenn die Einsatzmenge nur eines Faktors ri (i = 1, ..., m)
verändert wird und die Einsatzmengen der übrigen Produktionsfaktoren unverändert bleiben.
α) (Durchschnitts-)Produktivität = Durchschnittsprodukt des Faktors i
x
(5.1) âi =
ri
β) Produktionskoeffizient (ai) des Faktors i (= Kehrwert der Produktivität = âi)
(5.2) ai = r i
x
χ) (partielle) Grenzproduktivität = Grenzertrag
∂x
(5.3)
∂ ri
Bei zunehmendem Faktoreinsatz ri werden 3 Fälle unterschieden:
∂x
1.
> 0 Ertragszunahme (positiver Grenzertrag),
∂ ri
∂x
2.
= 0 Ertragskonstanz (Grenzertrag ist Null),
∂ ri
∂x
3.
< 0 Ertragsabnahme (negativer Grenzertrag).
∂ ri
δ) Änderung des Grenzertrags/der (partiellen) Grenzproduktivität
2
∂ x
(5.4)
∂ ri2
Die Änderung des Grenzertrags ergibt sich aus der Ableitung des Grenzertrags der jeweilig betrachteten Einsatzmenge
ri, d.h.
2
∂ x
> 0 zunehmende Grenzerträge,
1.
∂ ri2
2
∂ x
2.
= 0 konstante Grenzerträge,
∂ ri2
2
∂ x
3.
< 0 abnehmende Grenzerträge.
∂ ri2
χ) Das partielle Grenzprodukt (dx) zwischen Faktor i und dem Output x
∂x
(5.5) dx =
⋅ dri
∂ ri
ε) Die Produktionselastizität (ε)
∂x
∂x
Grenzproduktivität
∂x r i
∂
⋅
= ri =
(5.6) ε = x =
∂ ri
x
∂ ri x
Durchschnittsproduktivität
ri
ri
b) Totalanalyse
Totalanalyse = wie ändert sich die Produktionsmenge x, wenn die Einsatzmengen aller Produktionsfaktoren ri (i = 1, ..., m)
variiert werden.
α) Das totale Grenzprodukt (dx) zwischen allen Faktoren i und dem Output x
I ∂x
∂x
∂x
(5.7) dx =
⋅ dr1 + ... +
⋅ drI = ∑
⋅ dri
i =1 ∂ r i
∂ r1
∂ rI
β) Die Niveauvariation und Homogenität (λ)
Eine Produktionsfunktion heißt homogen vom Grade t, wenn es eine Zahl t ≥ 0 gibt, so daß für jeden
Proportionalitätsfaktor λ > 0 gilt:
(5.8) λt x = x (λ ri, ..., λ rm)
D.h. werden alle Faktoreinsatzmengen mit der Zahl λ multipliziert, so erhöht sich die Ausbringungsmenge um den
Faktor λt. Hinsichtlich des Wertes von t werden folgende 3 Fälle unterschieden:
1. t = 1 [die Produktmenge verändert sich proportional (linear) zur Niveauvariation; Produktionsfunktionen mit dieser
Eigenschaft heißen linearhomogen (homogen vom Grade 1)],
2. t > 1 [die Produktmenge verändert sich überproportional (progressiv) zur Niveauvariation; Produktionsfunktionen
mit dieser Eigenschaft heißen überlinearhomogen],
3. t < 1 [die Produktmenge verändert sich unterproportional (degressiv) zur Niveauvariation; Produktionsfunktionen
mit dieser Eigenschaft heißen unterlinearhomogen].
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χ) Die Skalenelastizität (t; stimmt mit dem Homogenitätsgrad der Produktionsfunktion überein)
dx
dx λ
⋅
(5.9) t = x =
dλ
dλ x
λ
Entsprechend den verschiedenen Homogenitätsformen werden auch 3 Fälle bei der Skalenelastizität unterschieden:
dx
1. t = x = 1 (konstante Skalenerträge),
dλ
λ
dx
2. t = x > 1 (zunehmende Skalenerträge),
dλ
λ
dx
3. t = x < 1 (abnehmende Skalenerträge).
dλ
λ
δ) Das Wicksel-Johnson-Theorem (Skalenelastizität = Summe aller Produktionselastizitäten)
Das Wicksel-Johnson-Theorem = Skalenelastizitätsgleichung, die zeigt, dass die Skalenelastizität gleich der Summe
aller Produktionselastizitäten ist.
dx
∂ x ri
∂x
⋅
+ ...+
⋅ r m = ε1 + ...+ εm .
(5.10) t = x =
dλ
∂ r1 x
∂ rm
x
λ
c) Die Grenzrate der Substitution (GRS; sij)
Für die GRS (sij) gilt:
• Sie dient der Messung der Substitutionalität zwischen 2 Faktoren (i und j).
• Sie ist stets für eine konstante Ausbringungsmenge ( x ) zwischen je 2 Faktoren (i und j) definiert.
• Sie gibt ausgehend von einem festen Produktionspunkt an, um wieviel Einheiten die Einsatzmenge des Faktors j
erhöht werden muss (bzw. erniedrigt werden kann), wenn der Einsatz des Faktors j um eine – infinitisimal kleine –
Einheit reduziert (bzw. vermehrt) wird und bei Konstanz aller übrigen Faktoreinsatzmengen dieselbe Produktionsmenge erzielt werden soll.
∂x
∂
d
rj
mit x > 0,
(5.11) sij = - ri =
∂x
d rj x
∂ ri
d.h. es gibt folgende zwei Möglichkeiten die GRS (sij) zwischen den Faktoren i und j zu berechnen:
1. Als Quotient aus den Grenzproduktivitäten der Faktoren j und i (in umgedrehter Reihenfolge). Es gilt:
∂x
∂ rj
Grenzproduktivität des Faktors j
=
.
(5.12) sij =
∂x
Grenzproduktivität des Faktors i
∂ ri
2. Isoquante x in Bezug auf Faktor i bilden und nach dem Faktor j ableiten. Es gilt:
d
(5.13) sij = - ri mit x > 0.
d rj x
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6. Die Gutenberg-Produktionsfunktion
1) Symbole und Begriffe
α) Die Verbrauchsfunktion [ρi (λ)]
(λ )
= ri
ρi (λ)
b (λ )
β) Die „monetäre“ Verbrauchsfunktion [qi ⋅ ρi (λ)]
(λ )
qi ⋅ ρi (λ) = qi ⋅ r i
b (λ )
χ) Die Kosten-Leistungsfunktion [k(λ)]
m
k(λ) = ∑ qi ⋅ ρi (λ)
i =1
mit i = 1,2,...,m
δ) Die Zeitkostenleistungsfunktion [z(λ)]
m
z(λ) = λ ⋅ k(λ) = ∑ qi ⋅ ρi (λ) ⋅ λ
i =1
mit i = 1,2,...,m
b) Bestimmung der Kostenleistungsfunktion und der Zeitkostenleistungsfunktion aus der Faktorverbrauchsfunktion
α) Kostenleistungsfunktion [k(λ)]
m
(6.1) k(λ) = ∑ qi ⋅ ρi (λ)
mit i = 1,2,...,m
i =1
β) Zeitkostenleistungsfunktion [z(λ)]
m
(6.2) z(λ) = λ ⋅ k(λ) = ∑ qi ⋅ ρi (λ) ⋅ λ
i =1
mit i = 1,2,...,m
χ) Parameter (λ und t)
0 ≤ λ ≤ λmax und 0 ≤ t ≤ tmax
c) Ermittlung der Kostenfunktion sowohl für die zeitliche als auch die intensitätsmäßige Anpassung sowie der
Anpassungsbereiche
α) Bestimmung der Optimalität (λ*)
!
dk (λ)
=0
(6.3)
dλ
⇒ λ*
β) Der Bereich zeitlicher Anpassung
0 ≤ x ≤ tmax ⋅ λ*
χ) Bestimmung der Kostenfunktion bei zeitlicher Anpassung
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7. 3 Lagerhaltungsmodelle
a) Symbole
α) Der Lagerbestand (b)
b
= der Lagerbestand
β) Der maximaler Lagerbestand (bmax)
q
s⎞
⎛
bmax = (z – s)⋅ta = (z – s)⋅ = ⎜1 − ⎟ ⋅q = der maximale Lagerbestand
z
⎝ z⎠
max
b
χ) Der durchschnittlicher Lagerbestand (
)
2
max
q ⎛
s⎞
b
= ⋅ ⎜1 − ⎟ = der durchschnittliche Lagerbestand
2
2 ⎝ z⎠
δ) Die bestellfixen Kosten (c)
c
= die bestellfixen Kosten (gemessen in DM, € bzw. GE);
sie hängen nur von der Anzahl der Bestellungen und nicht von der Bestellmenge ab
χ) Die Bestellhäufigkeit im Planungszeitraum (h)
x
h
= = die Bestellhäufigkeit im Planungszeitraum (Auflagehäufigkeit)
q
ε) Die Beschaffungskosten (KB)
KB = die Beschaffungskosten
φ) Die Lagerhaltungskosten (KL)
KL = die Lagerhaltungskosten
γ) Der Lagerkostensatz (l)
l
= der Lagerkostensatz (gemessen in DM, € bzw. GE pro gelagerter Materialeinheit im Planungszeitraum T)
η) Die auftragsfixen Kosten und/oder auftragsgebundenen Kosten (m)
m = die auftragsfixen Kosten und/oder auftragsgebundenen Kosten
ι) Der vom Lieferanten gewünschte Stückpreis (n)
n
= der vom Lieferanten gewünschte Stückpreis
ϕ) Der Beschaffungspreis des Materials (p)
p
= der Beschaffungspreis des Materials (gemessen in DM, € bzw. GE pro Stück)
κ) Die Bestellmenge (q)
q
= die Bestellmenge (gemessen in Stück);
durch sie wird die Deckung des Gesamtbedarfs x in gleich große Perioden unterteilt
λ) Die Lagerabgangsrate (s)
x
= die Lagerabgangsrate
s
=
T
µ) Die Länge des Planungszeitraums (T)
T
= die Länge des Planungszeitraums (gemessen in Tagen)
ν) Die Anlieferungs- und Verbrauchsperiode (ta)
q
= = die Anlieferungs- und Verbrauchsperiode
ta
z
ο) Die Bestellperiode (tb)
1
q
= =
= ta + tv = die Bestellperiode
tb
h
x
π) Die reine Verbrauchsperiode (tv)
= die reine Verbrauchsperiode
tv
θ) Der Gesamtbedarf (x)
x
= der Gesamtbedarf
ρ) Die Lagerzugangsrate (z)
z
= die Lagerzugangsrate
Formelsammlung für Produktions- und Kostentheorie (Stand: 13.02.2002)
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b) Das HARRIS-Modell
α) Herleitung der optimalen Losgröße (qopt) aus der Kostenfunktion
(7.1) KB = c + p ⋅ q
q q
⋅
⋅l⋅T
(7.2) KL =
2 x
q q
(7.3) K = KB + KL = c + p ⋅ q +
⋅
⋅l⋅T
2 x
K
c
1 q
(7.4) k =
=
+p+
⋅
⋅l⋅T
q
q
2 x
(7.5)
(7.6)
!
c
dk
1
= − 2 +
⋅l⋅T = 0
dq
2x
q
c
q
2
=
1
⋅l⋅T
2x
⏐+
c
q
2
⏐⋅ q2
c
2cx
=
1
l⋅T
⋅l⋅T
2x
2cx
(7.8) qopt =
l⋅T
β) Die optimale Bestellhäufigkeit (hopt)
x
(7.9) hopt = opt
q
(7.7) q2 =
⏐:
1
⋅l⋅T
2x
⏐√
χ) Die optimale Lagerzeit (topt)
opt
q
(7.10) topt =
x
c) Das Lagerhaltungsmodell mit sukzessivem Lagerzugang
α) Herleitung der optimalen Losgröße (qopt) aus der Kostenfunktion
(7.11) KB = c + p ⋅ q
q q ⎛
x
s⎞
⋅
⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ l ⋅ T
mit s =
(7.12) KL =
2 x ⎝ z⎠
T
q q ⎛
s⎞
(7.13) K = KB + KL = c + p ⋅ q +
⋅
⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ l ⋅ T
2 x ⎝ z⎠
K
c
1 q ⎛
s⎞
(7.14) k =
=
+p+
⋅
⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ l ⋅ T
q
q
2 x ⎝ z⎠
c
dk
1
⎛
(7.15)
= − 2 +
⋅ ⎜1 −
dq
2x ⎝
q
!
s⎞
⎟ ⋅l⋅T = 0
z⎠
1
s⎞
⎛
⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ l ⋅ T
2x ⎝ z ⎠
c
2cx
(7.17) q2 =
=
1 ⎛
s⎞
l⋅T
⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ l ⋅ T
2x ⎝ z ⎠
(7.16)
c
q
2
2cx
s⎞
⎛
⎜1 − ⎟ ⋅ l ⋅ T
⎝ z⎠
β) Die optimale Bestellhäufigkeit (hopt)
x
(7.19) hopt = opt
q
χ) Die optimale Lagerzeit (topt)
opt
q
(7.20) topt =
x
c
q
2
⏐⋅ q2 ⏐:
=
(7.18) qopt =
⏐+
⏐√
1
⎛
⋅ ⎜1 −
2x ⎝
s⎞
⎟ ⋅l⋅T
z⎠
Formelsammlung für Produktions- und Kostentheorie (Stand: 13.02.2002)
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δ) Die Lagerabgangsrate (s)
x
(7.21) s =
T
ε) Der maximale Lagerbestand (bmax)
s⎞
q
⎛
(7.22) bmax = (z – s)⋅ta = (z – s)⋅ = ⎜1 − ⎟ ⋅q
z
⎝ z⎠
d) Das Lagerhaltungsmodell mit mengenabhängigen Preis
α) Herleitung der optimalen Losgröße (qopt) aus der Kostenfunktion
⎛
m⎞
m
(7.23) KB = c + p ⋅ q = c + ⎜⎜ n + ⎟⎟ ⋅ q
mit p = n +
q
q
⎠
⎝
(7.24) KL =
q q
⋅
⋅l⋅T
2 x
⎛
m⎞
q q
(7.25) K = KB + KL = c + ⎜⎜ n + ⎟⎟ ⋅ q +
⋅
⋅l⋅T
q⎠
2 x
⎝
⎛
m⎞
K
c
1 q
=
+ ⎜⎜ n + ⎟⎟ +
⋅
⋅l⋅T
q
q
q
2 x
⎝
⎠
!
m
c
c
m
dk
1
(7.27)
= − 2 − 2 +
⋅ l ⋅ T = 0 ⏐+ 2 + 2
dq
2x
q
q
q
q
(7.26) k =
(7.28)
c
q
2
+
m
2
=
1
⋅l⋅T
2x
q
(c + m ) = 2x ⋅ (c + m )
(7.29) q2 =
1
l⋅T
⋅l⋅T
2x
2x ⋅ (c + m )
(7.30) qopt =
l⋅T
β) Die optimale Bestellhäufigkeit (hopt)
x
(7.31) hopt = opt
q
⏐⋅ q2
⏐:
1
⋅l⋅T
2x
⏐√
χ) Die optimale Lagerzeit (topt)
opt
q
(7.32) topt =
x
δ) Der mengenabhängige Preis (p)
m
(7.33) p = n +
q
e) Zusammenfassung und Gegenüberstellung der 3 Lagerhaltungsmodelle
Modell
HARRIS-Modell
Erweiterungsfall 1:
Lagerhaltungsmodell mit
sukzessivem Lagerzugang
Erweiterungsfall 2:
Lagerhaltungsmodell mit
mengenabhängigem Preis
KB
c+p⋅q
c+p⋅q
⎛
m⎞
c + p ⋅ q = c + ⎜⎜ n + ⎟⎟ ⋅ q
q⎠
⎝
KL
q q
⋅
⋅l⋅T
2 x
qopt
2cx
l⋅T
Modelleigenschaft
q q ⎛
⋅
⋅ ⎜1 −
2 x ⎝
s⎞
⎟ ⋅l⋅T
z⎠
2cx
s⎞
⎛
⎜1 − ⎟ ⋅ l ⋅ T
⎝ z⎠
bmax = (z – s)⋅ta = (z – s)⋅
Besonderheit
-
s⎞
⎛
⎜1 − ⎟ ⋅q
⎝ z⎠
q q
⋅
⋅l⋅T
2 x
2x ⋅ (c + m )
l⋅T
q
=
z
p=n+
m
q