Stetige Verteilungen Exponentialverteilung: Dichtefunktion f(x) = { 0

Stetige Verteilungen
Exponentialverteilung:
Dichtefunktion
(
f (x) =
0
für x < 0
für x ≥ 0
λ e−λ x
Verteilungsfunktion:
(
F(x) =
0
1 − e−λ x
Erwartungswert: E(X) =
Varianz: Var(X) =
für x < 0
für x ≥ 0
1
λ
1
λ2
Anwendung 1: Lebensdauer von Geräten, radioaktiven Teilchen,. . . .
Wenn die „Sterberate“ konstant ist, dann ist die Lebensdauer exponentialverteilt.
Bemerkung: Konstante „Sterberate“ bedeutet, dass die Anzahl der Todesfälle pro Zeiteinheit immer derselbe Anteil von der gerade vorhandenen
Anzahl ist.
Z.B.: Pro Jahr gehen 15% der Geräte kaputt.
Oder: Die Halbwertszeit beträgt 23 Jahre.
Anwendung 2: Ist das Eintreten eines Ereignisses Poissonverteilt, dann ist die
Zeit zwischen dem Eintreten von zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen exponentialverteilt.
Beispiel 1: Ein bestimmtes radioaktives Material hat eine Halbwertszeit von 12
Tagen. D.h.: Innerhalb von 12 Tagen zerfällt die Hälfte des Materials.
(a) Gib die Dichte- und die Verteilungsfunktion für die Lebensdauer eines Teilchens dieses Materials an.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen dieses Materials genau 24 Tage existiert?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen dieses Materials nach 24 Tagen noch exisitiert?
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen dieses Materials mindestens 12 aber höchstens 16 Tage exisitert?
(e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen dieses Materials, das bereits 24 Tage existiert hat noch mindestens weitere 12
Tage existiert?
(f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen dieses Materials weniger als einen Tag lang exisitert?
(g) Berechne P(t > t0 + k |t > t0 )!
Wie könnte man dieses Ergebnis interpretieren?
Beispiel 2: Eine Maschine produziert Drahtseile. Die Maschine arbeitet rund um
die Uhr und wird mechanisch überwacht. Beobachtungen über längere Zeit
haben ergeben, dass die Maschine im Mittel 3 mal pro Tag durch einen Fehler
zum Stillstand kommt. Die Zufallsvariable, welche die Ausfälle pro Tag zählt
ist Poissonverteilt.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt die Maschine an einem Tag
überhaupt nie aus?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine an einem Tag
öfter als 5 mal ausfällt?
(c) Die Maschine wurde soeben neu gesartet.
i. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie innerhalb der nächsten 6 Stunden ausfällt?
ii. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens 12 Stunden fehlerfrei läuft?
(d) Die Maschine ist bereits 4 Stunden lang fehlerfrei gelaufen. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie innerhalb der nächsten 6 Stunden
ausfällt?
Normalverteilung N(µ , σ 2 ):
Dichtefunktion:
Erwartungswert:
2
1
− (x−µ2)
2
σ
f (x) = √ e
σ 2π
E(X) = µ
Var(X) = σ 2
Varianz:
Wichtiger Spezialfall: Standardisierte Normalverteilung N(0, 1):
Dichtefunktion:
1 − x2
√
f (x) =
e 2
2π
Zx
Verteilungsfunktion:
F(x) =
f (y)dy = Φ(x)
. . . Tabelle
−∞
Auf Grund der Symmetrie der Dichtefunktion gilt:
Φ(−x) = 1 − Φ(x)
Die Zahl xγ mit Φ(xγ ) = γ heißt γ −Quantil der Standardnormalverteilung.
Wir schreiben: γ = QN (γ )
Standardisieren einer Zufallsvariable: Ist X ∼ N(µ , σ 2 ), dann ist
X −µ
σ
standardnormalverteilt. Also Z ∼ N(0, 1)
Begründung:
Z :=
Anwendung:
- Viele kontinuierliche Größen sind normalverteilt
- Approximation der Binomialverteilung:
Richtwert:
σ 2 = n · p · (1 − p) ≥ 9
- Approximation der hypergeometrischen Verteilung:
Richtwert:
µ
¶
M
N −n
M
1−
≥9
σ2 = n·
N
N N −1
und
N ≥ 2n
Beispiel 1: Der Intelligenzquotient in einer bestimmten Gesellschaft ist normalverteilt mit N(100, 152 ).
(a) Wieviel Prozent der Bevölkerung sind hochintelligent mit einem IQ
größer als 130?
(b) Wieviel Prozent der Bevölkerung haben einen IQ zwischen 90 und
120?
(c) Ein elitärer Klub möchte nur höchst intelligente Mitglieder. Es sollen
nur Personen zugelassen werden, die zu den 5 Prozent der intelligentesten gehören. Jeder Beitrittswillige muss einen Intelligenztest ablegen. Wie muss die IQ-Grenze für diesen Test festgesetzt werden?
(d) Bestimme die Quartile für den Intelligenzquotienten!
(e) Zwischen welchen IQ-Grenzen befinden sich die 50% der mittelintelligenten Personen?
Beispiel 2:
Ein sparsamer Häuselbauer arbeitet mit billigen Profilbrettern der BSortierung. Er verwendet aber nur Bretter, die fehlerlos sind. Da die Bretter
ohnehin abgeschnitten werden, kann er die Fehler teilweise „wegschneiden“.
Aus Erfahrung weiß er, dass durchschnittlich 15% der Bretter unbrauchbar
sind.
(a) Er kauft 220 Bretter. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
i. genau 188 brauchbare Bretter dabei sind?
ii. mehr als 200 brauchbare Bretter dabei sind?
iii. weniger als 180 brauchbare Bretter dabei sind?
iv. zwischen 180 und 200 brauchbare Bretter dabei sind?
(b) Wieviele Bretter muss er einkaufen, damit er mit 99%iger Wahrscheinlichkeit mindestens 200 brauchbare Bretter dabei hat?
Beispiel 3:
In Verbrennungsmotoren werden die Ventile häufig durch einen Zahnriemen
gesteuert, der die Nockenwelle mit der Kurbelwelle verbindet. Falls dieser Zahnriemen kaputt geht, entsteht ein sehr teurer Motorschaden. Deshalb
muss der Zahnriemen bei jedem Verbrennungsmotor in bestimmten Intervallen getauscht werden. Durch Ermüdungsversuche wurde festgestellt, dass die
Lebensdauer von Zahnriemen normalverteilt ist mit µ = 160 000 km Fahrleistung und einer Standardabweichung von σ = 15 000 km.
Welches Wechselintervall muss der Hersteller vorschreiben (nach wievielen Kilometern sollte der Zahnriemen getauscht werden), damit die Wahrscheinlichkeit für einen Motorschaden durch Zahnriemenbruch bei höchstens
1:20 000 liegt?