TEC 2009

GIBB
Gewerblich-Industrielle
Berufsschule Bern
Berufsmaturitätsschule
Berufsmaturitätsprüfung 2009
Mathematik
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Zeit:
180 Minuten
Hilfsmittel:
Hinweise:
Formel- und Tabellensammlung ohne gelöste Beispiele, Taschenrechner
Die Lösungen werden nur bewertet, wenn der Lösungsweg vollständig und klar
ersichtlich ist.
Punkte:
Die maximale Punktzahl beträgt 30 Punkte (Teil 1 je 1.5 Punkte, Teil 2 je 3 Punkte
pro Aufgabe)
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Teil 1 (je 1.5 Punkte)
1.
Aus einem Stück Draht der Länge l = 60 cm soll ein Kreissektor geformt werden.
Wie gross muss der Radius r gewählt werden, damit die grösstmögliche Sektorfläche
entsteht?
2.
Eine Gerade h mit Definitionsmenge Dx = { x ∈ℜ − 2 ≤ x < 8 }verläuft durch den Punkt
Q(2/3) und hat eine Nullstelle bei x0 = 6.
(a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung h(x).
(b) Berechnen Sie den positiven Winkel α mit der x-Achse
(c) P(4/p) soll unterhalb von h(x) liegen. Welche Bedingung muss p erfüllen?
3.
Ermitteln Sie für Dx = { x ∈ℜ 0 ≤ x ≤ 2π } sämtliche Lösungen der goniometrischen
Gleichung:
π⎞
⎛
sin ⎜ x + ⎟ = −0.5
4⎠
⎝
4.
Bestimmen Sie die Funktionsvorschrift derjenigen Sinusfunktion f mit der Definitionsmenge
Df = { x ∈ℜ − 90° ≤ x ≤ 540° }, die untenstehend gezeichneten Graphen besitzt.. Die
Funktion hat im Punkt A (60°/4) ein Maximum und im Punkt B (300°/-2) ein Minimum.
Die Einheiten auf der x-Achse sind Grad.
Abs09.doc
5
4
3
2
f ( x)
1
60
0
60
120
180
240
300
360
420
1
2
x
5.
Die Punkte A, B, C und D im dreidimensionalen Raum haben die Koordinaten:
A(1/0/0); B(3/0/2); C(2/1/0); D(x/2/2)
Berechnen Sie die Koordinate x vom Punkt D so, damit die vier Punkte in einer Ebene
liegen.
6.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge für x: (D = R)
16 2 x−2 = 23 x−2
7.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge für x: (Grundmenge G = R)
lg (x + 4) + lg x = 2·lg (x + 1)
8.
Welche Zahl ist grösser? 12999 oder 41998
Begründen Sie Ihre Antwort!
9.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge für x:
4 x +1 = 1− x
(Grundmenge G = R)
10. Eine Kugel wird in 12 cm Abstand vom Mittelpunkt von einer Ebene geschnitten. Die
Schnittfläche ist 300 cm2 gross. Wie gross ist der Oberflächeninhalt der ursprünglichen
ganzen Kugel?
11. Wie gross ist der Zentriwinkel α eines Kreissektors, dessen Inhalt gleich gross ist wie das
dem Kreis eingeschriebene Quadrat mit der Seite s?
Abs09.doc
α
r
s
12. Gegeben ist ein Dreieck mit den Seiten a = 5; b = 7 und dem Winkel β = 20°.
Berechnen Sie die Höhe ha des Dreiecks.
Teil 2 (je 3 Punkte)
13. Der Graph g einer linearen Funktion mit Dx = { x ∈ℜ − 2 ≤ x < 9 }geht durch die Punkte
A (-2/14) und B (3/7).
(a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung g(x).
(b) Bestimmen Sie die Länge der Strecke, welche von der Geraden g im ersten Quadranten
liegt.
(c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der senkrechten Geraden zu g(x), welche durch den
Koordinatenursprung führt.
14. Ermitteln Sie für Dα = { α ∈ℜ 0° ≤ α ≤ 360° } sämtliche Lösungen der goniometrischen
Gleichung:
sin(α − 45°) + cos (α + 135° ) = 2 ⋅ tan (α )
15. Im Dreieck ABC ist AD die Winkelhalbierende
des Winkels α (= Winkel CAB). Sie misst 10cm.
Es gilt: DC = 3 ⋅ BD
C
Berechnen Sie den Winkel α und die Strecke BD .
D
A
16. Gegeben ist der Punkt C (1/2/1) sowie eine Gerade g(x) = 2x + 1 in der x-yKoordinatenebene.
Abs09.doc
B
Berechnen Sie den Punkt Q auf der Geraden g mit minimalem Abstand zum Punkt C.
17. Gegeben ist eine gerade Pyramide. Die Grundfläche ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge
von 4 cm. Die Höhe der Pyramide beträgt 8cm. Die Ecke A hat die Koordinaten A(0/0/0).
a)
b)
c)
d)
Bestimmen Sie die Koordinaten der Ecken B, C und der Spitze E ?
Berechnen Sie die Vektoren EB und EC .
Berechnen Sie vom Dreieck BCE alle Innenwinkel.
Berechne Sie den Winkel zwischen EB und der y-z-Koordinatenebene.
z
E
A
x
B
D
y
C
18. Bei einem Federpendel nimmt die Amplitude (Entfernung des Umkehrpunktes von der
Ruhelage) exponentiell mit der Zeit ab. Nach 1 min beträgt die Amplitude 9 cm, nach 3
min noch 4 cm.
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
s = f(t).
b) Nach welcher Zeit ist die Amplitude noch
ein Viertel so hoch wie zu Beginn (t = 0 min)?
19. Die Spannung U (V) eines Kondensators - der über einen Widerstand an eine
Betriebsspannung von 12 V geschaltet wird - beträgt während des Einschaltvorganges im
Zeitpunkt t (s): U (t ) = 12 ⋅ (1 − e − kt ) .
Man misst U (0,1) = 10.22 V.
Abs09.doc
a) Berechnen Sie die Konstante k für t = 0,1 s.
b) Welches ist die Spannung im Zeitpunkt t = 0,2 s?
c) In welchem Zeitpunkt t beträgt die Spannung 6 V?
20. Vorbemerkung zu unserem Zahlensystem: die Zahl 34 besteht aus den Ziffern 3 und 4, ihre
Quersumme ist 7.
Die Quersumme einer dreistelligen Zahl ist 15. Vertauscht man die zweite Ziffer mit der
ersten, verkleinert sich die Zahl um 90. Vertauscht man von der ursprünglichen Zahl die
zweite Ziffer mit der dritten, vergrössert sich die Zahl um 18. Bestimmen Sie die
ursprüngliche Zahl rechnerisch.
21. Ein Metallstück mit H-Profil wiegt 40 kg und ist 2 m lang. Das verwendete Material hat
die Dichte ρ = 6.32 kg/dm3. Berechnen Sie d.
22. Ein kegelförmiger Trichter mit 20 cm Öffnungsweite (oberster Durchmesser) und einem
Spitzenwinkel von 68° ist zu fünf Achtel des Volumens mit Wasser gefüllt.
a) Welchen Durchmesser hat die Wasseroberfläche?
b) Wie breit ist der unbenetzte Rand des Trichters?
Unbenetzter
Rand
Wasser
23. Auf einem Berggipfel G steht ein h Meter hoher Sendemast (h = 75 m). Von einem Ort A
im Tal sieht man den Fußpunkt des Mastes unter dem Höhenwinkel α (α = 17,7°), die
Spitze unter dem Höhenwinkel β (β = 24,3°). Wie hoch ist der Berg (x)? Berechnen Sie
auch die horizontale Distanz d zwischen A und dem in die Horizontale projizierten
Berggipfel G’.
Abs09.doc
h
G
x
β
α
A
d
G'
24. Von einem Sehnenviereck (Viereck mit Umkreis) ABCD kennen wir die Seiten
a = AB = 5 cm und c = CD = 4.3 cm, die Diagonale e = AC = 5.4 cm und der Winkel
β = 94° in der Ecke B.
Gesucht wird die Länge der Seite b und der Winkel α in der Ecke A.
12.08. / Wy
Abs09.doc