Quantenphänomene und Strahlungsgesetze

Quantenphänomene und
Strahlungsgesetze
Ludwig Prade, Armin Regler, Pascal Wittlich
17.03.2011
Inhaltsverzeichnis
1 Quantenphänomene
1.1 Ursprünge . . . .
1.2 Photoeffekt . . .
1.3 Comptoneffekt . .
1.4 Paarerzeugung . .
1.5 Röntgenstrahlung
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und Bragg-Reflexion
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2 Strahlungsgesetze
2.1 Schwarzer Strahler und Hohlraumstrahlung
2.2 Wiensches Verschiebungsgesetz . . . . . .
2.3 Energiedichte und Strahlungsintensität . .
2.4 Plancksches Strahlungsgesetz . . . . . . .
2.5 Rayleigh-Jeans-Gesetz . . . . . . . . . . .
2.6 Wiensches Strahlungsgesetz . . . . . . . .
2.7 Stefan-Bolzmann-Gesetz . . . . . . . . . .
2.8 Anmerkung zur Wellenlängendarstellung .
1
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Ferienkurs ExPhys3
1 Quantenphänomene
17.03.2011
1 Quantenphänomene
1.1 Ursprünge
Zu Anfang des 20. Jahrhunderts stelle man vermehrt fest das die klassische Auslegung von
Licht als Welle und Elektronen oder anderen Teilchen als rein festen Teilchen mit einem festen
Ort nicht immer korrekt sind. Man bemerkte
• Wellencharakter von Teilchen:
Beugung, wie sie für Wellen (Licht, Schall) bekannt ist, funktioniert auch mit Teilchen
wie Elektronen oder Neutronen
– p~ = h̄~k (de Brogile Beziehung) mit k = 2π
λ
→Zuordnung einer Wellenlänge für einen beliebigen Impuls möglich
λ=
h
h
h
=
=√
p
m·v
2m · Ekin
• Teilchencharakter von Wellen:
Beim Photoeffekt tritt Licht mit einer gequantelten Energie auf und beim Comptoneffekt
kann es in Form eines elastischen Stoßes mit Elektronen wechselwirken
– Energie eines Photons: Eγ = hν = h̄ω =
– Impuls eines Photons: pγ =
hc
λ
Eγ
c
hν
c2
, Ruhemasse m0 = 0 !
– Masse eines Photons: mγ =
→Gravitationsrotverschiebung: ∆ν
= g·H
ν
c2
• Unschärferelation:
Ort und Impuls können gleichzeitig nicht scharf bestimmt werden
∆x · ∆p ≥ h̄
Ebensowenig können Lebensdauer τ = ∆t und Energie eines Übergangs nicht gleichzeitig
scharf bestimmt werden
∆E · ∆t ≥ h̄
Achtung, falls eine Halbwertszeit angegeben ist, beachte T1/2 = ln(2)τ .
Aufgrund der speziellen Relativitätstheorie gilt außerdem: E = mc2 = √m0 2 c2 ,mit γ =
1−γ
v
c
1.2 Photoeffekt
Eine Metallkathode mit niedriger Austrittsarbeit wird mit monochromatischem Licht bestrahlt
(Abb. 1 ). Durch die auftreffenden Photonen werden Elektronen freigeschlagen, die zur Anode wandern und so einen sogenannten Photostrom erzeugen. Allerdings tritt der Strom nur
auf, falls eine materialspeziefische Wellenlänge unterschritten wird, unabhängig von der Strahlungsintensität.Dies war bei Entdeckung der erste Nachweis dafür, dass Photonen eine diskrete
Energie besitzen. Für die 1905 verfasste genaue Erklärung erhielt Einstein den Nobelpreis.
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1 Quantenphänomene
17.03.2011
Abbildung 1: Versuchsaufbau Photoeffekt
Folgende Eigenschaften lassen sich aus dem Versuchsverlauf gewinnen (siehe Abb. 2 )
• bereits bei negativer Spannung ist ein Photostrom messbar
• Umin hängt nicht von der Lichtintensität, sondern lediglich von der Wellenlänge ab (was
ein Widerspruch zur klassischen Vorstellung ist!)
• für konstantes λ ist die Sättigungsstromstärke proportional zur Lichtintensität (also ist
die Intensität ∝ Anzahl der Photonen pro Zeit und Fläche)
• mit Hilfe einer Gegenspannung kann die Stromstärke verringert oder ganz unterdrückt
werden →es entstehen Elektronen mit kinetischer Energie Ekin = m2 · v 2 = e · Umin
Abbildung 2: Verwendung unterschiedlicher Wellenlängen oder Strahlungsintensitäten
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1 Quantenphänomene
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Führt man nun den Versuch für verschiedene Materialien und verschiedene Wellenlängen
durch, so erhält man immer Geraden der gleichen Steigung, allerdings unterschiedlichem YAchsenabschnitt.
Abbildung 3: Berechnung von h
Die Lösung dieser Geraden bildet die Einstein Gleichung:
Ekin = hν − WA
(1)
wobei WA , Austrittsarbeit des verwendeten Metalls und h das Plancksche Wirkungsquantum
sind. Man sieht also das sich das Plancksche Wirkungsquantum aus der Steigung dieser Kurvern
berechnen lässt h = ∆E
∆ν
1.3 Comptoneffekt
Abbildung 4: Impulsvektoren beim Comptoneffekt
Hierbei handelt es sich um Streuung von hochenergetischen Photonen an freien, ruhenden
Elektronen. Gebundene Elektronen können dann als frei betrachtet werden, falls die Photonenenergie groß genug ist, also h̄ν ≥ 100 keV .
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1 Quantenphänomene
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Für die Energie beider beteiligten Teilchen gilt: (relativistische Energie-Impuls-Beziehung)
E 2 = p2 c2 + m0 2 c4
(2)
Aufgrund der Energieerhaltung muss nun also gelten:
pγ c + me c2 = pγ 0 c +
q
p0e 2 c2 + m2e c4
(3)
Mit Hilfe der Impulserhaltung finden wir
p~e = p~γ − p~γ 0
(4)
p2e = (~pγ − p~γ 0 )2 = p2γ + p2γ‘ − 2pγ pγ 0 cos(θ)
(5)
Mit Hilfe des Kosinussatzes folgt
Nun setzen wir dies in (3) ein und lösen auf. Dann erhalten wir
Eγ0 = Eγ ·
me c2
me c2 + Eγ (1 − cos θ)
(6)
Für die Änderung der Wellenlänge erhält man mit Hilfe der deBroglie Beziehung
∆λ = λ0 − λ = λc (1 − cos θ)
wobei λc (=
h
)
me c
(7)
die Compton-Wellenlänge bezeichnet.
1.4 Paarerzeugung
Befindet sich ein hochenergetisches Photon in der Nähe eines Atomkerns, so kann es spontan in
ein Elektron-Positron-Paar zerfallen. Hierzu muss die Energie des Photons mindestens so groß
sein, wie die Ruhemassenenergie der beiden Teilchen. Es gilt also:
Eγ ≥ 2me c2 ≈ 1M eV
(8)
Würde diese Umwandlung nicht in der Gegenwart eines Atomkerns geschehen, so wäre nun die
Impulsbilanz verletzt, da im Schwerpunktsystem der beiden neu enstandenen Teilchen der Gesamtimpuls verschwindet, das Photon allerdings in diesem System einen nicht-verschwindenden
Impuls hatte. Ist nun also ein Atomkern in der Nähe, so wird ein gewisser Teil der Energie in
einem Stoß abgegeben. Vollständiger lautet nun also die minimal benötigte Energie:
Eγ ≥ 2me c2 (1 +
me
)
M
(M= Masse des Atomkerns)
(9)
Ist die Photonenenergie nun größer als dieser Schwellenwert, so besitzen die beiden Teilchen
nach ihrer Entstehung eine gewiße kinetische Energie.
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1 Quantenphänomene
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1.5 Röntgenstrahlung und Bragg-Reflexion
Um Röntgenstrahlung zu erzeugen ist es notwendig hochenergetische Elektronen (ab einigen
keV Beschleunigungsspannung) auf eine Metallanode zu schießen. Wird das Elektron nun einfach abgebremst und emittiert dadurch ein Photon, so entsteht sogenannte Bremsstrahlung, die
ein kontinuierliches Spektrum aufweist. Das Maximum ist durch die Beschleunigungsspannung
der Röntgenröhre gegeben. Es können allerdings auch Elektronen des jeweiligen Materials freigeschlagen werden.Das dadurch entstandene Loch wird durch weiter außen gelegenen Elektronen
aufgefüllt, wodurch auch ein Photon emittiert wird. Man spricht hier von charakteristischer
Strahlung.
Eine mögliche Anwendung ist die Kristallanalyse mit Hilfe von Bragg-Relexion. Hier wird
monochromatische Röntgenstrahlung auf einen Kristall geschossen(Abb. 5) und die reflektierte
Strahlung nach Winkeln genau vermessen.
Abbildung 5: Strahlverlauf bei Braggreflexion
Für 2 parallele, unter einem Winkel θ eintreffende Strahlen ergeben sich verschiedene Reflexionspunkte im Kristallgitter (Ebenenabstand d). Dies sorgt für einen Wegunterschied δ, wobei
wir durch hinsehen finden
δ = 2 · d · sin(θ)
(10)
Bei bestimmten Winkeln (Glanzwinkeln) enspricht der Wegunterschied einem vielfachen der
eingestrahlten Wellenlänge, so inteferieren beide Strahlen konstruktiv miteinander. Um Maxima
in der Intensitätsverteilung zu erhalten muss also gelten:
2 · d · sin(θ) = n · λ
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(11)
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2 Strahlungsgesetze
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2 Strahlungsgesetze
2.1 Schwarzer Strahler und Hohlraumstrahlung
Ein beliebiger Körper absorbiert, materialabhängig, gewisse Wellenlängen und reflektiert den
Rest. Allgemein muss gelten:
α(ν, T ) + ρ(ν, T ) = 1
(12)
wobei hier α der Absorbtionskoeffizient, und ρ der Reflektionskoeffizient sind. Auerdem strahlt
ein beliebiger Körper gegebener Temperatur aus sich selbst heraus. = Emissionsgrad)
(ν, T ) = α(ν, T )
(Gesetz von Kirchhoff)
(13)
Einen schwarzen Strahler zeichnet die Tatsache aus, das er jegliche Strahlung absorbiert, also
α = 1. Daraus folgt, dass ρ = 0 und = 1 ∀T . Über das das abgestrahlte Spektrum kann
man wichtige Aussagen treffen:
• das Spektrum ist kontinuierlich
• es hängt nur von der Temperatur ab, die den Schwerpunkt der Intensitätsverteilung vorgibt
Experimentell annähernd realisieren lässt sich das durch Hohlraumstahlung. Für einen farbigen
(also realen) Körper muss die Strahlungsintensität folgendermaßen angepasst werden:
I(ν, T ) = (ν, T )Ischwarz (ν, T )
Abbildung 6: Plancksches Strahlungsspektrum bei verschiedenen Temperaturen
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(14)
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2 Strahlungsgesetze
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2.2 Wiensches Verschiebungsgesetz
Wie man in Abbildung 6 sieht, ergibt sich aus der Temperatur eines Strahlers eine unterschiedliche Intensitätsverteilung der einzelnen Wellenlängen (bzw. Frequenzen). Für das Maximum
der Verteilung gilt:
0.2898cm · K
(15)
λmax =
T
Die Farbtemperatur ist im Bezug auf diese Wellenlänge definiert.
2.3 Energiedichte und Strahlungsintensität
• Energiedichte u(T )
• spektrale Energiedichte uν (ν, T ) oder uλ (λ, T )
• Energiedichte in gewissem Frequenzbereich (analog für Wellenlängenbereich)
u(T ) =
Z ν2
ν1
• Strahlungsintensität
uν (ν, T )dν
1
I(T ) = cu(T )
4
(16)
(17)
2.4 Plancksches Strahlungsgesetz
8πh
ν3
(18)
c3 ehν/kB T − 1
Diese Formel gibt das natürliche Strahlungsspektrum von zum Beispiel Sternen sehr genau
wieder. Unter Abb. 6 kann man eine Intensitätsverteilung bezogen auf die Wellenlänge für
verschiedene Temperaturen sehen.
uν (ν, T ) =
2.5 Rayleigh-Jeans-Gesetz
4ν 3
· kB T
(19)
c3
kann für kleine Frequenzen direkt aus (18) abgeleitet werden, da für kleine Exponenten gilt
uν (ν, T ) =
ehν/kB T ≈ 1 + (hν/kB T )
Diese Darstellung entspricht der klassischen Lösung, die vor der quantenmechanischen Interpretation von Planck postuliert wurde. Bis zu Wellenlängen im Infrarotbereich sind die Lösungen
sehr genau.
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2 Strahlungsgesetze
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2.6 Wiensches Strahlungsgesetz
8π 2 ν 3 −hν/kB T
·e
c3
Diese Näherung gilt sehr gut für große Frequenzen, da dort gilt
uν (ν, T ) =
(20)
ehν/kB T − 1 ≈ ehν/kB T
2.7 Stefan-Bolzmann-Gesetz
Um die gesamte Strahlungsleistung berechnen zu können ist es notwendig das Integral über
die spektrale Energiedichte im gesamten Frequnzbereich auszurechnen. Hierzu verwenden wir
folgende Substitution
h
hν
→ dx =
dν
(21)
x=
kB T
kB T
Außerdem nutzen wir folgende Identität
Z ∞
0
π4
x3
dx
=
ex − 1
15
(22)
nun erhalten wir mit Hilfe von (17) folgendes Ergebnis:
2π k 4 T 4 Z ∞ x3
2π 5 k 4 4
I(T ) = 2 3
dx
=
T = σ · T4
x
2
3
c h
e −1
15 c h
0
(23)
mit σ (= 5, 67 · 10−8 mW
2 K 4 ) der Stefan-Bolzmann-Konstante sowie A der abgestrahlten Fläche
folgt
P = σ · A · T4
(24)
2.8 Anmerkung zur Wellenlängendarstellung
machnmal wird die Darstellung der spektralen Energiedichte in Anhängigkeit von der Wellenlänge benutzt. Die Umrechnung von einer in die andere Darstellung ist allerdings nicht
trivial. Man muss die Nichtlinearität aufgrund der Nachdifferenziation beachten. Es gilt
dν 8πhc
1
c
uλ (λ, T ) = uν ( , T ) = 5
hc
λ
dλ
λ e λkB T − 1
(25)
Will man analog dazu das Maxima der Intensitätsverteilung im Bezug auf die Frequenzen
ausrechnen, so findet man folgendes Ergebnis
νmax = 5, 88 · 1010
9
T
Hz
K
(26)