Beweisen lehren

Nr. 22.06.2015
Beweisen lehren
Zeige a = b. Gibt es eine Idee?
- S.v. gleichschenkligen Dreieck
- S.v. der Mittelsenkrechten
- Kongruenzsätze
Zeige α = β. Gibt es eine Idee?
Dreieck
- Scheitelwinkelsatz
- Stufenwinkelsatz (Wechselwinkelsatz)
- Kongruenzsätze
Freudigmann SS-2015
1
Nr. 22.06.2015
Beweisen lehren
Zeige Parallelität. Gibt es eine Idee?
- Stufenwinkelsatz (Wechselwinkelsatz)
- ???
Zeige gleiche Streckenverhältnisse a:b = x:y.
Gibt es eine Idee?
- ???
Freudigmann SS-2015
2
Nr. 22.06.2015
Inhalte: Ähnlichkeitsgeometrie
-
Die zentrische Streckung
Die Strahlensätze
Die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
Sinus/Kosinus/Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Der Satz des Pythagoras
Frage: Welche Begründungsbasis?
Freudigmann SS-2015
3
Nr. 22.06.2015
Zentrische Streckung
Definition:
Eine Abbildung, die jedem Punkt P einen Punk P´ zuordnet,
heißt zentrische Streckung mit dem Streckzentrum Z und
dem Streckfaktor k>0, wenn gilt:
1. P´ liegt auf der von Z ausgehenden Halbgeraden und
2. ZP´= k·ZP
P´
P
Zx
Freudigmann SS-2015
4
Nr. 22.06.2015
Zentrische Streckung
Eigenschaften der zentrischen Streckung
Satz: (ohne Beweis)
a) Das Bild einer Gerade ist eine zu ihr parallele Gerade.
b) Winkel werden auf gleich weite Winkel abgebildet.
c) Strecken werden auf Strecken der k-fachen Länge
abgebildet.
P´
P
Zx
Freudigmann SS-2015
5
Nr. 22.06.2015
Damit beweisen: Strahlensätze
h
g
u
v
Zx
y
x
Zeige: Wenn g parallel h, dann u:v = x:y
Beweis: Es gibt eine zentrische Streckung mit Zentrum
Z und Streckfaktor k, die g auf h abbildet. Dann gilt:
y+ x
u
x
k = v +v u = 1 + uv und k = y = 1 + xy , also v = y
Freudigmann SS-2015
6
Nr. 22.06.2015
Strahlensätze
g
h
g
h
u
u
v
y
xZ
Z
v
y
x
x
Satz 1:
Aus g parallel h folgt: Abschnitte auf einem Strahl
verhalten sich wie Abschnitte auf dem anderen Strahl.
Die Umkehrung von Satz 1 gilt.
Freudigmann SS-2015
7
Nr. 22.06.2015
Strahlensätze
g
u
u
v
t
s
Z
h
g
h
y
xZ
s
t
v
y
x
x
Satz 2:
Aus g parallel h folgt: Die Abschnitte auf den Parallelen
verhalten sich wie die von z aus gemessenen Abschnitte
auf einem Strahl.
Die Umkehrung von Satz 2 gilt nicht.
Freudigmann SS-2015
8
Nr. 22.06.2015
Ähnlichkeit
Definition:
Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn man die eine Figur mit
einer zentrischen Streckung so abbilden kann, dass sie zu
der anderen Figur kongruent ist.
Folgerung
In ähnliche Figuren haben
- Entsprechende Winkel die gleiche Weite
- Entsprechende Strecken das gleiche Längenverhältnis.
Freudigmann SS-2015
9
Nr. 22.06.2015
Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
(Nur der wichtigste Satz)
Satz: Wenn zwei Dreiecke drei gleiche Winkel
haben, dann sind sie ähnlich, entsprechende
Seitenverhältnisse sind also gleich.
Und die Umkehrung
Satz: Wenn bei zwei Dreiecken entsprechende
Seitenverhältnisse gleich sind, dann sind sie
ähnlich, also sind die Winkel gleich.
Freudigmann SS-2015
10
Nr. 22.06.2015
Sehnensatz
Zeige: a·b = x·y
Wie kommt man auf eine
Beweisidee?
→ Zu zeigen ist ein
Streckenverhältnis a:x = y:b
b
y
x
A
a
B
→ In Frage kommt:
Strahlensätze
Ähnliche Dreiecke
Freudigmann SS-2015
11
Nr. 22.06.2015
Sehnensatz
C
Zeige: a:x = y:b
γ
Beweis:
1. α = α* (Scheitelwinkel)
2. γ = γ* (Umfangswinkel über AB)
3. ▲AZC und ▲DZB haben gleiche
Innenwinkel (Winkelsumme)
4. ▲AZC und ▲DZB sind ähnlich
b
x
A
α Z y γ*
α*
D
a
B
(Ähnlichkeitsatz für Dreiecke)
5. a:x = y:b
(Ähnlichkeitsatz für Dreiecke)
Freudigmann SS-2015
12
Nr. 22.06.2015
S. d. Pythagoras (ca.550 v.Ch.)
C
Satz: Wenn γ = 90°, dann
a2 + b2 = c2.
Die Umkehrung gilt
ebenfalls.
90°
a
b
A
Freudigmann SS-2015
a
B
13
Nr. 22.06.2015
Satzgruppe. d. Pythagoras
Analyse:
1. Das Dreieck ABC ist
ähnlich zu
▲AHC und ▲HBC
Also:
2. Kathetensätze
b2 = p·c und a2 = q·c
C
90°
γ1 γ2
a
b
Höhe h
A
α
p
q
H
β
B
c
3. Höhenssatz
h2= p·q
4. Aus 2 folgt a2 + b2 = c2
Freudigmann SS-2015
14
Nr. 22.06.2015
Verallgemeinerung des S. d.
Pythagoras
Zeichnet man über die Seiten eine rechtwinkligen Dreiecks
ähnliche Figuren, dann ist der Flächeninhalt der Figuren
über den Katheten gleich dem Flächeninhalt der Figur
über der Hypotenuse.
Freudigmann SS-2015
15