Skript zur 20. Vorlesung vom 10.1.07

15.Magnetostatik, 16.
16. Induktionsgesetz
Ablenkung von Teilchenstrahlen im Magnetfeld (Zyklotron u.a.):
-> im Magnetfeld B werden geladene Teilchen auf einer Kreisbahn
abgelenkt, wenn B senkrecht zu Geschwindigkeit v
Kräftegleichgewicht:
FZ = FL
damit:
⇒
v 02
m ⋅
= e ⋅v0 ⋅B
R
e
v
= 0
m R ⋅B
Ablenkradius:
oder:
R=
Umlauffrequenz: ω =
e
2⋅U
= 2 2
m R ⋅B
m ⋅ v0
e⋅B
v0 e ⋅ B
=
R
m
(Zyklotronfrequenz)
Versuch: Fadenstrahlröhre (Elektronen)
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15.Magnetostatik, 16.
16. Induktionsgesetz
Materie im Magnetfeld:
In Analogie zur elektrischen Polarisation gibt
es im magnetischen Feld die Magnetisierung M
von Materie:
r
r B
r
H=
−M
µ0
Beispiel: stromdurchflossene Spule
(Strom I, N Windungen, Länge L)
im Vakuum:
im Medium:
B = µ0 ⋅ I ⋅ N/L
B = µ0µr .I. N/L
µr = Permeabilitätszahl:
Diamagnetisches Medium:
Paramagnetisches Medium:
Ferromagnetisches Medium:
(typisch:
µr < 1
µr > 1
µr >> 1
µr ~ 2000)
Kreisströme werden induziert,
die sich im Inneren aufheben.
Übrig bleibt nur ein
Oberflächenstrom.
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15.Magnetostatik, 16.
16. Induktionsgesetz
Diamagnetismus (µ
µr<1):
Materialien ohne permanente magnet. Dipole
Bringt man Materie in Magnetfelder, so werden immer mikroskopische
Kreisströme induziert, die ihrer Ursache entgegenwirken
(Lenz’sche Regel)
Beispiel: Wasser, Wismut
Die Materie wird in einem inhomo- Frosch schwebt im Supraleiter: idealer
genen Magnetfeld abgestoßen:
B-Feld (B=20T)
Diamagnet
In allen Substanzen (schwach)
vorhanden, oft überdeckt.
Paramagnetismus (µ
µr>1):
Existieren in der Materie bereits atomare magnetische Dipole, so
werden diese ausgerichtet und ein resultierendes magnet. Dipolmoment
erzeugt. In einem inhomogenen Magnetfeld erfolgt Anziehung in Bereich
größerer Feldstärke:
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15.Magnetostatik, 16.
16. Induktionsgesetz
Ferromagnetismus (µ
µr>>1):
Typisch bei z.B. bei Fe, Ni
Durch Ausrichtung von permanenten magnet.
Dipolen entstehen Bereiche mit starken
result. Dipolmomenten (Weißsche Bezirke)
Äußeres Feld kann diese Bezirke ausrichten
(Barkhausen-Effekt) und starke Magnetisierung
bewirken.
Die Permeabilität von Eisen ist keine Konstante,
sondern hängt stark vom Magnetfeld ab.
Bei Eisen ist der Zusammenhang von der
Feldstärke H und Flußdichte B
stark nichtlinear und zeigt eine Hysterese.
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16. Induktionsgesetz
Elektrostatik
(zeitlich konstante Felder)
Coulombkraft
Lorentzkraft
bewegte Ladungen
-> elektr. Ströme I=dQ/dt
E~Q
elektr. Felder
E(t), B(t)
ruhende Ladung(en) Q
-> elektr. Potentiale
Spannungen U
Elektrodynamik
(zeitlich veränderliche Felder)
magnet. Felder
B~I
16. Induktionsgesetz (Faraday 1831):
zeitlich veränderliche Magnetfelder erzeugen zirkulare
elektr. Felder (geschlossene Feldlinien ohne Quellen).
In Materie führen diese zu Kreisströmen bzw. durch
Verschiebung der Ladungsträger zu elektr. Spannungen.
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15.Magnetostatik, 16.
16. Induktionsgesetz
1. Beobachtung zur Induktion
• Wird im Bereich einer offenen Leiterschleife ein Magnet bewegt, so tritt
zwischen den Enden der Schleife eine ‘Induktionsspannung’ auf
• Alternativ kann der Strom in einer Spule variiert werden (B-Änderung)
• Deren Vorzeichen wird durch die Bewegungsrichtung bestimmt.
Induktionsspannung
U(t) ~ dB/dt
konsistent mit der Erzeugung eines
zirkularen elektr. Feldes bzw. Stroms,
falls Leiter geschlossen
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15.Magnetostatik, 16.
16. Induktionsgesetz
2. Beobachtung zur Induktion
• Wird die Fläche A einer solchen Leiterschleife in einem Magnetfeld
verändert (durch echtes Verkleinern = Zusammenziehen der
Drahtschleife oder durch seitl. Herausziehen), so wird ebenfalls eine
Induktionsspannung gemessen.
A(t) = x(t)· b
U(t)
Induktionsspannung
U(t) ~ dA/dt
Beobachtung 1. und 2. ergibt
U(t) ~ d/dt (B·A)
Das Produkt aus B-Feld und durchflossener
Fläche heißt magnetischer Fluss Φ
Φ = B·A
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16. Induktionsgesetz
3. Beobachtung zur Induktion (Faraday)
•Es tritt auch eine Induktionsspannung auf, wenn die Drahtschleife im
Magnetfeld gedreht wird (ihre Fläche bleibt dabei unverändert, aber
ihre Projektion senkrecht zum Feld ändert sich)
α
-> magnetischer Fluss
ist ein Skalarprodukt
r r
φ = ( B ⋅ A) = ( B ⋅ A ⋅ cos(α ))
Faradaysches Induktionsgesetz:
U (t ) = −
dφ
d
= − ( B ⋅ A ⋅ cos(α ))
dt
dt
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16. Induktionsgesetz
4. Beobachtungen zur Induktion (Lenz’sche Regel)
Achtung: das Vorzeichen der induzierten Spannung ist negativ !
Bewegter Magnet
Der Aufbau des Schleifenstroms kostet Energie,
also muß beim Bewegen des Magneten Arbeit
geleistet werden (Energieerhaltung)
Induzierter Ringstrom
Entgegengesetztes (abstoßendes) B-Feld
Lenz’sche Regel: das durch den in einem Leiter
induzierten Strom erzeugte Magnetfeld ist so
gerichtet, dass es seiner Ursache entgegenwirkt.
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>0
15.Magnetostatik, 16.
16. Induktionsgesetz
Erklärung des Diamagnetismus
(µr<1)
Beispiel: Wasser, Wismut
Beobachtung: Einige Materialien werden im inhomogenen B-Feld abgestoßen
Lenz’sche Regel: Bringt man Materie in Magnetfelder, so werden immer
mikroskopische Kreisströme induziert, die ihrer Ursache entgegenwirken
Der Effekt ist nur sichtbar, wenn keine para- oder ferromagnetischen Effekte
auftreten (sonst Anziehung durch Ausrichtung atomarer magnetischer Dipole)
Frosch schwebt im B-Feld (B=20T)
Supraleiter: idealer Diamagnet
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15.Magnetostatik, 16.
16. Induktionsgesetz
Selbstinduktion einer langen Spule (Lenz’sche Regel)
In einer Spule bewirkt eine Änderung des primären Stroms eine Änderung
des magnetischen Flusses in der Spule und damit eine induzierte Spannung,
die der primären Spannung entgegengesetzt ist - Sie können also eine
Spule nicht einfach abschalten
Induktionsgesetz für Spule
(Selbstinduktion)
Induktivität L der Spule
Einheit [L] = Henry (1H=1Vs/A)
Uind
Gespeicherte Energie
W=
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1
2
LI
2
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16. Induktionsgesetz
Erzeugung von Wechselspannungen (Dynamo)
Eine Leiterschleife rotiert mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω
in einem homogenen Magnetfeld B
Anwendung des Induktionsgesetzes
U ind (t ) = −
d
( B ⋅ A ⋅ cos( ω t )) = B ⋅ A ⋅ ω ⋅ sin( ω t ) = U 0 ⋅ sin( ω t )
dt
Resultat also eine sinusförmige Wechselspannung U0· sin(ωt)
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