I)1. Kinematik Kinematik

I)1. Kinematik
I) Mechanik
1.Kinematik (Bewegung)
2. Dynamik von Massenpunkten (Einfluss von Kräften)
3. Starre Körper
4.Deformierbare Medien
5. Schwingungen, Wellen, Akustik
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I)1. Kinematik
I)1. Kinematik = Bewegungslehre
(Ziel: Quantitative Beschreibung der Bewegung von Objekten im Raum-Zeit)
Beschreibung benötigt:
a) ein Bezugssystem für 3-dim. Raum und Maß für Länge
b) ein Bezugssystem für Zeit (Uhr) und Maß für Zeit
Länge und Zeit sind Basisgrößen. Zugehörige Basiseinheiten sind die
Sekunde (s) und der Meter (m) (Maß für Länge und Zeit)
1s = das Zeitintervall, in dem die Cäsium-Atomuhr 9192631770 mal schwingt
1m = Strecke, die Licht im Vakuum in (1/299792458) s zurücklegt
Beispiel für Raumbezugssystem:
rechtwinklig
rechtshändig
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I)1. Kinematik
Zunächst betrachten wir:
Bewegung von (Massen)-Punkten
Die klassische* Beschreibung der Bewegung von (Massen-) Punkten
nimmt an:
Für jeden Zeitpunkt t befindet sich der Massenpunkt an einem
eindeutigen Ort im Raum.
Ort beschrieben durch Ortsvektor:
r
r ( t ) = ( x ( t ), y( t ), z( t ))
wobei x(t), y(t) und z(t) die drei Ortskoordinaten im gegebenen dreidimensionalen Raumbezugssystem sind.
*Bei der quantenmechanischen Beschreibung der Bewegung von mikroskopischen Teilchen
gilt diese Annahme nicht.
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I)1. Kinematik
Wichtiger Grundbegriff der Kinematik: Geschwindigkeit v,
beschreibt die zeitliche Änderung des Orts;
v ist eine abgeleitete physikalische Größe. Definition:
x 2 − x1
v12 =
t 2 − t1
oder
v=
v=0
∆x
∆t
wobei x1= x(t1) usw. und obige Definition die
Bewegung eines Punkts in einer Dimension (x),
z.B. entlang einer (Luftkissen)-Schiene, beschreibt.
Gleichförmige Bewegung:
der Punkt bewegt sich mit konstanter
Geschwindigkeit v (hier mit v1 > v2)
Beschleunigte Bewegung:
Die Geschwindigkeit verändert sich mit der
Zeit ( Abbremsung oder Beschleunigung )
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I)1. Kinematik
Zeitliche Änderung des Orts -> Geschwindigkeit
v=0
Experimente werden reibungsfrei
auf Luftkissenschiene realisiert
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I)1. Kinematik
Durchschnittsgeschwindigkeit für große Intervalle
∆t :
∆x
v=
∆t
∆t → 0 :
Momentangeschwindigkeit v(t) ergibt sich aus dem Grenzwert
v( t ) =
(Differentialquotient oder Ableitung)
dx
dt
Umgekehrt erfordert die Berechnung der zurückgelegten Strecke,
bei gegebner Geschwindigkeit v(t) eine Integration von v(t)
∆x = ∑ v i ⋅ (∆t ) i
i
für ( ∆t ) i → 0
t2
ist
∆x = ∫ vdt
t1
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I)1. Kinematik
∆v v 2 − v1
dv
=
→
∆t
t 2 − t1
dt
Integrieren führt (bei konstanter
Beschleunigung ) zu einer linearen
Zunahme der Geschwindigkeit und
einer quadratischen Zunahme der
Position.
Ableiten
a=
Integrieren
Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit
-> Beschleunigung a (acceleration)
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I)1. Kinematik
Bei konstanter Beschleunigung
a=
∆v
= constans gilt:
∆t
Geschwindigkeitsänderung in der Zeit ∆t:
∆v = a ∆t
Wenn die Geschwindigkeit zur Zeit t=0 den Wert v0 hatte, dann ist sie
nach der Zeit t:
v = a t + v0
Durchschnittsgeschwindigkeit ist:
vmittel = 1/2(vmin +vmax) = 1/2 a t + v0
In Zeit t zurückgelegter Weg:
∆x = vmittel t = 1/2 a t2 + v0 t
Ort zur Zeit
x = ∆x +x0
t:
Dabei ist v0 die Anfangsgeschwindigkeit
x0 der Anfangsort
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I)1. Kinematik
Beispiel: Freier Fall
(konstante Erdbeschleunigung
a = -g = -9.81 m/s2 ~ -10 m/s2 )
v(t) = -g t
x(t) = -½ g t 2 + x0
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I)1. Kinematik
Situation für nicht-konstante
Beschleunigung am Beispiel
eines losfahrenden, fahrenden
und abbremsenden Aufzugs:
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I)1. Kinematik
Beschleunigte Bewegung (zweidimensional)
-> horizontaler Wurf
Beschleunigung wirkt nur in einer (y) Richtung
Zerlegung der Bewegung in eine
- gleichförmige horizontale (x)
- beschleunigte senkrechte (y)
Komponente.
Beide überlagern sich ungestört,
verbunden über die Zeit (t)
x = vx0 t
y = -½ g t2 + y0
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