9. Vorlesung EP I. Mechanik 6. Hydro
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9. Vorlesung EP I. Mechanik 6. Hydro- und Aerodynamik (Bernoulli-Gleichung, Viskosität) Versuche: Bernoulli (Druckänderung bei Änderung des Rohrdurchmessers) Abdecken eines Hauses turbulente und laminare Strömungen Magnuseffekt in Wasser Blutdruckmessung EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler 6. HydroHydro- und Aerodynamik Hydro- und Aerodynamik: (Strömung von Fluiden, also flüssigen und gasförmigen Substanzen) blaue Linien • Bahnen von Partikeln der Flüssigkeit • Dichte der Linien ist ein Maß für die Geschwindigkeit •Strömungsfeld charakterisiert durch Geschwindigkeitsverteilung im Raum •stationär = nicht zeitabhängig • (zunächst ohne Reibung, Viskosität) EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Volumenstrom und Kontinuitätsgleichung: Teilchen- oder Massenstrom J J = ∆M ∆t = ρ ⋅ ∆V ∆t Volumenstrom durch eine Fläche A I = ∆V ∆t = A ⋅ v = const. Kontinuitätsgleichung (für inkompressibles, ideales Fluid) → V1/V2 = A2/A1 Die Strömungsgeschwindigkeit nimmt an einer Engstelle zu, Ursache der Beschleunigung ? EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Energiebilanz an der Engstelle: Beschleunigung ← Kraft auf Strecke (Arbeit) ← Druckdifferenz (p2 > p1) Aus Kin. Energie + Stempelarbeit = const. folgt (ρ ⋅ v 2 2) + p = const = Gesamtdruc k Bernoulli Gleichung Staudruck (dynamischer Druck) + Stempeldruck (statischer Druck) = const. Ändert sich außer dem Rohrdurchmesser auch noch die Höhe h über dem Boden (ansteigendes oder abfallendes Rohr), so muß zusätzlich der Schweredruck berücksichtigt werden: (ρ ⋅ gh ) + (ρ ⋅ v 2 2) + p = const. EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Herleitung der Bernoulli-Gleichung Ekin= ½ ∆M ·v1² < ½ ∆M ·v2² , weil wegen der Kontinuitätsgleichung v1/v2 = A2 /A1. Energie-Erhaltung: ½ ∆M ·v2² - ½ ∆M ·v1² = Arbeit durch Druck 1444442444443 F1· ∆x1 – F2· ∆x2 =p1·A1· ∆x1 – p2·A2·∆x2=p1·∆V – p2·∆V ½ ∆M ·v²2 + p2·∆V = ½ ∆M·v²1+p1·∆V = const. (d.h. überall). Geteilt durch ∆V: ρ ⋅ v 2 + p = const. 2 EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Hydrodynamisches Paradoxon: In Bereichen mit hoher Strömungsgeschwindigkeit herrscht ein reduzierter statischer Druck Bunsenbrenner Haus im Sturm Innendruck > stat. Druck oben Zerstäuber Tragfläche EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Weitere Beispiele für die Verringerung des statischen Drucks in Regionen hoher Geschwindigkeit: Die Gebiete zusammengedrängter Stromlinien (Unterdruck) ziehen An den Seiten der Scheibe (→Drehmoment im mittleren Bild) Beispiel: fallende Blätter EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler „Magnus-Effekt“ bei Umströmung eines rotierenden Körpers Wegen der Adhäsion an der Kugeloberfläche führt die Kugel eine Wasserschicht mit sich herum. Dadurch ist die Geschwindigkeit des Wassers rechts größer als links. Der gleiche Effekt tritt bei rotierenden Bällen in Luft auf. EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Strömung viskoser Flüssigkeiten und Gase Kohäsionskräfte behindern die Bewegung der Teilchen in einem Fluid (→innere Reibung). Wir betrachten zunächst laminare Strömung. Flüssigkeitsschichten gleiten aneinander vorbei und üben eine Schubspannung auf die benachbarten Schichten aus. Ist die Adhäsion zur Wand größer als die Kohäsion, so haftet die an die Wand angrenzende Schicht (v=0). Andernfalls bewegt sie sich reibend an der Wand (→äußere Reibung). Die innere Reibungskraft ist proportional zum GeschwindigkeitsGradienten ∆v/∆z: Reibungskraft FR = −η ⋅ A ⋅ ∆v ∆z Materialkonstante η =„Viskosität“ EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler η in [Pa · s] (Pascalsekunde) = Ns m2 Zahlenwerte für η bei 20°C in Einheiten [Pa · s]: Stoff Öl Wasser Luft Blut η ~1 10-3 2·10-5 4,4·10-3 Flüssigkeiten mit η unabhängig von ∆v/∆ ∆z heißen Newtonsche Flüssigkeiten. Blut ist eine nicht-Newtonsche Flüssigkeit (oben ist der Mittelwert seiner Viskosität eingetragen). Druck FR/A ist nötig, um konstanten Volumenstrom I z.B. durch ein Rohr zu erreichen. Für Newtonsche Flüssigkeiten und laminare Stoffe (unverwirbelt) gilt ∆ p = Rs I p1 p2 Mit ∆p = p1-p2, Rs=Konstante=Strömungswiderstand, I = ∆V/∆ ∆t Damit ergibt sich ein Druckgefälle beim Durchströmen eines Rohrsystems: EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Bei gleichmäßiger Strömung muss die Reibungskraft durch eine Druckdifferenz ausgeglichen werden. Es folgt ein linearer Druckabfall im Rohr: I = ∆V/∆ ∆t = 1 ∆p Rs Bei hohen Geschwindigkeiten v> vk geht die laminare Strömung in eine turbulente über vk≈ 1000 η/ρr mit r = Rohrradius. Rs steigt dramatisch (etwa prop. v2) EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Kugelfallviskosimeter: Stokes’sche Reibung bremst ~ η r v Schwerkraft (-Auftrieb) beschleunigt ~ ρ r3 Konstante Sinkgeschwindigkeit, wenn beide Kräfte sich kompensieren ist proportional zum Quadrat des Radius h Medizin: Messung der Blutsenkung (Sinkgeschwindigkeit der im Blutplasma suspendierten roten Blutkörperchen), durch Agglomeration bei Infektionen reduziert alternative Meßmethoden: Kapillarviskosimeter (s. nächste Seite), Rotationsviskosimeter EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Strömung nach Hagen-Poiseuille Strömt ein viskoses Fluid durch ein Rohr (Ader), so bildet sich eine parabolische Geschwindigkeitsverteilung aus u(r) ~ (R-r)2 d.h. Strömungswiderstand RS = (8ηL/πR4) Der gesamte Volumenstrom ist •proportional zur Druckdifferenz •umgekehrt prop. zur Viskosität •und umgekehrt proportional zur Rohrlänge •prop. zur vierten Potenz des Radius EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Folgen der R4 Abhängigkeit des Volumenstroms Bei Verengung des Rohrs entweder starke Stromreduzierung oder zur Kompensation starke Druckerhöhung notwendig ... EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Blutkreislauf •Blutkreislauf ist parallel angelegt, Lunge und Körper aber in Serie •Gesamtquerschnittsfläche der Kapillaren ist ca. 1000-fach größer als in der Aorta, also die Geschwindigkeit entsprechen kleiner Druck Querschnitt •Druckabfall erfolgt in den Kapillaren mit kleinem Radius mittlere Geschwindigkeit Arterien Kapillaren Venen EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler •Druckabfall erfolgt in den Kapillaren mit kleinem Radius •um Hagen Poiseuille zu entschärfen, reduziert sich die Viskosität des Bluts in den Kapillaren (Fahraeus-Lindquist Effekt) Arterien, Venen Kapillaren Ordnung der roten Blutkörperchen reduziert Strömungswiderstand ~ dv dz = Druck Rote Blutkörperchen in einer Glaskapillare von 10 µm Durchmesser EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Bemerkung zum Blutkreislauf beim Menschen Typische Drucke im Blutkreislauf: im Lungenkreislauf p = 10 bis 20 Torr im Körperkreislauf p = 70 bis 140 Torr Blutvolumen gepumpt: ca. 5 Liter/Minute Aortadurchmesser ca. 2,5 cm. Gesamtquerschnitt der verzweigten Blutgefäße (Kapillaren) entspricht dem Tausendfachen des Querschnitts in der Aorta. Deshalb ist die Geschwindigkeit in den Kapillaren ein Tausendstel der Geschwindigkeit in der Aorta (Kontinuitätsgleichung). Die Geschwindigkeit in den Kapillaren ist 0,3 mm/sek. Kleiner Radius in den Kapillaren ergibt sehr hohen Widerstand, d.h. der Druckabfall erfolgt im Wesentlichen in den dünnen Blutgefäßen. Blutverteilung im Körper kann über die Radiusänderung der Adern gesteuert werden. Beim gesunden Körper ist die Blutströmung im allgemeinen laminar (Ausnahme Herzklappen). Beim kranken Körper werden durch Ablagerungen an den Blutgefäßen turbulente Strömungen auftreten, die hörbar werden. Im Körperkreislauf variiert der Blutdruck zwischen der Systole (Kontraktion des Herzens) mit ca. 140 Torr und der Diastole mit 80 Torr (Rückbewegung im Herzen). Die Aorta ist elastisch und gleicht Druckschwankungen, die von der Pumpe Herz erzeugt werden, aus. EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler Blutdruckmessung •Druck in einer großen Arterie ist etwa gleich dem in der Aorta •Abdrücken des Blutflusses mit Manschette bis kein Puls mehr spürbar •Druckablassen bis Turbulenzgeräusche hörbar (systolischer Druck) •Ablassen bis Turbulenzgeräusche verschwinden, das Blut zirkuliert jetzt laminar (diastolischer Druck) EPI WS 2007/08 Dünnweber/Faessler
