6. Vorlesung EP

6. Vorlesung EP
I)
Mechanik
1. Kinematik
2. Dynamik
3. a) Arbeit
b) Energie (Fortsetzung)
c) Stöße
4. Starre Körper
a) Drehmoment
Versuche:
Hüpfende Stahlkugel
Verkürztes Pendel
Impulsausbreitung in Kugelkette
elastische und inelastische Stöße auf Luftschiene
Drehmoment (Scheibe mit Gewichten)
Abrollende Garnrolle
Rotierender fliegender Trommelstock
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3c) Energie
6. Vorlesung
Energie-Erhaltungssatz
Eines der wichtigsten Naturgesetze
Die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems ist erhalten, also zeitlich konstant.
Energie kann nur von einer Form in eine andere verwandelt werden – kann nicht
vernichtet oder erzeugt werden.
Falls Energieverlust durch Reibung und ähnliche Prozesse vernachlässigt werden kann,
also nur konservative Kräfte wirken, gilt für ein abgeschlossenes System der Energiesatz der Mechanik:
Eges = ΣE poti + ΣE kini = konst
Folgt aus Newtonschen Axiomen für die Mechanik, gilt aber allgemein
für die ganze Physik:
Eges = ∑Epot + ∑Ekin + ∑EWärme + ∑Eelektr. + ∑Echem. …. (+ ∑mc² )
Der von Einstein beigesteuerte Term (in Klammern) ist im Rahmen
unserer Versuche vernachlässigbar.
Wenn Arbeit W von außen geleistet wird:
W = ∆Egesamt = ∆Epot + ∆Ekin + …
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Konservative Kräfte
F
r r
Arbeit (∑ Fi ⋅ si ) auf dem Weg A = Arbeit auf dem Weg B
Gilt für Gravitationskraft, elektr. Kraft, aber nicht für Reibungskraft.
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Energiesatz
Beispiele für den Energie-Erhaltungssatz:
E = Epot + Ekin
oben: E = Epot = m· g· h , Ekin = 0
unten: E = Ekin = ½mv² , Epot = 0
dazwischen (h’): E = m· g· h’ + ½mv’²
Energien wie links
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3.Arbeit, Energie,
Energie, Stöß
Stöße
öße
Der Wichtigkeit wegen noch einmal der
Energie-Erhaltungssatz:
Energie kann nur von einer Form in eine andere verwandelt werden,
sie kann nicht vernichtet oder erzeugt werden.
Falls Energieverlust durch Reibung oder ähnliche Prozesse
vernachlässigt werden kann, gilt für ein abgeschlossenes System
der Energiesatz der Mechanik:
E ges = E pot + E kin = const.
Neben der potentiellen, kinetischen oder elastischen Energie gibt
es weitere Formen:
Wärmeenergie, elektrische Energie, Strahlungsenergie
Der Energie-Erhaltungssatz gilt ganz allgemein für jede Energieform:
Die Summe aller Energien in einem abgeschlossenen System
ist konstant
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Leistung
Die Leistung bestimmt, wie schnell Energie von einem System auf
ein anderes übertragen wird:
Leistung = Arbeit (Energie) / Zeit
P=
∆W
∆t
r r
r
r
dW
ds
P=
=F⋅
= F ⋅v
dt
dt
mittlere Leistung im (endlichen)
Zeitintervall ∆t (Differenzenquotient)
momentane Leistung (infinitesimales
Zeitintervall dt, Differentialquotient)
Masseinheit: [P] = [W] / [t] = 1 Newton.Meter/Sekunde
Menschliche Leistungen: mit Ergometer gemessen; gesunde Personen:
75 W ganztägig, 150 W ca. 5 Stunden, 250 W ca. 35 min.
750 W ca. 1 min , 1500 W ca. 6 sec.
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3c) Stöß
Stöße
öße
als Beispiel für Energie- und Impulserhaltung
r
r
Erinnerung: Impuls p = m · v (vektoriell p = m ⋅ v )
bleibt erhalten, wenn keine äußere Kraft wirkt.
Folgt aus Newton II:
r
r
r
r
r
r
dv dp
F = m⋅a = m⋅
=
→ p konstant für F = 0
dt dt
Impulssatz für ein System aus mehreren Körpern:
r
r
r
r
p gesamt = m1v1 + m 2 v 2 + m 3 v 3 + .... = const.,
wenn die Summe der äußeren Kräfte Null ist
(„abgeschlossenes System“)
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Impuls/Energie
Stoß mit Kugeln:
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Stöß
Stöße
öße
Anwendung des Energie- und des Impulssatzes:
Stossgesetze
vorher:
nachher:
Impulssatz:
r
r
r
r
m1v1 + m 2 v 2 = m1u1 + m 2 u 2
Energiesatz:
1
1
1
1
m1v12 + m 2 v 22 = m1u12 + m 2 u 22 + ∆W
2
2
2
2
Elastischer Stoss:
Unelastischer Stoss:
∆W = 0
∆W ≠ 0
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Stöß
Stöße
öße
zentraler elastischer Stoß auf ruhenden Körper:
Impulssatz:
m1v1 = m1u1 + m 2 u 2
1
1
1
2
2
2
mv
=
m
u
+
m
u
Energiesatz:
1
1 1
2 2
2
2
2
2m1v1
v (m − m 2 )
u1 = 1 1
, u2 =
m1 + m 2
m1 + m 2
Beispiele:
m1 = m2 → u1 = 0 , u2 = v1
m1 << m2 → u1≈ - v1 , u2≈ 0
m1>> m2 → u1≈ v1 , u2 ≈ 2v1
-max. Energieübertrag
-max. Impulsübertrag
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Beispiel für m1<<m2:
Elastischer Stoß gegen Mauer
v1
m1
V1‘
m1
v1 = - v1‘
Energie vorher
1
1
mv12 = m(− v1' ) 2
2
2
nachher
Impulssatz scheinbar verletzt
Für abgeschlossenes System muß Mauer einbezogen werden
1
2
Mv 'Mauer
M sehr groß! vMauer sehr klein!
sehr klein
2
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Stöß
Stöße
öße
Beispiel: -
unelastischer Stoß
gleiche Massen: m1 = m2 = m
m2 ruht vor Stoß: v2=0
aber: Klebewachs an beiden Wagen
vor Stoß: v2=0, v1=v
nach Stoß: beide mit u1=u2=u
v
m1v = m1u + m 2 u = (m1 + m 2 )u ⇒ u =
2
1
1
1
Energiesatz: 1
m1v 2 = m1u 2 + m 2 u 2 + ∆W ⇒ ∆W = mv 2
4
2
2
2
Impulssatz:
(½ kinet. Energie umgewandelt)
Beim unelastischen Stoß wird kinetische Energie in Wärme, Verformungsenergie (Beispiel: Autokollision), Anregungsenergie oder
andere Energieformen umgewandelt.
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II 4.) Starrer Körper
Bisher: Verschiebung von Massenpunkten oder Massenzentren
(Schwerpunkt) von Körpern.
Jetzt:
ausgedehnter starrer Körper. Starr bedeutet, die Lage der einzelnen
Teile zueinander ändert sich nicht.
Die Bewegung wird zerlegt in die Schwerpunktbewegung (für die alles in den
bisherigen Kapiteln Gesagte gilt) und eine Drehung.
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a) Drehmoment
Drehmoment:
Drehmoment = Kraft . Hebelarm
Hebelarm: zur Kraft senkrechter Abstand
zum Drehpunkt
Betrag:
r r
M = r ⋅ F ⋅ sin(r , F )
Allgemeine Definition:
r r r
M =r ×F
‘r kreuz F’ : Vektorprodukt
- Vektor, senkrecht auf r, F
- in Richtung einer Rechtsschraube (rechte Hand)
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Starre Körper
Wird ein System im Schwerpunkt
unterstützt, so ruht es.
Die Summe der Drehmomente ist
Null.
Schwerpunkt (Massenmittelpunkt):
r
m
r
∑ ii
r
rsp =
∑ mi
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Drehmoment
Bsp.: menschl. Arm als einarmiger Hebel
Nachteil:
kurzer effektiver Hebelarm
Beugewinkel > 90o:
zum Halten der gleichen
Masse ist größere
Bizepskraft erforderlich
senkrecht
nicht senkrecht
angreifende Kraft
angreifende Kraft
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Drehmoment
Ein Körper ändert seinen Rotationszustand nicht, wenn die
Summe aller Drehmomente Null ist.
Bsp.: Wippe, Balkenwaage
Hebelgesetz: Damit ein Hebel im
Gleichgewicht ist, muss die
Summe der linksdrehenden
gleich der Summe der
rechtsdrehenden Drehmomente sein.
F1
l2
Beweis: Für F ≠ l wäre Drehbeschleunigung
2
1
links ≠ -Drehbeschleunigung rechts.
F1 ∗ l1 = F2 ∗ l 2
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Schwerpunkt
Experimentelle Bestimmung des Schwerpunkts:
2 Drehachsen A,B
Fg
Der Körper kommt nur zur Ruhe, wenn
an SP angreifende Gewichtskraft kein
Drehmoment mehr ausübt.
(Kraft und Hebelarm sind parallel)
Schwerpunkt fällt, wenn er nicht über der
Unterstützungsfläche liegt
r
r
Ist rs = Abstandsvektor vom Drehpunkt zum Schwerpunkt und Fs
die Summe
Kräfte auf einen Körper, so ist das Gesamtdrehr aller
r r
moment M = rs x Fs .
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Schwerpunkt
Schwerpunktsatz:
Der Schwerpunkt eines Körpers bewegt
sich so, als ob die gesamte Masse dort vereinigt
wäre und die Summe aller äußeren Kräfte dort
angreifen würde.
Der Schwerpunktsbewegung kann noch eine Rotation
überlagert sein, wobei jedoch nur Drehachsen durch
den Schwerpunkt möglich sind.
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