6. Vorlesung EP

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6.Vorlesung
6. Vorlesung EP
I)
Mechanik
1. Kinematik
2. Dynamik
3. a) Arbeit
b) Energie (Fortsetzung): Energie- und Impulserhaltung
c) Stöße
4. Starre Körper
a) Drehmoment
b) Schwerpunkt
Versuche:
Hüpfende Stahlkugel
Verkürztes Pendel
Impulsausbreitung in Kugelkette
elastische und inelastische Stöße auf Luftschiene
Drehmoment (Scheibe mit Gewichten)
Abrollende Garnrolle
Rotierender fliegender Trommelstock
EP WS 2009/09 Dünnweber/Faessler
3b) Energie
6. Vorlesung
Energie-Erhaltungssatz
(Zusammen mit Impuls-Erhaltungssatz eines der wichtigsten Naturgesetze)
Die Gesamtenergie, d.h. die Summe aller potentiellen und kinetischen
Energien eines abgeschlossenen Systems, ist erhalten, d.h. zeitlich konstant.
Energie kann nur verwandelt oder ausgetauscht – nicht vernichtet oder
erzeugt werden.
E ges = ΣE pot i + ΣE kini + (Σmc i ) = const.
2
Folgt aus Newtonschen Axiomen zunächst für die Mechanik, gilt aber allgemein
für die ganze Physik. Der von Einstein beigesteuerte Massenterm (in Klammern)
ist im Rahmen unserer Versuche konstant.
Später lernen Sie andere potentielle und kinetische Energieformen kennen,
Wärmeenergie, elektrische Energie, chemische Energie, Strahlungsenergie,…
Wenn Arbeit W von außen am System geleistet wird, ändert sich die
Gesamtenergie:
W =
∆Egesamt
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Energieerhaltungssatzsatz
Beispiele für den Energie-Erhaltungssatz:
E = Epot + Ekin
oben: E = Epot = m— g— h , Ekin = 0
unten: E = Ekin = ½mv² , Epot = 0
dazwischen (h’): E = m— g— h’ + ½mv’²
Versuch Stahlkugel
Energien wie links
Versuch Fadenpendel
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Impulserhaltungssatz
Impuls-Erhaltungssatz
Impulserhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System, d.h. ohne äußere Kräfte
ändert sich der Gesamtimpuls nicht!
r
p ges =
n
∑
i =1
v
pi =
n
∑
i =1
r
m i v i = const
Dieser Satz folgt ebenfalls aus Newtons Prinzipien, wenn die Summe der
äusseren Kräfte = 0 ist:
r
r
∆Σ (m i ⋅ v i )
Σ Fj =
=0
∆t
Siehe Versuche Anfang der 4. Vorlesung zur Impulserhaltung,
bzw. zum 2. und 3. Newtonschen Axiom. Heute: →Versuch Kugelkette
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3c) Stöß
Stöße
öße
Anwendung des Energie- und Impulssatzes:
3c) Stoßgesetze
vorher:
nachher:
Hier die Formeln für 2
2
Impulssatz:
r
r
r
r
m1v1 + m 2 v 2 = m1u1 + m 2 u 2
Energiesatz:
1
1
1
1
m1v12 + m 2 v 22 = m1u12 + m 2 u 22 + ∆W
2
2
2
2
Elastischer Stoss:
Unelastischer Stoss:
∆W = 0
∆W ≠ 0
Dabei ist ∆W der Teil der
Anfangs-Energie,
der z.B. zur Erwärmung
oder Verformung der
stoßenden Körper
führt
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Beispiel für m1<<m2:
Elastischer Stoß gegen Mauer
v1
m1
V1‘
m1
v1 = - v1‘
Energie vorher
1
1
mv12 = m(− v1' ) 2
2
2
nachher
Impulssatz nur scheinbar verletzt, Mauer rührt sich nicht.
Für abgeschlossenes System muß Mauer und Erde einbezogen
werden
1
2
M sehr groß! vMauer sehr klein!
sehr klein
Mv 'Mauer
2
Versuch Hartgummiball +Erde
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Stöß
Stöße
öße
zentraler elastischer Stoß auf ruhenden Körper (Billiard):
Impulssatz:
m1v1 = m1u1 + m 2 u 2
1
1
1
2
2
2
mv
=
m
u
+
m
u
Energiesatz:
1
1 1
2 2
2
2
2
2m1v1
v (m − m 2 )
u1 = 1 1
, u2 =
m1 + m 2
m1 + m 2
Beispiele:
m1 = m2 → u1 = 0 , u2 = v1
m1 << m2 → u1≈ - v1 , u2≈ 0
m1>> m2 → u1≈ v1 , u2 ≈ 2v1
-max. Energieübertrag
-max. Impulsübertrag
Versuche auf Luftschiene zum elastischen und inelastischen Stoss
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Stöß
Stöße
öße
Beispiel für unelastischen Stoß (Autounfall u dgl)
Beispiel: Impulssatz:
Energiesatz:
gleiche Massen: m1 = m2 = m
m2 ruht vor Stoß: v2=0
aber: Klebewachs an beiden Wagen
vor Stoß: v2=0, v1=v
nach Stoß: beide mit u1=u2=u
v
m1v = m1u + m 2 u = (m1 + m 2 )u ⇒ u =
2
1
1
1
1
2
2
2
⇒
∆W
=
mv 2
m1v = m1u + m 2 u + ∆W
4
2
2
2
(½ kinet. Energie umgewandelt)
Beim unelastischen Stoß wird kinetische Energie in Wärme, Verformungsenergie (Beispiel: Autokollision), Anregungsenergie oder
andere Energieformen umgewandelt.
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I) Mechanik
4.) Starre Körper
Bisher: Verschiebung von Massenpunkten oder Massenzentren
(Schwerpunkt) von Körpern.
Jetzt:
ausgedehnter starrer Körper. Starr bedeutet, die Lage der einzelnen
Teile zueinander ändert sich nicht.
Die Bewegung wird zerlegt in die Schwerpunktbewegung (für die alles in den
bisherigen Kapiteln Gesagte gilt) und eine Drehung.
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a) Drehmoment
a) Drehmoment:
Drehmoment = Kraft . Hebelarm
Hebelarm: zur Kraft senkrechter Abstand
zum Drehpunkt
Betrag:
r r
M = r ⋅ F ⋅ sin(r , F )
Versuch Scheibe mit Gewichten
Drehmoment ist Vektor, senkrecht
auf r und auf F in Richtung einer
Rechtsschraube (rechte Hand)
(Für Mathefreaks:
r r r
M =r×F
Vektorprodukt rxF )
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Drehmoment
Bsp.: menschl. Arm als einarmiger Hebel
Nachteil:
kurzer effektiver Hebelarm
Beugewinkel > 90o:
zum Halten der gleichen
Masse ist größere
Bizepskraft erforderlich
senkrecht
nicht senkrecht
angreifende Kraft
angreifende Kraft
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Drehmoment
Ein Körper ändert seinen Rotationszustand nicht, wenn die
Summe aller Drehmomente Null ist.
Bsp.: Wippe, Balkenwaage
Hebelgesetz: Damit ein Hebel im
Gleichgewicht ist, muss die
Summe der linksdrehenden
gleich der Summe der
rechtsdrehenden Drehmomente sein.
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b) Schwerpunkt
b) Schwerpunkt (Massenmittelpunkt):r
Ortsvektor des gegeben durch
rsp =
∑
∑
r
m i ri
mi
Wird ein System im Schwerpunkt
unterstützt, so ruht es.
Die Summe der Drehmomente ist
Null.
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Schwerpunkt
Experimentelle Bestimmung des Schwerpunkts:
2 Drehachsen A,B
Der Körper kommt nur zur Ruhe, wenn
an SP angreifende Gewichtskraft kein
Drehmoment mehr ausübt.
(Kraft und Hebelarm sind parallel)
Fg
Schwerpunkt fällt, wenn er nicht über der
Unterstützungsfläche liegt
r
rsp
r
= Ortsvektor vom Drehpunkt zum Schwerpunkt und Fges
Ist
die Gesamt-Schwerkraft
auf den Körper, so ist das Gesamtdrehr
r
moment M = rr x F
Versuch: Fallende Garnrolle
sp
ges
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Schwerpunkt
Schwerpunktsatz:
Der Schwerpunkt eines Körpers bewegt
sich so, als ob die gesamte Masse dort vereinigt
wäre und die Summe aller äußeren Kräfte dort
angreifen würde.
Der Schwerpunktsbewegung kann noch eine Rotation
überlagert sein, wobei jedoch nur Drehachsen durch
den Schwerpunkt möglich sind.
Versuch rot.Trommelstock
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