7.Vorlesung Überblick I) Mechanik 4. starre Körper a) Drehmoment b) Schwerpunkt c) Drehimpuls 5. Mechanische Eigenschaften von Stoffen a) Deformation von Festkörpern b) Hydrostatik Versuche: Trommelstock Drehstuhl mit Kreisel (Erhaltung des Gesamtdrehimpulses) Drehstuhl mit Hanteln (Variation des Trägheitsmoments) Hohl-, Vollzylinder und Vollkugel auf schiefer Ebene EP WS 2008/09 Dünnweber/Faessler b) Schwerpunkt b) Schwerpunkt (Massenmittelpunkt): r rsp = Ortsvektor des gegeben durch ∑ ∑ r m i ri mi Die Summe der Schwerkräfte auf alle Massenpunkte eines starren Körpers ergibt ein Drehmoment, so als ob die Gesamtkraft im Schwerpunkt angreift. (Eventuell zeigen mit Def.-Gl oben, x g auf beiden Seiten) Ist r0 der Abstand des Drehpunktes zur senkrechten Geraden durch den Schwerpunkt r und r r r sp = rc.m. = Ortsvektor vom Drehpunkt zum Schwerpunkt und Fges die Gesamt-Schwerkraft auf den Körper, r so rist das r Gesamtdrehmoment Mges = r0Fges , genauer: M ges = rc.m. × Fges EP WS 2008/09 Dünnweber/Faessler Schwerpunkt Schwerpunktsatz: Der Schwerpunkt eines Körpers bewegt sich so, als ob die gesamte Masse dort vereinigt wäre und die Summe aller äußeren Kräfte auf den Körper dort angreifen würde. Der Schwerpunktsbewegung kann noch eine Rotation überlagert sein, wobei jedoch nur Drehachsen durch den Schwerpunkt möglich sind. Versuch rotierender Trommelstock EP WS 2008/09 Dünnweber/Faessler c) Drehimpuls Der Bewegungszustand eines rotierenden Körpers wird durch seinen Drehimpuls L beschrieben. Analog zum Drehmoment nimmt der Drehimpuls mit dem Impuls p und dem Bahnradius r zu. Für Massenpunkt auf Kreisbahn: Drehimpuls L = r p Drehimpuls ist Vektor in Richtung Drehachse, senkrecht auf r und auf p, Vorzeichen nach Rechte-Hand-Regel. So wie Kreisgeschwindigkeit ω und Drehmoment M Vektoren sind, senkrecht zu r und v bzw F. Mathematisch vollständige Formulierung r r r L = r ×p EP WS 2008/09 Dünnweber/Faessler Drehimpulserhaltungssatz r r F = ∆p ∆t Aus (Newtons Axiom 2) folgt durch Multiplikation (Vektorprodukt) mit r x auf beiden Seiten r r r r r r r × F = r × ∆p / ∆t = ∆( r × p) / ∆t Und daraus sofort: r r ∆L M= ∆t D.h. Drehmoment bewirkt zeitliche Veränderung des Drehimpulses, so wie Kraft zeitliche Änderung des (linearen) Impulses bewirkt. Auch hier kann für ein abgeschlossenes System mit i Massepunkten ein Erhaltungssatz hergeleitet werden, analog Impulserhaltungssatz: Drehimpulserhaltungssatz: Die Summe aller Drehimpulse Lges = ΣLi ist zeitlich konstant, wenn die Summe der äußeren Drehmomente Mges = ΣMi = Null ist. (M und L sind Vektoren). EP WS 2008/09 Dünnweber/Faessler Beispiele zur Drehimpulserhaltung. Versuch Drehstuhl mit Kreisel Kreisel: sowohl Betrag als auch Richtung des Drehimpulses (Achse) bleiben erhalten Solange keine äußeren Drehmomente wirken, bleibt der Gesamtdrehimpuls des Systems (Person + Schwungrad) erhalten (da der Drehimpuls des Rads geändert wird, muss die Person ein inneres Drehmoment ausüben). EP WS 2008/09 Dünnweber/Faessler Trägheitsmoment Trägheitsmoment starrer (ausgedehnter) Körper - Alle Elemente rotieren mit fester Winkelgeschwindigkeit ω r r - Summation über Massenelemente r L = ∑ ri × p i Wegen pi = mivi = mi R0i ω (R = Abstand, siehe Bild) lassen sich die Beiträge der Massenelemente im Trägheitsmoment zusammenfassen: I = ∑ m i ⋅ R 02i i Die ‘Rotationsträgheit’ eines Körpers steigt quadratisch mit dem Abstand der Massenelemente von der Drehachse L = I⋅ω vektoriell: r r L = I⋅ω Vektoren r L und r ω in Richtung der Drehachse EP WS 2008/09 Dünnweber/Faessler Beispiele zur Drehimpulserhaltung. Versuch Drehstuhl mit Hanteln Drehimpuls (erhalten) L = I ⋅ω mit Trägheitsmoment I = 2 m ⋅ R ∑ i i i Rotierende Hantel: ω1 ω2 Bremsen der Rotation durch Ausdehnen der Massenverteilung ω3 ω1 : ω2 : ω3 = (1/1,2) : (1/2,3):1/8 EP WS 2008/09 Dünnweber/Faessler Formel- Beispiele für Trägheitsmomente Hohlzylinder I = m R² Versuch Vollzylinder I = (1/2) mR² Versuch Kugel I = (2/5) mR² Versuch m = Gesamtmasse ; Drehung um Zylinderachse bzw. um Achse durch Mittelpunkt der Kugel. Steinerscher Satz Trägheitsmoment eines Körpers für beliebige Drehachse A IA = Ic.m. + Ma² wobei Ic.m. = Trägheitsmoment für Achse parallel zu A durch Schwerpunkt, a = Abstand zwischen beiden Achsen M = Gesamtmasse des Körpers EP WS 2008/09 Dünnweber/Faessler Rotationsenergie (kinetische Energie der Rotationsbewegung) für Massenpunkt: 2 1 (Zur Erinnerung: v = rω) kin , rot 2 E = m(rω) Für Körper mit Trägheitsmoment I gilt somit Ekin , rot = 12 I ⋅ ω2 Beispiel: Rollende Körper gleicher Masse und gleichen Durchmessers aber unterschiedlicher Massenverteilung auf schiefer Ebene Trägheitsmoment nimmt von links nach rechts ab, Rotationsenergie ebenfalls, deshalb nimmt kinetische Energie der Translation von links nach rechts zu. Zieleinlauf EP WS 2008/09 Dünnweber/Faessler Zur Vertiefung Vergleich Drehbewegung - Translationsbewegung Rotation Translation Winkel φ [rad] Weg Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Trägheitsmoment r M rot = r r = rxF ∆ϕ ∆t ∆ω ∆t I = Σ∆ m i r i Rotationsenergie E Drehmoment ω = 1 Iω 2 bzw. r r r s = x2 − x4 Ort Geschwindigkeit Beschleunigung 2 Masse 2 r x oder r r ∆s v = ∆t ∆v ∆t M = Σ∆ m i Translationsenergie E Kraft r r kin = 1 Mv 2 2 r F M = r ⋅ F ⋅ sin α Drehimpuls r r L = I⋅ω Impuls r r p = M ⋅v Mit der „Übersetzungsvorschrift“ v → ω, m → I, p → L , F → M können alle Gesetze der linearen Bewegungen (Translation) in die Drehwelt übertragen werden, z.B. Dynamische Gleichungen r r ∆(I ⋅ ω ) M= ∆t r ∆( pv ) F= ∆t Erhaltungssätze für abgeschlossene Systeme r Σ L i = const r Σpi = const EP WS 2008/09 Dünnweber/Faessler