6.Vorlesung 6. Vorlesung EP I) Mechanik 1. Kinematik 2. Dynamik 3. a) Arbeit b) Energie (Wiederholung): Energie- und Impulserhaltung c) Stöße 4. Starre Körper a) Drehmoment b) Schwerpunkt Versuche: Hüpfende Stahlkugel Verkürztes Pendel Impulsausbreitung in Kugelkette elastische und inelastische Stöße auf Luftschiene Drehmoment (Scheibe mit Gewichten) Abrollende Garnrolle EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler 3b) Energie 6. Vorlesung Energie-Erhaltungssatz (Zusammen mit Impuls-Erhaltungssatz eines der wichtigsten Naturgesetze) Die Gesamtenergie, d.h. die Summe aller potentiellen und kinetischen Energien eines abgeschlossenen Systems, ist erhalten, d.h. zeitlich konstant. Energie kann nur verwandelt oder ausgetauscht – nicht vernichtet oder erzeugt werden. E ges = ΣE pot i + ΣE kini + (Σmc2i ) = const. Folgt aus Newtonschen Axiomen zunächst für die Mechanik, gilt aber allgemein für die ganze Physik. Der von Einstein beigesteuerte Massenterm (in Klammern) ist im Rahmen unserer Versuche konstant. Später lernen Sie andere potentielle und kinetische Energieformen kennen, Wärmeenergie, elektrische Energie, chemische Energie, Strahlungsenergie,… Wenn Arbeit W von außen am System geleistet wird, ändert sich die Gesamtenergie: W = ∆Egesamt EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler Energieerhaltungssatzsatz Beispiele für den Energie-Erhaltungssatz: E = Epot + Ekin oben: E = Epot = m g h , Ekin = 0 unten: E = Ekin = ½mv² , Epot = 0 dazwischen (h’): E = m g h’ + ½mv’² Versuch Stahlkugel Energien wie links Versuch Fadenpendel EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler Impulserhaltungssatz Impuls-Erhaltungssatz Impulserhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System, d.h. ohne äußere Kräfte ändert sich der Gesamtimpuls nicht! r p ges = n ∑ i =1 v pi = n ∑ i =1 r m i v i = const Dieser Satz folgt ebenfalls aus Newtons Prinzipien, wenn die Summe der äusseren Kräfte = 0 ist: r r ∆Σ (m i ⋅ v i ) Σ Fj = =0 ∆t Siehe Versuche Anfang der 4. Vorlesung zur Impulserhaltung, bzw. zum 2. und 3. Newtonschen Axiom. Heute: →Versuch Kugelkette EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler 3c) Stöße Anwendung des Energie- und Impulssatzes: 3c) Stoßgesetze vorher: nachher: Hier die Formeln für 2 2 Impulssatz: r r r r m1v1 + m 2 v 2 = m1u1 + m 2 u 2 Energiesatz: 1 1 1 1 m1v12 + m 2 v 22 = m1u12 + m 2 u 22 + ∆W 2 2 2 2 Elastischer Stoss: Unelastischer Stoss: ∆W = 0 ∆W ≠ 0 Dabei ist ∆W der Teil der Anfangs-Energie, der z.B. zur Erwärmung oder Verformung der stoßenden Körper führt EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler Beispiel für m1<<m2: Elastischer Stoß gegen Mauer v1 m1 V1‘ m1 v1 = - v1‘ Energie vorher 1 1 2 mv1 = m(− v1' ) 2 2 2 nachher Impulssatz nur scheinbar verletzt, Mauer rührt sich nicht. Für abgeschlossenes System muß Mauer und Erde einbezogen werden 1 2 M sehr groß! vMauer sehr klein! sehr klein Mv 'Mauer 2 Versuch Hartgummiball +Erde EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler Stöße zentraler elastischer Stoß auf ruhenden Körper (Billiard): Impulssatz: m1v1 = m1u1 + m 2 u 2 1 1 1 2 2 2 mv = m u + m u Energiesatz: 1 1 1 2 2 2 2 2 2m1v1 v1 (m1 − m 2 ) u1 = , u2 = m1 + m 2 m1 + m 2 Beispiele: m1 = m2 → u1 = 0 , u2 = v1 m1 << m2 → u1≈ - v1 , u2≈ 0 m1>> m2 → u1≈ v1 , u2 ≈ 2v1 -max. Energieübertrag -max. Impulsübertrag Versuche auf Luftschiene zum elastischen und inelastischen Stoss EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler Stöße Beispiel für unelastischen Stoß (Autounfall u dgl) Beispiel: Impulssatz: Energiesatz: gleiche Massen: m1 = m2 = m m2 ruht vor Stoß: v2=0 aber: Klebewachs an beiden Wagen vor Stoß: v2=0, v1=v nach Stoß: beide mit u1=u2=u m1v = m1u + m 2 u = (m1 + m 2 )u ⇒ u = v 2 1 1 1 1 2 2 2 m1v = m1u + m 2 u + ∆W ⇒ ∆W = mv 2 4 2 2 2 (½ kinet. Energie umgewandelt) Beim unelastischen Stoß wird kinetische Energie in Wärme, Verformungsenergie (Beispiel: Autokollision), Anregungsenergie oder andere Energieformen umgewandelt. EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler I) Mechanik 4.) Starre Körper Bisher: Verschiebung von Massenpunkten oder Massenzentren (Schwerpunkt) von Körpern. Jetzt: ausgedehnter starrer Körper. Starr bedeutet, die Lage der einzelnen Teile zueinander ändert sich nicht. Die Bewegung wird zerlegt in die Schwerpunktbewegung (für die alles in den bisherigen Kapiteln Gesagte gilt) und eine Drehung. EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler a) Drehmoment a) Drehmoment: Drehmoment = Kraft . Hebelarm Hebelarm: zur Kraft senkrechter Abstand zum Drehpunkt Betrag: r r M = r ⋅ F ⋅ sin(r , F ) Versuch Scheibe mit Gewichten Drehmoment ist Vektor, senkrecht auf r und auf F in Richtung einer Rechtsschraube (rechte Hand) (Für Mathefreaks: r r r M =r×F Vektorprodukt rxF ) EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler Drehmoment Bsp.: menschl. Arm als einarmiger Hebel Nachteil: kurzer effektiver Hebelarm Beugewinkel > 90o: zum Halten der gleichen Masse ist größere Bizepskraft erforderlich senkrecht nicht senkrecht angreifende Kraft angreifende Kraft EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler Drehmoment Ein Körper ändert seinen Rotationszustand nicht, wenn die Summe aller Drehmomente Null ist. Bsp.: Wippe, Balkenwaage Hebelgesetz: Damit ein Hebel im Gleichgewicht ist, muss die Summe der linksdrehenden gleich der Summe der rechtsdrehenden Drehmomente sein. EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler b) Schwerpunkt b) Schwerpunkt (Massenmittelpunkt):r Ortsvektor des gegeben durch rsp = ∑ ∑ r m i ri mi Wird ein System im Schwerpunkt unterstützt, so ruht es. Die Summe der Drehmomente ist Null. EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler Schwerpunkt Experimentelle Bestimmung des Schwerpunkts: 2 Drehachsen A,B Der Körper kommt nur zur Ruhe, wenn an SP angreifende Gewichtskraft kein Drehmoment mehr ausübt. (Kraft und Hebelarm sind parallel) Fg Schwerpunkt fällt, wenn er nicht über der Unterstützungsfläche liegt r rsp r = Ortsvektor vom Drehpunkt zum Schwerpunkt und Fges Ist die Gesamt-Schwerkraft auf den Körper, so ist das Gesamtdrehr r moment M = rr x F Versuch: Fallende Garnrolle sp ges EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler Schwerpunkt Schwerpunktsatz: Der Schwerpunkt eines Körpers bewegt sich so, als ob die gesamte Masse dort vereinigt wäre und die Summe aller äußeren Kräfte dort angreifen würde. Der Schwerpunktsbewegung kann noch eine Rotation überlagert sein, wobei jedoch nur Drehachsen durch den Schwerpunkt möglich sind. Versuch rot.Trommelstock EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler