Vorlesung 2

I)1. Kinematik
I) Mechanik
1.Kinematik (Bewegung)
2. Dynamik von Massenpunkten (Einfluss von Kräften)
3. Starre Körper
4.Deformierbare Medien
5. Schwingungen, Wellen, Akustik
EP WS 2008/09 Dünnweber/Faessler
I)1. Kinematik
I)1. Kinematik = Bewegungslehre
(Ziel: Quantitative Beschreibung der Bewegung von Objekten in Raum-Zeit)
Beschreibung benötigt:
a) ein Bezugssystem für 3-dim. Raum und Maß für Länge(=Strecke)
b) ein Bezugssystem für Zeit (Uhr) und Maß für Zeitabstand(=Zeitintervall)
Zeitabstand und Länge sind Basisgrößen. Zugehörige Basiseinheiten
(Referenzmaß) sind die Sekunde (s) und der Meter (m).
Definition der beiden Basiseinheiten:
1s = das Zeitintervall, in dem die Cäsium-Atomuhr 9192631770 mal schwingt
1m = Strecke, die Licht im Vakuum in (1/299792458) s zurücklegt
Beispiel für Raumbezugssystem:
rechtwinklig
rechtshändig
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I)1. Kinematik
Zunächst betrachten wir:
Bewegung von (Massen)-Punkten
Die klassische* Beschreibung der Bewegung von (Massen-) Punkten
nimmt an:
Für jeden Zeitpunkt t befindet sich der Massenpunkt an einem
eindeutigen Ort im Raum.
Ort beschrieben durch Ortsvektor,
Funktion von t:
r
r ( t ) = ( x ( t ), y( t ), z( t ))
wobei x(t), y(t) und z(t) die drei Ortskoordinaten im gegebenen dreidimensionalen Raumbezugssystem sind.
*Bei der quantenmechanischen Beschreibung der Bewegung von mikroskopischen Teilchen
gilt diese Annahme nicht.
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I)1. Kinematik
Länge und Zeitabstand (Basisgrößen):
Zunächst in 1 Raum-Dimension: Orte eines Massenpunktes auf einer geraden
Linie des Raumes, z.B x-Koordinate, werden
vollständig beschrieben durch x(t),
r
weil Ortsvektor sich vereinfacht zu
r ( t ) = ( x ( t ), 0 , 0 )
Zeitdifferenz von zwei Zeiten t1 und t2 : t2-t1 = ∆t positiv oder negativ
Zeitabstand = abs(∆t) = |∆t| immer positiv
Ortsdifferenz x(t2) –x(t1) = x2 – x1 = ∆x positiv oder negativ,
Orts-Abstand |∆x| positiv = Weglänge
In 3 Raum-Dimensionen gilt für den Abstand= kürzeste Weglänge (Erweiterung
r
2
2
2
des Pythagoras-Satzes):
| ∆r | = (∆x + ∆y + ∆z )
(Länge eines länglichen Objekts = größter Abstand von zwei Raumpunkten
des Objektes).
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I)1. Kinematik
Wichtiger Grundbegriff der Kinematik: Geschwindigkeit v,
beschreibt zeitliche Änderung des Orts eines Objektes;
v ist eine abgeleitete physikalische Größe. Definition:
x 2 − x1
v12 =
t 2 − t1
oder
v=
v=0
∆x
∆t
wobei x1= x(t1) usw. und obige Definition die
Bewegung eines Punkts in 1 Dimension (x),
z.B. entlang einer (Luftkissen)-Schiene, beschreibt.
Gleichförmige Bewegung:
der Punkt bewegt sich mit konstanter
Geschwindigkeit v (hier mit v1 > v2)
Beschleunigte Bewegung:
Die Geschwindigkeit verändert sich mit der
Zeit ( Abbremsung oder Beschleunigung )
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I)1. Kinematik
Versuche:
Messung von Geschwindigkeiten
- Gewehrkugel
mittels zweier schnell rotierender Scheiben
25 Umdrehungen/s = 25 mal 360Grad pro s
daraus folgt 1 Grad ←→ (1/9000) Sekunde
gemessen: x2-x1 = 0.5 m und t2-t1 = (1/600) s aus Winkel= 15 Grad
ergibt v= 300 m/s
-Lichtgeschwindigkeit
mittels eines reflektierten kurzen Lichtpulses,
Lichtsensors und zeitlich hochauflösenden
Oszilloskops
x2-x1 = (30 ± 0.1 )m
t2-t1 =
(100 ± 1 ) ns
ergibt v = 300000 km/s
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I)1. Kinematik
Bei veränderlicher Geschwindigkeit, d.h. beschleunigter Bewegung:
Durchschnittsgeschwindigkeit
für Intervall
∆t i
∆xi
vi =
∆ti
Momentangeschwindigkeit v(t) ergibt sich aus dem Grenzwert
(Differentialquotient oder Ableitung)
∆t →0 :
dx
v(t) =
dt
Umgekehrt erfordert die Berechnung der zurückgelegten Strecke,
bei gegebener Geschwindigkeit v(t) eine Integration von v(t) oder, für
endliche Zahl von endlich großen Intervallen folgende Summe:
∆x = ∑ v i ⋅ (∆t)i
i
für
(∆t)i → 0
t2
ist
∆ x = ∫ v dt
t1
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I)1. Kinematik
∆v v 2 − v1
dv
=
→
∆t
t 2 − t1
dt
Bei konstanter Beschleunigung
ergibt Integration eine:
Lineare Zunahme der Geschwindigkeit
und
quadratische Zunahme der Position,
Ableiten
a=
Integrieren
Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit
-> Beschleunigung a (acceleration)
siehe Bilder rechts und Herleitung
nächste Seite.
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I)1. Kinematik
Bei konstanter Beschleunigung
∆v
a=
= constans gilt:
∆t
Geschwindigkeitsänderung in der Zeit ∆t:
∆v = a ∆t
Wenn die Geschwindigkeit zur Zeit t=0 den Wert v0 hatte, dann ist sie
nach der Zeit t (∆t = t - 0) („Integration von a über Zeit“) : v = a t + v0
Durchschnittsgeschwindigkeit : vmittel = ½( vmin +vmax) = ½( v0 + a t + v0)
In Zeit t zurückgelegter Weg
Ort zur Zeit
t:
:
∆x = vmittel t = ½a t2 + v0 t
(„Integration von v über die Zeit“)
x = ∆x +x0
mit v0 = Anfangsgeschwindigkeit und x0 = Anfangsort
Prominentes Beispiel für konstante Beschleunigung : freier Fall im
Schwerefeld der Erde auf Erdoberfläche g = 9.81 m/s2
Versuch: Freier Fall (Feder und Stein) im evakuierten Fallrohr
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