Vorlesung 3

I)Mechanik: 1.Kinematik, 2.Dynamik
Klausur am Mittwoch, 3 .02.10
3. Vorlesung EP
I) Mechanik
1.Kinematik Fortsetzung
2.Dynamik Anfang
Versuche:
1.Funkenflug (zur Kreisbewegung)
2. Affenschuss (Überlagerung von Geschwindigkeiten)
3. Zwei und 3 KommilitonINNen auf skate boards
(Actio = reactio und Impulserhaltung)
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∆v
a=
∆t
= constans gilt:
Geschwindigkeitsänderung in der Zeit ∆t:
∆v = a ∆t
Bei konstanter Beschleunigung
Wenn die Geschwindigkeit zur Zeit t0 den Wert v0 hatte, dann ist sie nach
Zeit t1 (∆t = t1 – t0) („Integration von a über Zeit“) : v = ∆v + v0 = a ∆t + v0
Durchschnittsgeschwindigkeit : vmittel = 1/2(vmin +vmax) = 1/2 (v0 + v0+a ∆t)
In Zeit ∆t zurückgelegter Weg („Integration von v über die Zeit“) :
∆x = vmittel ∆t = 1/2 a (∆t)2 + v0 ∆t
Ort zur Zeit
t1 :
x = ∆x +x0
mit x0 = Anfangsort zur Zeit t0
Prominentes Beispiel für konstante Beschleunigung : freier Fall im
Schwerefeld der Erde auf Erdoberfläche g = 9.81 m/s2
Versuch: Freier Fall (Feder und Stein) im evakuierten Fallrohr
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Bewegung in Ebene und Raum (2- und 3-dimensional)
Ort, gemessen von (willkürlichem) Ursprung, ist ein Vektor
r  x1 
x1 =  
 y1 
x 
1
r  
x1 =  y1 
 
 z1 
← 2-d (2-dimensional)
←
3-d
Vektor ist beschrieben durch die zwei oder drei Koordinaten x,y bzw. x,y,z wie oben;
r
oder durch seine Länge
und seine Richtung
x = x 2 + y2 + z2
(Richtungsangabe durch Winkel relativ zu den Achsen des Koordinatensystems) .
Geschwindigkeit
r
r
r
∆x
r
∆v
ebenfalls Vektoren.
v =
und Beschleunigung a =
∆t
∆t
Ausführlich geschrieben:
r
r
r x 2 − x1  (x2 − x1 )/(t 2 − t1 )

v=
= 
t 2 − t 1  (y2 − y1 )/(t 2 − t1 )
(2d))
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Kreisbewegung, Winkelgeschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit = Kreisfrequenz= ω
-zur Vereinfachung konstant angenommen
∆ϕ
ω=
∆t
Dabei wird Winkel φ gemessen
in Bogenmaß=Radiant = [rad]
Für genau einen Umlauf gilt:
→ ∆ϕ = 2π [rad] oder = 2π ohne Einheit
→ ∆t = T = Umlaufzeit = Periode
Also gilt:
ω = ∆φ / ∆t = 2π / T
„Frequenz“ gibt an, wie oft sich wiederholende Ereignisse pro sec stattfinden. Daher gilt:
Umlauffrequenz f = 1/T (1 Umlauf pro Umlaufzeit T)
Einheit von f :
Hertz= Hz = 1/s
Zusammenhang zwischen Umlauffrequenz und Kreisfrequenz:
ω = 2π
π/T = 2π
πf
Maßeinheiten: [rad/s] und [s-1] = [Hz]
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Zur Bedeutung des Bogen- oder Winkelmaßes Radiant:
Setze als bekannt voraus:
• Umfang eines Kreises: U = 2πr
( Gesamtwinkel ∆φ = 2π [rad] )
2π [m] ist Umfang eines Kreises mit Radius r = 1.
s= r ∆φ ist die Länge eines Kreissegmentes mit dem Winkel ∆φ bei
Kreisradius r
Und s = ∆φ[m] ist Länge bei Kreisradius r = 1m
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r
r
Bahngeschwindigkeit v = v für Kreisbahn mit Radius
r= x
r
∆x
∆ϕ
v=
=r⋅
= r⋅ω
∆t
∆t
Gilt auch, wenn ω = ω(t), d.h. nicht konstant ist.
Für konstantes ω kann v einfach berechnet werden
als v= Umfang/Umlaufzeit=2πr/T, siehe Aufg.1-3
Kreisbewegung mit konstantem ω ist beschleunigte Bewegung,
r
obwohl der Betrag v konstant ist, da sich Richtung von v ändert.
r
r ∆v
Beschleunigung a =
∆t
Richtung:
r
a
:
r
r
∆v
∆ϕ v ∆ϕ
2
a= a =
=
=
⋅ r ⋅ ω = r ⋅ω
∆t
∆t
∆t
zeigt zum Zentrum der Kreisbewegung
→Versuch Funkenflug
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VERSUCHE:
Letztes Mal: Geschoßgeschwindigkeit, Messung mit rotierenden Scheiben
Überlagerung von Bewegungen
Beispiel: Sie gehen spazieren (v1) in einem Flugzeug, das über Erde fliegt (v2), die
um Sonne kreist (v3) ...
Momentane Geschwindigkeiten in Raum-Bezugssystem Fixsterne addieren sich:
r
r
r
vgesamt(t) = v1(t) + v2 (t) +...
Anderer Fall: Geschwindigkeitskomponenten in zwei verschiedene Richtungen
addieren sich. Beispiel:
Bahn, Geschoß mit Anfangsgeschwindigkeit
r Ballistische
r
bei freiem Fall v g = g ⋅ ∆t
ergibt zusammen:
r
v0
r
r r
vgesamt(t) = v0 + vg (t)
Versuch mit 2 fallenden Kugeln, eine mit horizontaler
Anfangsgeschwindigkeit verschieden von Null, siehe
Darstellung nächste Seite.
Versuch heute: „Affenschuss“
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Beschleunigte Bewegung (zweidimensional)
-> horizontaler Wurf
Beschleunigung wirkt nur in einer (y) Richtung
Zerlegung der Bewegung in eine
- gleichförmige horizontale (x)
- beschleunigte senkrechte (y)
Komponente.
Beide überlagern sich ungestört,
verbunden über die Zeit (t)
x = vx0 t
y = -½ g t2 + y0
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Neues Kapitel: 2.
Dynamik von Massenpunkten
(Einführung von träger Masse und Kräften)
a) Newton’s 3 Prinzipien oder Axiome oder Gesetze :
1. Galilei´sches Trägheitsprinzip:
Jeder Körper bleibt in Ruhe oder gleichförmiger Bewegung, wenn keine
äußeren Kräfte auf ihn wirken
2. Newton´s Impulssatz:
r ∆ (m ⋅ vr )
r
= ma
F=
∆t
Kraft = Masse mal Beschleunigung, wenn m konstant in der Zeit (Bedingung bei
relativistisch bewegten Objekten nicht mehr garantiert).
3 neue physikalische Größen: Kraft, träge Masse und
r
r
mv = p =
Impuls
Kraft = Zeitliche Impulsänderung
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3. Reaktionsprinzip, actio = reactio:
Bei Wechselwirkung zwischen zwei Körpern ist Kraft F12,
die K1 auf K2 ausübt, entgegengesetzt und gleich im Betrag
zu F21 d. h. der Kraft, die K2 auf K1 ausübt:
r
r
F12 = −F21
Newtons Prinzipien gelten nur für Inertialsysteme =
Bezugssysteme für Raum und Zeit,
die sich relativ zu Fixsternhimmel (oder besser: zu unserem Weltall)
gleichförmig bewegen (oder ruhen).
Orientierung, Nullpunkt, (konstante) Geschwindigkeit des Bezugssystems
können willkürlich gewählt werden.
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