1.Kinematik, 2.Dynamik

I)Mechanik:
I)Mechanik: 1.Kinematik, 2.Dynamik
3. Vorlesung EP
I) Mechanik
1.Kinematik Fortsetzung
2.Dynamik Anfang
Versuche:
1. Freier Fall im evakuierten Fallrohr
2.Funkenflug (zur Kreisbewegung)
3. Affenschuss (Überlagerung von Geschwindigkeiten)
4. Luftkissen und skate boards
(Newton1-3, träge Masse, Impulserhaltung)
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∆v v 2 − v1
dv
=
→
∆t
t 2 − t1
dt
Bei konstanter Beschleunigung
ergibt Integration:
Lineare Zunahme der Geschwindigkeit
und
quadratische Zunahme der Position,
Ableiten
a=
Integrieren
Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit
-> Beschleunigung a (acceleration)
siehe Bilder rechts und Herleitung
nächste Seite.
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Bei konstanter Beschleunigung
∆v = constans gilt:
a=
∆t
Geschwindigkeitsänderung in der Zeit ∆t:
∆v = a ∆t
Wenn die Geschwindigkeit zur Zeit t=0 den Wert v0 hatte, dann ist sie
nach der Zeit t (∆t = t - 0) („Integration von a über Zeit“) : v = a t + v0
Durchschnittsgeschwindigkeit :
In Zeit t zurückgelegter Weg
Ort zur Zeit
t:
vmittel = 1/2(vmin +vmax) = 1/2 a t + v0
:
∆x = vmittel t = 1/2 a t2 + v0 t
(„Integration von v über die Zeit“)
x = ∆x +x0
mit v0 = Anfangsgeschwindigkeit und x0 = Anfangsort
Prominentes Beispiel für konstante Beschleunigung : freier Fall im
Schwerefeld der Erde auf Erdoberfläche g = 9.81 m/s2
Versuch: Freier Fall (Feder und Stein) im evakuierten Fallrohr
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Bewegung in Ebene und Raum (2- und 3-dimensional)
Ort, gemessen von (willkürlichem) Ursprung, ist ein Vektor
r  x1 
x1 =  
 y1 
x 
1
r  
x1 =  y1 
 
 z1 
2-d oder
3-d
Vektor ist beschrieben durch die zwei oder drei Koordinaten x,y bzw. x,y,z wie oben;
r
oder durch seine Länge
und seine Richtung;
x = x 2 + y2 + z2
(Richtungsangabe durch Winkel relativ zu den Achsen des Koordinatensystems) .
Geschwindigkeit
r
r
r
∆x
r
∆v
ebenfalls Vektoren.
v =
und Beschleunigung a =
∆t
∆t
Beachte:
r
r
r x 2 − x1  (x2 − x1 )/(t 2 − t1 )

v=
= 
t 2 − t 1  (y2 − y1 )/(t 2 − t1 )
(2d))
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Kreisbewegung, Winkelgeschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit = Kreisfrequenz:
∆ϕ
ω=
∆t
Dabei wird Winkel φ
gemessen in Bogenmaß=Radiant = [rad]
Für genau einen Umlauf gilt:
→ ∆ϕ = 2π [rad] oder = 2π ohne Einheit
→ ∆t = T = Umlaufzeit = Periode
Also gilt: (Mittelwert)
ω = 2π/T
„Frequenz“ gibt an, wie oft sich wiederholende Ereignisse pro sec stattfinden. Daher gilt:
Umlauffrequenz f = 1/T (1 Umlauf pro Umlaufzeit T)
Einheit von f :
Hertz= Hz = 1/s
Zusammenhang zwischen Umlauffrequenz und Kreisfrequenz:
ω = 2π/T = 2π f [rad/s] = 2π f [s-1] = 2π f [Hz]
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r
r
Bahngeschwindigkeit v = v für Kreisbahn mit Radius
r= x
r
∆x
∆ϕ
v=
=r⋅
= r⋅ω
∆t
∆t
Gilt auch, wenn ω = ω(t), d.h. nicht konstant ist.
Für konstantes ω kann v einfach berechnet werden
als v= Umfang/Umlaufzeit=2πr/T, siehe Aufg.1-3
Kreisbewegung mit konstantem ω ist beschleunigte
r Bewegung, obwohl
der Betrag v konstant ist, da sich Richtung von v ändert.
r
r ∆v
Beschleunigung a =
∆t
Richtung:
r
a
:
r
r ∆v ∆ϕ v ∆ϕ
2
a=a=
=
=
⋅ r ⋅ω = r ⋅ω
∆t
∆t
∆t
zeigt zum Zentrum der Kreisbewegung
→Versuch Funkenflug
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VERSUCHE:
Letztes Mal: Geschoßgeschwindigkeit, Messung mit rotierenden Scheiben
Überlagerung von Bewegungen
Beispiel: Sie gehen spazieren (v1) in einem Flugzeug, das über Erde fliegt (v2), die
um Sonne kreist (v3) ...
Momentane Geschwindigkeiten in Raum-Bezugssystem Fixsterne addieren sich:
r
r
r
vgesamt(t) = v1(t) + v2 (t) +...
Anderer Fall: Geschwindigkeitskomponenten in zwei verschiedene Richtungen
addieren sich. Beispiel:
Bahn, Geschoß mit Anfangsgeschwindigkeit
r Ballistische
r
bei freiem Fall v g = g ⋅ ∆t
ergibt zusammen:
r
v0
r
r r
vgesamt(t) = v0 + vg (t)
Versuch mit 2 fallenden Kugeln, eine mit horizontaler
Anfangsgeschwindigkeit verschieden von Null, siehe
Darstellung nächste Seite.
Versuch heute: „Affenschuss“
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Beschleunigte Bewegung (zweidimensional)
-> horizontaler Wurf
Beschleunigung wirkt nur in einer (y) Richtung
Zerlegung der Bewegung in eine
- gleichförmige horizontale (x)
- beschleunigte senkrechte (y)
Komponente.
Beide überlagern sich ungestört,
verbunden über die Zeit (t)
x = vx0 t
y = -½ g t2 + y0
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Neues Kapitel: 2. Dynamik von Massenpunkten
(Einführung von träger Masse und Kräften)
Newton’s 3 Prinzipien oder Axiome oder Gesetze :
1. Galilei´sches Trägheitsprinzip:
Jeder Körper bleibt in Ruhe oder gleichförmiger Bewegung, wenn keine
äußeren Kräfte auf ihn wirken
2. Newton´s Impulssatz:
r ∆ (m ⋅ vr )
r
= ma
F=
∆t
Kraft = Masse mal Beschleunigung, wenn m konstant in der Zeit (Bedingung bei
relativistisch bewegten Objekten nicht mehr garantiert).
3 neue physikalische Größen: Kraft, träge Masse und
r
r
mv = p =
Impuls
Kraft = Zeitliche Impulsänderung
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3. Reaktionsprinzip, actio = reactio:
Bei Wechselwirkung zwischen zwei Körpern ist Kraft F12, die K1 auf
K2 ausübt, entgegengesetzt und gleich im Betrag zu F21 d. h. der
Kraft, die K2 auf K1 ausübt:
r
r
F12 = −F21
Newtons Prinzipien gelten nur für Inertialsysteme = Bezugssysteme für Raum
und Zeit, die sich relativ zu Fixsternhimmel (oder besser: zu unserem Weltall)
gleichförmig bewegen (oder ruhen). Orientierung, Nullpunkt, konstante Geschwindigkeit können willkürlich gewählt werden.
Impulserhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System, d.h. ohne äußere Kräfte
ändert sich der Gesamtimpuls nicht!
n
∑
i= 1
m
i
r
v
i
= const
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Träge Masse mi ist eine grundlegende Eigenschaft von Körpern
Versuche auf Luftkissenschiene und Skate board zur Impulserhaltung und Masse:
z. B. Massen zunächst in Ruhe:
r r
v1 = v 2 = 0
Nach Wechselwirkung (interner Kraftwirkung)
r
r
m 1v1 + m 2 v 2 = 0
m1
v
=− 2
m2
v1
Masse mi ist Eigenschaft des Körpers und kann durch Vergleichsmessung
mit Referenzmasse bestimmt werden. Masse ist unsere 3. Basisgröße.
Referenzmasse, d. h. Basis(Maß)einheit für träge Masse m
1 Kilogramm = 1 (kg) liegt als Urkilogramm bei Paris
(Masse 1 kg entspricht ungefähr der Masse von 1 (dm)3 = 1 Liter Wasser
bei 4°C, 1 bar Druck)
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