Vorlesung 9

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9.Vorlesung EP WS2009/10
I. Mechanik
5. Mechanische Eigenschaften von Stoffen
a) Deformation von Festkörpern
b) Hydrostatik, Aerostatik
c) Oberflächenspannung und Kapillarität
6. Hydro- und Aerodynamik
a) Kontinuitäts- und Bernoulli-Gleichung
b) Viskosität
Versuche:
Messung der Oberflächenspannung
Büroklammer auf Wasser
Druck in Seifenblasen
Kapillaren
Bernoulli (Druckänderung bei Änderung des Rohrdurchmessers)
Abdecken eines Hauses
Turbulente und laminare Strömungen
Magnuseffekt in Wasser
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c) Oberflächenspannung u. Kapillarität
Grenzflächen zwischen flüssig, fest und gasförmig
Epot
Beobachtung: Oberfläche einer Flüssigkeit an Gas verhält sich wie
eine elastische Haut.
r
Beispiele:
Wassertropfen,
Seifenblase
Kraft F zwischen
zwei Molekülen
F
→
r
← F
F=0
Moleküle einer Flüssigkeit ziehen sich an !
Kohäsion = Anziehung zwischen den Molekülen einer Flüssigkeit
- Im Inneren einer Flüssigkeit hat jedes Molekül viele Nachbarn
(keine resultierende Anziehung, geringe Energie)
- An der Oberfläche zum Gas gibt es weniger Nachbarn, d.h. es muß
Arbeit geleistet werden um die Oberfläche zu vergrößern, d.h. um
Moleküle an die Oberfläche zu bringen.
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c) Oberflächenspannung
Oberflächenspannung:
Bei der Vergrößerung einer Flüssigkeitsoberfläche
um ∆A muß Arbeit ∆W verrichtet werden.
Oberflächenspannung
σ=
∆W
∆A
 J 
 m2 
 
Beispiel:
Benötigte Arbeit ∆W beim Herausziehen
einer Lamelle, siehe Bilder rechts u unten.
Vernachlässigung von Schwerkraft und resultierender Hubarbeit.
∆W ≡ F⋅ ∆s = σ⋅ ∆A = σ⋅ (2L⋅ ∆s)
σ = F / 2L
In diesem Fall bildet sich eine Oberfläche ∆A auf beiden Seiten,
deshalb Randlänge = 2— Bügellänge L.
F
Querschnitt des Bügels mit beidseitigen Flüssigkeitsoberflächen.
Oberflächenspannung σ =
am Rand angreifende Kraft  N 
 m 
Länge des Randes
(alternative Definition)
Versuch Messung der Oberflächenspannung mit Lamelle
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σ: eine Konstante, in begrenztem Bereich der äusseren Spannung
(wie bei E,G,K), abhängig von Temperatur, evtl. gelösten Stoffen und
von Umgebung (Außenmedium)
Beispiele:
Wasser
: 7.29 . 10-2 J/m2
Benzol
: 2.90 . 10-2 J/m2
Quecksilber : 47.1 . 10-2 J/m2
Tenside verringern die Oberflächenspannung drastisch.
Ungestörte Oberflächen nehmen immer die kleinstmögliche
Gesamtfläche ein (Minimalflächen).
Wenn keine äußeren Kräfte wirken → Kugelgestalt, weil Kugel bei gegebenem
Volumen die kleinste Oberfläche hat.
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∆h
Versuch Büroklammer
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Versuch mit Seifenblasen
Innendruck einer Seifenblase mit Kugelradius r als Folge der
Oberflächenspannung σ :
∆p = pinnen – paussen = 2 σ / r
Verbindet man verschieden große Seifenblasen,
dann schluckt die große die kleine
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Kapillaren
Grenzflächen zwischen fest und flüssig:
Abhängig davon, ob die Anziehungskraft
(Adhäsion) zwischen Flüssigkeits- und
Festkörpermolekülen oder die Kohäsion
der Flüssigkeitsmoleküle stärker ist.
Bei vollständiger Benetzung ist ϕ=0
Bei Kapillaren führt unterschiedliche Adhäsion entweder zu
Kapillar-Attraktion
Bsp.: Glas - Wasser
oder
Kapillar- Depression
Bsp.: Glas - Quecksilber
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Kapillaren
Steighöhe:
2σ
h=
r ⋅ ρ Flüss ⋅ g
(Herleitung:
Glaskapillare vollständig benetzt
F0= Randlänge— σ = 2πr— σ
FG=(V— ρ)— g = π r² — h— ρ— g
F0=FG → 2r— σ= r²— h— ρ— g → obige Formel)
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6. Hydro- und Aerodynamik
6. Hydro- und Aerodynamik:
(Strömung von Fluiden, also flüssigen und gasförmigen Substanzen)
blaue Linien im linken Bild
• Bahnen von Partikeln der Flüssigkeit
• Dichte der Linien ist ein Maß für die
Geschwindigkeit
•Strömungsfeld charakterisiert durch
Geschwindigkeitsverteilung im Raum
•stationär = nicht zeitabhängig
• (zunächst ohne Reibung, Viskosität)
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a) Kontinuitätsgleichung
Volumenstrom und Kontinuitätsgleichung :
Volumenstrom durch eine Fläche Ai
I = ∆V ∆t
Kontinuitätsgleichung (für inkompressibles,
ideales Fluid)
I = ∆V ∆t = A i ⋅ v i = const.
→ v1/v2 = A2/A1
Die Strömungsgeschwindigkeit
nimmt an einer Engstelle zu,
Ursache der Beschleunigung ?
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a) Bernoulli -Gleichung
Energiebilanz an der Engstelle:
Beschleunigung ← Kraft auf Strecke (Arbeit) ← Druckdifferenz (p2 > p1)
Aus Energieerhaltung: kinetischer Energie + Stempelarbeit p∆V= const. folgt
(ρ ⋅ v 2 2) + p = const = Gesamtdruc k
Bernoulli Gleichung
Staudruck (dynamischer Druck) + Stempeldruck (statischer Druck) = const.
Ändert sich außer dem Rohrdurchmesser auch noch die Höhe h über
dem Boden (ansteigendes oder abfallendes Rohr), so muß zusätzlich
der Schweredruck berücksichtigt werden:
(ρ ⋅ gh ) + (ρ ⋅ v 2 2) + p = const.
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(Detaillierte Herleitung der Bernoulli-Gleichung
Ekin= ½ ∆M ·v1² < ½ ∆M ·v2² ,
weil wegen der Kontinuitätsgleichung v1/v2 = A2 /A1.
Energie-Erhaltung:
½ ∆M ·v2² - ½ ∆M ·v1² = Arbeit durch Druck
1444442444443
F1· ∆x1 – F2· ∆x2
=p1·A1· ∆x1 – p2·A2·∆x2=p1·∆V – p2·∆V
½ ∆M ·v²2 + p2·∆V = ½ ∆M·v²1+p1·∆V = const. (d.h. überall).
Geteilt durch ∆V: ρ ⋅ v 2
+ p = const.
2
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Folgen der Bernoulli-Gl.: Hydrodynamisches Paradoxon:
In Bereichen mit hoher Strömungsgeschwindigkeit herrscht ein
reduzierter statischer Druck
Bunsenbrenner
Haus im Sturm
Innendruck > stat. Druck oben
Zerstäuber
Tragfläche
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Weitere Beispiele für die Verringerung des statischen Drucks in
Regionen hoher Geschwindigkeit:
Die Gebiete zusammengedrängter Stromlinien (Unterdruck) ziehen
An den Seiten der Scheibe (→Drehmoment im mittleren Bild)
Beispiel: fallende Blätter
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„Magnus-Effekt“ bei Umströmung eines rotierenden Körpers
Wegen Adhäsion an der
Kugeloberfläche führt Kugel eine
Wasserschicht mit sich herum*.
(*Superposition der Geschwindigkeiten,
s. z.B. Bergmann-Schäfer Bd I)
Dadurch ist Strömungsgeschwindigkeit des Wassers
rechts größer als links.
Der gleiche Effekt tritt bei
rotierenden Bällen in Luft auf.
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