Vorlesung 9
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9.Vorlesung EP WS2009/10 I. Mechanik 5. Mechanische Eigenschaften von Stoffen a) Deformation von Festkörpern b) Hydrostatik, Aerostatik c) Oberflächenspannung und Kapillarität 6. Hydro- und Aerodynamik a) Kontinuitäts- und Bernoulli-Gleichung b) Viskosität Versuche: Messung der Oberflächenspannung Büroklammer auf Wasser Druck in Seifenblasen Kapillaren Bernoulli (Druckänderung bei Änderung des Rohrdurchmessers) Abdecken eines Hauses Turbulente und laminare Strömungen Magnuseffekt in Wasser EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler c) Oberflächenspannung u. Kapillarität Grenzflächen zwischen flüssig, fest und gasförmig Epot Beobachtung: Oberfläche einer Flüssigkeit an Gas verhält sich wie eine elastische Haut. r Beispiele: Wassertropfen, Seifenblase Kraft F zwischen zwei Molekülen F → r ← F F=0 Moleküle einer Flüssigkeit ziehen sich an ! Kohäsion = Anziehung zwischen den Molekülen einer Flüssigkeit - Im Inneren einer Flüssigkeit hat jedes Molekül viele Nachbarn (keine resultierende Anziehung, geringe Energie) - An der Oberfläche zum Gas gibt es weniger Nachbarn, d.h. es muß Arbeit geleistet werden um die Oberfläche zu vergrößern, d.h. um Moleküle an die Oberfläche zu bringen. EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler c) Oberflächenspannung Oberflächenspannung: Bei der Vergrößerung einer Flüssigkeitsoberfläche um ∆A muß Arbeit ∆W verrichtet werden. Oberflächenspannung σ= ∆W ∆A J m2 Beispiel: Benötigte Arbeit ∆W beim Herausziehen einer Lamelle, siehe Bilder rechts u unten. Vernachlässigung von Schwerkraft und resultierender Hubarbeit. ∆W ≡ F⋅ ∆s = σ⋅ ∆A = σ⋅ (2L⋅ ∆s) σ = F / 2L In diesem Fall bildet sich eine Oberfläche ∆A auf beiden Seiten, deshalb Randlänge = 2 Bügellänge L. F Querschnitt des Bügels mit beidseitigen Flüssigkeitsoberflächen. Oberflächenspannung σ = am Rand angreifende Kraft N m Länge des Randes (alternative Definition) Versuch Messung der Oberflächenspannung mit Lamelle EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler σ: eine Konstante, in begrenztem Bereich der äusseren Spannung (wie bei E,G,K), abhängig von Temperatur, evtl. gelösten Stoffen und von Umgebung (Außenmedium) Beispiele: Wasser : 7.29 . 10-2 J/m2 Benzol : 2.90 . 10-2 J/m2 Quecksilber : 47.1 . 10-2 J/m2 Tenside verringern die Oberflächenspannung drastisch. Ungestörte Oberflächen nehmen immer die kleinstmögliche Gesamtfläche ein (Minimalflächen). Wenn keine äußeren Kräfte wirken → Kugelgestalt, weil Kugel bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche hat. EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler ∆h Versuch Büroklammer EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler Versuch mit Seifenblasen Innendruck einer Seifenblase mit Kugelradius r als Folge der Oberflächenspannung σ : ∆p = pinnen – paussen = 2 σ / r Verbindet man verschieden große Seifenblasen, dann schluckt die große die kleine EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler Kapillaren Grenzflächen zwischen fest und flüssig: Abhängig davon, ob die Anziehungskraft (Adhäsion) zwischen Flüssigkeits- und Festkörpermolekülen oder die Kohäsion der Flüssigkeitsmoleküle stärker ist. Bei vollständiger Benetzung ist ϕ=0 Bei Kapillaren führt unterschiedliche Adhäsion entweder zu Kapillar-Attraktion Bsp.: Glas - Wasser oder Kapillar- Depression Bsp.: Glas - Quecksilber EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler Kapillaren Steighöhe: 2σ h= r ⋅ ρ Flüss ⋅ g (Herleitung: Glaskapillare vollständig benetzt F0= Randlänge σ = 2πr σ FG=(V ρ) g = π r² h ρ g F0=FG → 2r σ= r² h ρ g → obige Formel) EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler 6. Hydro- und Aerodynamik 6. Hydro- und Aerodynamik: (Strömung von Fluiden, also flüssigen und gasförmigen Substanzen) blaue Linien im linken Bild • Bahnen von Partikeln der Flüssigkeit • Dichte der Linien ist ein Maß für die Geschwindigkeit •Strömungsfeld charakterisiert durch Geschwindigkeitsverteilung im Raum •stationär = nicht zeitabhängig • (zunächst ohne Reibung, Viskosität) EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler a) Kontinuitätsgleichung Volumenstrom und Kontinuitätsgleichung : Volumenstrom durch eine Fläche Ai I = ∆V ∆t Kontinuitätsgleichung (für inkompressibles, ideales Fluid) I = ∆V ∆t = A i ⋅ v i = const. → v1/v2 = A2/A1 Die Strömungsgeschwindigkeit nimmt an einer Engstelle zu, Ursache der Beschleunigung ? EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler a) Bernoulli -Gleichung Energiebilanz an der Engstelle: Beschleunigung ← Kraft auf Strecke (Arbeit) ← Druckdifferenz (p2 > p1) Aus Energieerhaltung: kinetischer Energie + Stempelarbeit p∆V= const. folgt (ρ ⋅ v 2 2) + p = const = Gesamtdruc k Bernoulli Gleichung Staudruck (dynamischer Druck) + Stempeldruck (statischer Druck) = const. Ändert sich außer dem Rohrdurchmesser auch noch die Höhe h über dem Boden (ansteigendes oder abfallendes Rohr), so muß zusätzlich der Schweredruck berücksichtigt werden: (ρ ⋅ gh ) + (ρ ⋅ v 2 2) + p = const. EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler (Detaillierte Herleitung der Bernoulli-Gleichung Ekin= ½ ∆M ·v1² < ½ ∆M ·v2² , weil wegen der Kontinuitätsgleichung v1/v2 = A2 /A1. Energie-Erhaltung: ½ ∆M ·v2² - ½ ∆M ·v1² = Arbeit durch Druck 1444442444443 F1· ∆x1 – F2· ∆x2 =p1·A1· ∆x1 – p2·A2·∆x2=p1·∆V – p2·∆V ½ ∆M ·v²2 + p2·∆V = ½ ∆M·v²1+p1·∆V = const. (d.h. überall). Geteilt durch ∆V: ρ ⋅ v 2 + p = const. 2 EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler Folgen der Bernoulli-Gl.: Hydrodynamisches Paradoxon: In Bereichen mit hoher Strömungsgeschwindigkeit herrscht ein reduzierter statischer Druck Bunsenbrenner Haus im Sturm Innendruck > stat. Druck oben Zerstäuber Tragfläche EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler Weitere Beispiele für die Verringerung des statischen Drucks in Regionen hoher Geschwindigkeit: Die Gebiete zusammengedrängter Stromlinien (Unterdruck) ziehen An den Seiten der Scheibe (→Drehmoment im mittleren Bild) Beispiel: fallende Blätter EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler „Magnus-Effekt“ bei Umströmung eines rotierenden Körpers Wegen Adhäsion an der Kugeloberfläche führt Kugel eine Wasserschicht mit sich herum*. (*Superposition der Geschwindigkeiten, s. z.B. Bergmann-Schäfer Bd I) Dadurch ist Strömungsgeschwindigkeit des Wassers rechts größer als links. Der gleiche Effekt tritt bei rotierenden Bällen in Luft auf. EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler
