b) Drehimpuls Drehimpuls
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b) Drehimpuls Der Bewegungszustand eines rotierenden Körpers wird durch seinen Drehimpuls L beschrieben. Analog zum Drehmoment nimmt der Drehimpuls mit dem Impuls p und dem Bahnradius r zu. Für Massenpunkt auf Kreisbahn: L=r· p Für Massenpunkt auf beliebiger Bahn im Raum: r r r L = r xp r r Entsprechend F = dp dt ändert ein Drehmoment den Drehimpuls, denn r r r r Vektorprodukt auf beiden Seiten, r x F = r x dp / dt r r dL M= dt ergibt: Treten keine äußeren Drehmomente auf (M=0), ist der Gesamtdrehimpuls erhalten (L=const.) EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Beispiele zur Drehimpulserhaltung Kreisel: sowohl Betrag als auch Richtung des Drehimpulses (Achse) bleiben erhalten Solange keine äußeren Drehmomente wirken, bleibt der Gesamtdrehimpuls des Systems (Person + Schwungrad) erhalten (da der Drehimpuls des Rads geändert wird, muss die Person ein inneres Drehmoment ausüben). EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Drehimpuls starrer (ausgedehnter) Körper - Alle Elemente rotieren mit fester Winkelgeschwindigkeit ω r r - Summation über Massenelemente r L = ∑ ri × p i Wegen pi=mi· vi=mi · Ri · ω lassen sich die Beiträge der Massenelemente im Trägheitsmoment zusammenfassen: I = ∑ m i ⋅ R i2 = ∫ R i2 ⋅ dm i Die ‘Rotationsträgheit’ eines Körpers steigt quadratisch mit dem Abstand der Massenelemente von der Drehachse L = I⋅ω vektoriell: r r L = I⋅ω Vektoren r L und r ω in Richtung der Drehachse EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Beispiele zur Drehimpulserhaltung Drehimpuls (erhalten) L = I ⋅ω mit Trägheitsmoment I = ∑m ⋅ R i 2 i i Rotierende Hantel: ω1 ω2 Bremsen der Rotation durch Ausdehnen der Massenverteilung ω3 ω1 : ω2 : ω3 = (1/1,2) : (1/2,3):1/8 EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Beispiele für Trägheitsmomente Hohlzylinder I = m · R² Vollzylinder I = (1/2) mR² Kugel I = (2/5) mR² m = Gesamtmasse ; Drehung um Zylinderachse bzw. um Achse durch Mittelpunkt der Kugel. Steinerscher Satz Trägheitsmoment eines Körpers für beliebige Drehachse A IA = Ic.m. + Ma² wobei Ic.m. = Trägheitsmoment für Achse parallel zu A durch Schwerpunkt, a = Abstand zwischen beiden Achsen M = Gesamtmasse des Körpers EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Rotationsenergie (kinetische Energie der Rotationsbewegung) für Massenpunkt: 2 1 kin , rot 2 E = m(rω) Für Körper mit Trägheitsmoment I : Ekin , rot = 12 I ⋅ ω2 Beispiel: Rollende Körper gleicher Masse und gleichen Durchmessers aber unterschiedlicher Massenverteilung auf schiefer Ebene Trägheitsmoment nimmt von links nach rechts ab, Rotationsenergie ebenfalls, deshalb nimmt kinetische Energie der Translation von links nach rechts zu. Zieleinlauf EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Vergleich Drehbewegung - Translationsbewegung Rotation Translation Winkel φ [rad] Weg Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Trägheitsmoment r M rot = r r = rxF ∆ϕ ∆t ∆ω ∆t I = Σ∆ m i r i Rotationsenergie E Drehmoment ω = 1 Iω 2 bzw. r r r s = x2 − x4 Ort Geschwindigkeit Beschleunigung 2 Masse 2 r x oder r r ∆s v = ∆t ∆v ∆t M = Σ∆ m i Translationsenergie E Kraft r r kin = 1 Mv 2 2 r F M = r ⋅ F ⋅ sin α Drehimpuls r r L = I⋅ω Impuls r r p = M ⋅v Mit der „Übersetzungsvorschrift“ v → ω, m → I, p → L , F → M können alle Gesetze der linearen Bewegungen (Translation) in die Drehwelt übertragen werden, z.B. Dynamische Gleichungen r r ∆(I ⋅ ω ) M= ∆t r ∆( pv ) F= ∆t Erhaltungssätze für abgeschlossene Systeme r Σ L i = const r Σpi = const EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler 4. Mechanische Eigenschaften von Stoffen Protonen Neutronen Kernkräfte Atomkern Elektronen Elektrische W.W. (Coulomb W.W.) Atom Atom Atom Elektrische W.W. (Coulomb-, v.d. Waals W.W., H-Brückenbindung) (Gas-)Molekül, Flüssigkeit, Festkörper EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Gas Flüssigkeit Festkörper Dichte in kg m-3 Luft Ca. 1,3 H2O Ca. 1000 Stahl 7900 Ordnung Keine Ordnung Nahordnung; große Schwankungen der Atomabstände um einen Mittelwert r0 Regelmäßige Struktur (Kristallgitter); geringe Abstandsschwankungen infolge thermischer Bewegung Form nicht formbeständig nicht formbeständig (falls dünnflüssig); Formbeständig (falls zähflüssig, z.B. Glas) formbeständig Energiebilanz thermische Energie größer als Bindungsenergie thermische Energie ausreichend zur Verschiebung der Atome gegeneinander thermische Energie klein gegen Bindungsenergie EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler a) Deformation von Festkörpern Verformungen: Dehnung - Stauchung Scherung - Torsion Biegung - Knickung EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler a) Deformation von Festkörpern Dehnung - Stauchung Hooke’sches Gesetz: F = D . x Die Länge L ändert sich beim Anlegen einer Kraft F um ∆L, wobei ∆L F = E ⋅ A⋅ = D ⋅ ∆L L E: Elastizitätsmodul (statt Federkonstante) Man nennt: ∆L F σ = E⋅ = L A N m2 „mechanische Spannung“ Zahlenwerte für Elastizitätsmodul (E in 109 Nm-2): (groß = steif) Al: 73 Cu: 125 Fe: 216 Beton: 10 EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler a) Deformation von Festkörpern Das Hooke’sche Gesetz gilt nur für kleine,elastische Verformungen Spannungs-Dehnungs-Diagramm Über den elastischen Bereich hinaus beginnen manche Stoffe zu fließen, bis zum Zerreißen Spröde Materialien: keine plastische Verformung möglich Plastische (=bleibende) Verformung: Durch Gleiten längs bestimmter Gitterebenen Hooke Das wird energetisch möglich, indem Versetzungen wandern: EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler a) Deformation von Festkörpern Scherung und Torsion Kraft greift tangential an. Relevante physikalische Größe: Schubspannung F σS = A Führt zur Scherung um den Winkel: α = σ s / G Verdrehen (Torsion) z.B. eines Drahtes läßt sich auf Scherung zurückführen Kompression von Festkörpern: G= Schub-, Scher-, Torsionsmodul EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler a) Deformation von Festkörpern Biegung und Knickung: außen: Zugkräfte innen: Druck gestrichelt: “neutrale Zone”, ändert Länge nicht Jenseits des elastischen Bereichs: Verformung bis zum Knicken des Balkens Bei Druckbelastung längs eines Objektes (Knochen, Balken) weicht das Objekt aus, bis es bricht. Hier ist die Knickspannung proportional zu E (Elastizitätsmodul) EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler a) Deformation von Festkörpern Knochen: kleine Kristalle (50 nm) in elastischer Fasermatrix Spannbeton: Beton (druckfest, nicht zugfest), kombiniert mit Stahl (elastisch, zugfest) Kohlefaser- oder glasfaserverstärkte Plastikmaterialien Detaillierte Beschreibung von Spannung, Druck im Knochengerüst in Kamke/Walcher (Kap. 6.3.3) EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler b) Hydrostatik, Hydrostatik, Aerostatik Hydrostatik – Lehre von ruhenden Flüssigkeiten: fest flüssig gasförmig •Bindungsenergie ~ kinetische Energie der Teilchen •Keine Scherelastizität (Teilchen gleiten aneinander) •Kaum komprimierbar (fast wie Festkörper) •Starke Kohäsionskräfte (Oberflächenspannung) EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Hydrostatik – Lehre von ruhenden Flüssigkeiten: Die Oberfläche einer Flüssigkeit steht immer senkrecht zu wirkenden Kräften (hier Wand und Schwerkraft) Eine flache Oberfläche ist energetisch am günstigsten, eine Flüssigkeit zerfließt EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Stempeldruck (vernachlässigbare Schwerkraft): Eine Kraft F drückt senkrecht auf einen beweglichen Stempel der Fläche A, der ein Gefäß abschließt Druck p = Kraft F N Fläche A m2 1 Pa = 1 N m2 = 10−5 Bar Der Druck breitet sich in alle Richtungen gleichmäßig aus (isotrop), an allen Stellen der inkompressiblen Flüssigkeit und an allen Ausgängen herrscht der gleiche Druck p = F/A EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler Anwendung: Hydraulische Presse Hebelgesetz der Hydrostatik: Betrachten wir eine Verschiebung um den Weg s1 (entspricht Flüssigkeitsvolumen V1), wodurch der Kolben rechts um s2 angehoben wird. Dann wird links die Arbeit F1· s1 = F1· V1 / A1 geleistet. Sie ist gleich der am rechten Kolben geleisteten Arbeit F2· s2 = F2· V2 / A2 , weil V1 = V2 (Inkompressibilität) und weil F1/A1 = F2/A2 Damit ist Energieerhaltung gewährleistet. EPI WS 2006/07 Dünnweber/Faessler
