Hans Walser, [20110118a] Parallelogramm und regelmäßiges

Hans Walser, [20110118a]
Parallelogramm und regelmäßiges Vieleck
Anregung: M.N. D., N.
1 Beispiele
Wir setzen auf zwei Seiten eines Parallelogramms ein gleichseitiges Dreieck an.
Parallelogramm und Dreiecke
Die freien äußeren Ecken können wir zu einem weiteren gleichseitigen Dreieck verbinden.
Drittes gleichseitiges Dreieck
Entsprechend geht es auch mit Quadraten.
Hans Walser: Parallelogramm und regelmäßiges Vieleck
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Quadrate
Auch mit regelmäßigen Fünfecken funktioniert es.
Regelmäßige Fünfecke
Natürlich vermuten wir, dass das allgemein mit einem Parallelogramm und regelmäßigen n-Ecken geht.
2 Beweis
Bezeichnungen gemäß Abbildung.
3/3
Hans Walser: Parallelogramm und regelmäßiges Vieleck
Bezeichnungen
Zusätzlich sei λ = π − 2π
der Innenwinkel des regelmäßigen n-Eckes.
n
Zunächst sind die Dreiecke ADE und CED kongruent. Sie haben zwei Seiten und deren
Zwischenwinkel gemeinsam. Der Zwischenwinkel ist ε = 2π − α − λ .
Daher sind die Seiten DE und DF gleich lang. Wir müssen noch nachweisen, dass sie
den Winkel λ einschließen. Tatsächlich ist:
!EDF = !EDA + β + !CDE = !EDA
+ !CDE
"$$#
$$% + β
=π− ε
= !EDA
+ !CDE
+β+λ=λ
"$$#
$$% + β = −π + α
&
=π− ( 2π−α − λ )
=π