Mathematik für Informatiker III

Lösungen zum 13. Aufgabenblatt zur Vorlesung
Mathematik für Informatiker III
(Frank Hoffmann)
1. Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte, diskreter Fall
In einem Mannschaftswettbewerb schießen drei Schützen auf drei gleichzeitig aufsteigende Tontauben, wobei jeder Schütze einen Schuss auf eine der drei Tauben abgeben
kann. Die Aufgabe ist erfüllt, wenn in einer Runde alle drei Tauben getroffen sind. Andernfalls geht es in die nächste Runde mit drei neuen Tontauben. Man geht davon aus,
dass jeder Schütze die Wahl seines Ziels in jeder Runde unabhängig von den Vorrunden
und von der aktuellen Entscheidung der Mitspieler zufällig und gleichverteilt trifft.
(a) Angenommen, alle Schützen treffen garantiert ihr Ziel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Runde erfolgreich endet?
Lösung: Bei 6 der 27 Möglichkeiten zielen die Tontaubensportschützen auf alle 3
Tontauben. Damit ist die Erfogswahrscheinlichkeit 2/9.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Aufgabe nach genau k Runden erfüllt
ist (k = 1, 2, . . .) und wie hoch ist der Erwartungswert für die Anzahl der Runden?
Lösung: Zuerst k − 1 Mal Misserfolg, danach Erfolg ergibt (7/9)k−1 · (2/9). Das
Ganze ist geometrisch verteilt, also ist E(X) = 9/2
(c) Analysieren Sie die Situation für eine zweite Gruppe von Schützen, bei der die Trefferwahrscheinlichkeit jeweils 0.5 ist. Bestimmen Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit
für eine Runde und die erwartete Rundenzahl in einem Spiel.
Lösung: Jetzt ist die Erfolgswahrscheinlichkeit (2/9)(1/8) = 1/36 und der Erwartungswert für die Rundenzahl ist 36.
(d) Um ihre Chancen zu erhöhen schummelt die zweite Gruppe ein wenig. Schütze 1
und Schütze 2 treffen eine Verabredung, so dass sie in jedem Fall zwei verschiedene Tauben wählen. Spieler 3 wählt weiterhin unabhängig und gleichverteilt. Wie
verändert sich die erwartete Rundenzahl.
Lösung: Es gibt jetzt 6 · 3 = 18 Möglichkeiten für die Zielauswahl und bei 6 davon
zielen sie auf alle 3 Tauben. Treffen sie immer noch mit 0.5 Wahrscheinlichkeit,
so ist die Erfolgswahrscheinlichkeit in einer Runde 1/24 und es dauert erwartet 24
Runden bis zum Erfolg.
2. ZV, Erwartungswert und Varianz, stetiger Fall
Wir betrachten das Einheitsquadrat Ω = [0, 1]2 im R2 zusammen mit der Gleichverteilung. Eine Zufallsvariable X ordnet einem Punkt p = (a, b) den Wert |a − b| zu.
Machen Sie zunächst anhand einer Skizze klar, für welche Punktemenge der Wert von
X kleiner oder gleich einem vorgegebenen x ∈ R ist. Bestimmen Sie dann Verteilungsund Dichtefunktion. Rechnen Sie danach Erwartungswert und Varianz von X aus.
Stellen Sie eine allgemeine Formel für E(X k ) mit k ≥ 1 auf.
Lösung:
(1, 1)
1−x
x
x
x
(0, 0)
1−x
Wie in der Abbildung zu sehen entspricht die Punktemenge aller Punkte, bei denen
der Wert von X kleiner oder gleich einem vorgegebenen x ∈ R ist einem Streifen mit
(vertikaler und horizontaler) Breite 2x um die y = x–Diagonale, dessen Flächenanteil
am Einheitsquadrat ist für 0 ≤ x ≤ 1 gleich 1 − (1 − x)2 = 2x − x2 . Für die Verteilungsfunktion FX (x) ergibt sich

0 : x<0

2x − x2 : 0 ≤ x ≤ 1
FX (x) =

1 : x≥1
Damit haben wir für die Dichtefunktion fX (x):
fX (x) =
Wegen E(X k ) =
R∞
E(X ) =
k
k
−∞ x fX (x)dx
Z
0
1
0 : x<0
2 − 2x : 0 ≤ x ≤ 1

0 : x≥1


ergibt sich für das k–te Moment
x (2 − 2x)dx =
k
x=1
2xk+1 2xk+2 2
=
−
k+1
k + 2 x=0 (k + 1)(k + 2)
Damit ist der Erwartungswert der ZV gleich E(X) = 1/3, für die Varianz folgt
V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 = 1/6 − 1/9 = 1/18.
3. Varianzen
(a) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit nach unten ab, dass bei n Würfen eines fairen
√
√
Würfels die Anzahl der Sechsen zwischen n/6 − n und n/6 + n liegt.
Lösung: Hier handelt es sich um ein binomialverteiltes Zufallsexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Wir können also leicht Erwartungswert sowie Varianz bestimmen:
E(X) = n · p = n/6 und V ar(X) = n · p · (1 − p) = n/6 · 5/6 = 5/36 · n.
Wir schätzen nun mit der Tschebyschev-Ungleichung ab:
√
√
√
P r (n/6 − n < X < n/6 + n) = P r (|X − n/6| < n)
√
= 1 − P r (|X − n/6| ≥ n)
≥ 1−
V ar(X)
√ 2
n
= 1−
5/36·n
n
= 31/36.
(b) Es gibt einen einfachen Zusammenhang zwischen der Varianz einer Zufallsvariable
X und der Varianz von aX + b mit a, b ∈ R. Finden und beweisen Sie ihn.
Lösung: Wir benutzen den Zusammenhang V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 und
nutzen die Linearität des Erwartungswertes aus:
V ar(aX + b) = E((aX + b)2 ) − E(aX + b)2
= E(a2 X 2 + 2abX + b2 ) − (E(aX) + E(b))2
= E(a2 X 2 ) + E(2abX) + E(b2 ) − (E(aX)2 + 2E(aX)E(b) + E(b)2 )
= a2 E(X 2 ) + 2abE(X) + b2 − (aE(X))2 − 2abE(X) − b2
= a2 E(X 2 ) − a2 E(X)2
= a2 (E(X 2 ) − E(X)2 )
= a2 V ar(X).
4. Markov und Tschebyschev
Wir würfeln mit 3 fairen unterscheidbaren Würfeln bis die Summe der Augen bei einem
Wurf 8 ist. Schätzen Sie sowohl mit der Markov– als auch der Tschebyschev–Ungleichung
die Wahrscheinlichkeit ab, dass dies mindestens viermal solange dauert wie im Erwartungswert.
Lösung:
Es gibt 21 Würfelergebnisse, die Summe 8 liefern, jeweils drei für {1, 2, 6} und {2, 2, 4}
und {3, 3, 2} sowie sechs für und {1, 2, 5} und {1, 3, 4}. Damit ist die Erfolgswahrschein7
21
lichkeit bei einem Wurf P r(Σ = 8) = 216
= 72
. Wir haben eine geometrische Verteilung
1
und damit E(X) = p = 72/7 und V ar(X) = 1−p
= 95.5. Die Markov–Ungleichung
p2
liefert
E(X)
1
P r(X ≥ 4E(X)) ≤
= .
4E(X)
4
Mit Tschebyschev erhalten wir
P r(|X − E(X)| > 3E(X)) ≤
V ar(X)
95.5
=
= 0.1003
2
2
9(E(X))
9 · ( 72
7 )