Uebungsblatt 4 File

Statistik Übungsblatt 4
1. Verteilung 1
Gegeben sei die folgende Funktion f (x) =
1.
3
4
+ 3x2 −
15 4
4 x
zwischen 0 und
(a) Zeige, dass es sich um eine Wahrscheinlichkeitsdichte handelt.
(b) Wo ist der häufigste Wert? (das maximum der Funktion) und wie
gross ist die Wahrscheinlichkeit diesen Wert zu erhalten?
(c) Wieviel Prozent der Werte liegen zwischen
√1
2
und 1 ?
(d) Wie gross ist der Erwartungswert?
(e) Wie gross ist die Varianz?
(f) Wie gross ist E( 21 x2 )?
Lösung
(a) Da die Nullstellen bei ±1 liegen, die Funktion stetig ist und f (0) =
R1 3
3
15 4
2
dx =
4 > 0 ist der Funktionswert ≥ 0. Zusätzlich ist
4 + 3x − 4 x
0
3
3 5 1
3
3
3
4 x + x − 4 x 0 = 4 + 1 − 4 − 0 = 1. Also ist es eine Wahrscheinlichkeitsdichte.
q
q 2
=
(b) Es gilt f ′ (x) = 6x − 15x3 =⇒ NS bei ± 25 und 0. Da f ′′
5
q
q 2
27
−12 ist das Maxima bei 25 , f
5 = 20 und die Wahrscheinlichkeit ist 0.
1
R1 3
15 4
2
√ = 0.249
dx = x 43 + x2 − 43 x4 √1 = 1 − 1617
(c)
4 + 3x − 4 x
2
2
1
√
2
(d) E(X) =
15
24
−0=
(e) E(X 2 ) =
15
28
(f)
R1
x
0
1
2
R1
x2
3
4
+ 3x2 −
3
4
15 4
4 x
+ 3x2 −
15 4
4 x
dx =
0
11
35 = 0.314 =⇒ V ar(X)
11
= 12 E(X 2 ) = 21 · 35
−0=
E( 21 x2 )
dx =
1
3 2
8x
+ 43 x4 −
1 3
4x
15 6 1
24 x 0
+ 35 x5 −
15 7 1
28 x 0
= E(X 2 ) − E 2 (X) =
3
8
=
=
9
140
1
4
+
3
4
−
+ 35 −
= 0.064
2. Verteilung 2
Bei einem Kessel mit kontinuierlichem Zu- und Abfluss ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen den Kessel bis zur Zeit t verlassen hat durch
V̇ t
P (t) = 1 − e− V (0 ≤ t < ∞) gegeben. Berechne den Erwartungswert der
Zeit und die Varianz der Verteilung. Wieviel Prozent der Teilchen haben
den Kessel bis zur Zeit 5s verlassen? Wieviel Prozent der Teilchen verlassen den Reaktor zwischen der Zeit t = 3s und t = 5s?
Hinweis:
R
ex xdx = xex − ex + c und
V
V̇
, V ar(X) =
R
ex x2 dx = x2 ex − 2xex + 2ex + c
Lösung
E(x) =
2V 2
V̇ 2
−
2
V
V̇
=
V
V̇
5V̇
. Es haben p = 1 − e− V der
5V̇
Teilchen den Reaktor nach 5s verlassen. Es verlassen p = 1 − e− V − (1 −
3V̇
5V̇
3V̇
e− V ) = e− V − e− V Prozent der Teilchen den Reaktor.
3. Verteilung 3
Die Korngrössen beim mahlen werden häufig durch die Dichte f (x) =
e
√1
2πσ
−
(ln(x)−µ)2
2σ 2
x
beschrieben (x ist dabei die Teilchengrösse von 0 bis un-
endlich). Verwende bei der Übung µ = 0 und σ = 1.
Tipp: Substituiere bei der Integration u = ln(x) und
R∞
e−
x2
2
dx =
√
2π
−∞
(a) Zeige dass f (x) eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
(b) Berechne das Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte.
(c) Berechne den Erwartungswert der Teilchengrösse. Substituiere dazu
das u nachher noch mit v = u − 1.
(d) Berechne den Varianz der√Teilchengrösse. Substituiere dazu das u
nachher noch mit v = u − 2
Lösung
(a) f (x) ≥ 0, da eine e-Funktion immer positiv und x auch positiv
R∞
ist. Zu zeigen
f (x)dx = 1. u = ln(x) =⇒ dx = x · du =⇒
R∞
−∞
√1
2π
u2
e− 2
x
0
xdu = 1
x·e−
(ln(x))2
(ln(x))2
−ln(x)
2
2
−e−
x
·1
!
(ln(x))2
(b) f ′ (x) =
= e x22
x2
xmax = e−1 und damit Maximum bei f (xmax ) =
2
−
(−ln(x) − 1) =⇒
1
√1 e 2 .
2π
(c) Erwartungswert: E(X) =
0
Substitution führt auf:
√1
2π
e
1
2
R∞
eu e−
u2
2
du =
−∞
√1
2π
R∞
R∞
x √12π e
e−
−
(ln(x))2
2
x
u2 −2u+1−1
2
R∞
dx =
0
R∞
1
du =
−∞
e2
√
2π
(d) Varianz (E(X 2 )−E 2 (X). Wir berechnen E(X 2 ) =
0
x √12π e−
(ln(x))2
2
e−
(u−1)2
2
dx
du =
−∞
R∞
0
R∞
2
(ln(x))
√1 e−
2
2π
x2 √12π e
−
(ln(x))2
2
x
dx =
dx Substitution führt auf:
R∞ − (u−√2)2
1
2
e
du = √e2π
du =
−∞
−∞
−∞
1 2
e1 und somit auf eine Varianz von e1 − e 2 = 0
√1
2π
R∞
e2u e−
u2
2
du =
√1
2π
R∞
e−
u2 −4u+2−2
2
4. Erlang Verteilung
Bei einer Kasakade von n Reaktoren mit gleichem Voluminas kann die
Wahrscheinlichkeitsdichte des Verlassens des Kessels zur Zeit t ≥ 0 durch
die Erlang Verteilung beschrieben werden.
p(t) =
λn tn−1 −λt
(n−1)! e
(a) Ist dies eine Verteilung?
(b) Wo besitzt die Verteilung ein Extremum?
(c) Berechne die α Quantile. (Benutze das Symbol α0 , da das Symbol α
schon benutzt wird)
Hinweis: Benutzt dazu die folgende Stammfunktion.
R∞ a −bx
a!
x e dx = ba+1
gilt nur für a > 0 und eine ganze Zahl.
0
Lösung
(a) Ja. Da p(x) ≥ 0 (exp Funktion ist immer grösser 0) und da
n
(n−1)!
λ
(n−1)! λn−1+1
ein
p(x)dx =
0
=1
n
λ
n−2 −λt
e
+tn−1 (−λ)e−λt und
(n−1)! ((n−1)t
Extrema bei t = (n−1)
(muss Maxima sein)
λ
(b) p′ (x) =
R∞
3
damit erhält man