AG-EulerThemen in 03/04
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AG-Euler-Themen im Schuljahr 2003/04- Dr.Alexander Unzicker
16.10.03................................................................................................................................................ 3
Wo sind wir ? Entdeckung Galaxien - Hubbleexpansion......................................................................................................................3
Folgen und Reihen ....................................................................................................................................................................................3
Warum die Zeit auf der Zugspitze schneller vergeht, und was das mit Geometrie zu tun hat (021024)..........................................3
Die Gammafunktion – was Zufall mit Flächenberechnung zu tun hat................................................................................................4
ArcSinfunktion, gespiegelter Sin, Tricks mit Ableitung dy/dx ............................................................................................................ 4
Was mit der Hubble-Expansion nicht stimmt, Dunkle Energie, und Einsteins 'Eselei'.....................................................................4
13.11.03................................................................................................................................................ 5
Eine Funktion ohne Stammfunktion – Integrieren von Kreisringen................................................................................................... 5
Die Bestätigung von spezieller (SR) und allgemeiner Relativitätsthorie (AR) in zwei Flugzeugen...................................................5
Kreiselexperiment nach 40 Jahren endlich im Weltraum- Gravity Probe B...................................................................................... 6
Atome nehmen Energieportionen auf- der Versuch von Frank und Hertz.........................................................................................6
Eine Matrix macht aus einem Vektor einen anderen- wie geht das ?.................................................................................................. 6
Die Drehungen im dreidimensionalen Raum- eine merkwürdige Art von Zahlen (vgl.24.10.02)..................................................... 7
Thirring-Lense-Effekt – die Mathematik zu Gravity Probe B............................................................................................................. 7
18.12.03................................................................................................................................................ 7
Kosmische Hintergrundstrahlung (vgl. 13.02.03).................................................................................................................................. 7
Dunkle Materie - Rotationsspektren von Galaxien (vgl. 13.02.03).......................................................................................................7
Skalarprodukt von Vektoren.................................................................................................................................................................. 8
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren................................................................................................................................................... 8
Lineare Abhängigkeit und Skalarprodukt von Polynomen.................................................................................................................. 8
22.01.04................................................................................................................................................ 8
Heisenbergsche Unschärferelation.......................................................................................................................................................... 9
Folgen und Reihen ....................................................................................................................................................................................9
Beweis mit Induktion................................................................................................................................................................................ 9
Crashkurs Hydrodynamik ...................................................................................................................................................................... 9
Abschätzung von Reihen durch Integrale ............................................................................................................................................10
Die Chandrasekhar-Grenzmasse oder die Sonne als großer Atomkern............................................................................................10
Ableitungen eines Vekorfeldes............................................................................................................................................................... 11
04.03.04.............................................................................................................................................. 11
Farben-Helligkeits-Diagramm oder HRD............................................................................................................................................ 11
Allgemeine Gasgleichung und Barometrische Höhenformel.............................................................................................................. 12
Vakuumfluktuationen und Casimireffekt.............................................................................................................................................12
Komplexwertige Funktionen..................................................................................................................................................................13
Freier Elektronenlaser ...........................................................................................................................................................................13
Die Kochkurve: ein Fraktal....................................................................................................................................................................13
29.04.04.............................................................................................................................................. 14
Die dreidimensionale Cellosaite oder die Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms (021024).........................................................14
Goldbachsche Vermutung, Primzahlenpaare.......................................................................................................................................14
Riemannsche Zetafunktion.....................................................................................................................................................................15
Physik der echten Luft: Van der Waals-Gleichung............................................................................................................................. 15
Brachistochrone und Zykloide – der schnellste Weg, eine ganz neue Aufgabenart......................................................................... 15
Genetische Algorithmen - Neuronale Netze..........................................................................................................................................16
Stokesscher und Gausscher Integralsatz...............................................................................................................................................16
Kugelsternhaufen, Sterndiagramme und Alter der Galaxis............................................................................................................... 16
Wieviele Taxis gibt es in der fremden Stadt ?- amüsante Kombinatorik.......................................................................................... 16
Versetzungen in Kristallen – benehmen sich (fast) wie Elektronen (030213)................................................................................... 17
Einsteins Versuche, die Gravitation mit dem Elektromagnetismus zu vereinen (030213).............................................................. 17
27.05.04.............................................................................................................................................. 17
Der Photoeffekt -'sehr revolutionär'..................................................................................................................................................... 17
Polarisation von Licht, Brewsterwinkel ............................................................................................................................................... 18
Taylorreihe- alles nur eine Polynomfunktion ?....................................................................................................................................18
Laserkühlung, Sisyphoskühlung – Nobelpreis fast in München (021114)........................................................................................18
Nuklidkarte, Zerfallsarten, magische Zahlen.......................................................................................................................................19
Einfache Diffferenzialgleichungen, Trennung der Variablen ............................................................................................................19
Pfeilfunktion und neuartige Rechenarten.............................................................................................................................................20
08.07.04.............................................................................................................................................. 20
Die Natur hat zwei Hände: Schraubensinn bei Elementarteilchen .................................................................................................. 20
Phantastische Waage in den Weiten der Milchstraße: Taylor-Hulse- Pulsar (NP 1993).................................................................20
Messungen der Gravitationskonstante G und die verrückte Idee von Dirac ................................................................................... 21
Einstein war baff – das Äquivalenzprinzip ..........................................................................................................................................21
Reelle Zahlen- Komplexe Zahlen- Quaternionen - .... - ..................................................................................................................... 21
Newtonverfahren.....................................................................................................................................................................................22
16.10.03
Wo sind wir ? Entdeckung Galaxien - Hubbleexpansion
Unsere Galaxie (Milchstraße genannt, im Bild eine ähnliche Galaxie!) enthält
ca. 1011 Sonnen; wir befinden uns relativ weit außen (ca. 80% des Radius).
Von der Seite gesehen sind solche Spiralgalaxien flache Scheiben. Die uns
nächstgelegene kann man gut mit einem Fernglas sehen (Andromeda,
momentan am Nachthimmel unweit des Pegasus-Vierecks). Sie wurde 1929
von E. Hubble als solche erkannt. Mit seinem neuen Teleskop entdeckte
Hubble bald eine weitere interessante Tatsache: fast alle Galaxien scheinen
sich von uns wegzubewegen, und zwar umso schneller, je weiter sie von uns
entfernt sind. Natürlich kommt unserer Galaxie keine besondere Rolle zu
sondern andere Galaxien würden dies ebenso beobachten. Dies ist Zeichen
einer gleichmäßigen Expansion des Weltalls (Hubble-Expansion). Nimmt
man an, dass alle Galaxien ihre Geschwindigkeit beibehalten haben (das ist
nicht sicher!) kann man die Bewegung zurückrechnen und erhält einen
Zeitpunkt vor 13,7 Milliarden Jahren, bei dem das ganze heute sichtbare All
auf einem Punkt zusammengedrückt war (Urknall). Über die näheren
Umstände gibt es aber wenig gesichertes Wissen. Tolle Bilder findet ihr im
Internet unter dem Stichwort APOD oder bei Google Bilder. Sehr interessant
ist www.astronews.com
Die Entfernung der Galaxien wird über Helligkeiten gemessen (je näher, desto heller erscheint eine
Lichtquelle), die Geschwindigkeit mit der sog. Doppler-verschiebung, die man jeden Tag im Straßenverkehr
selber beobachten kann wenn ein hinreichend schnelles Auto, das Schall erzeugt, einen passiert: das Geräusch
ist erst höher und im Moment des Vorbeifahrens wird es schlagartig tiefer, man könnte sogar nur anhand des
Intervalls die Geschwindigkeit abschätzen. Licht verhält sich analog: Ist es rotverschoben, so ist die Frequenz
niedriger, das emittierende Objekt entfernt sich also vom Beobachter. Ist es blauverschoben, so umgekehrt. Die
Frequenzen kennt man, weil Wassertsoffatome ganz bestimmtes Licht aussenden.
Folgen und Reihen
Hintereinander aufgeschriebene Zahlen nennt man
Folgen, manchmal werden diese für IQ-Tests
benutzt, z.B.
1,2,5,12,27,58 = an = 2n-n oder
1,1,2,3,5,8,13, (an+1 = an + an-1 ,Fibonacci),
letztere Art nennt man rekursiv definiert, weil es
nicht wie beim ersten Beispiel eine allgemeine
Formel gibt.
Eine Reihe besteht dagegen immer aus einer
aufsummierten Folge, z.B.
k
1+ 4+ 9+16+... = ∑ n
Hat eine Reihe unendlich viele Glieder, ist die Frage
interessant, ob die Summe einen Grenzwert nicht
überschreitet d.h. konvergiert, oder unendlich groß
wird (bzw. hin-und-herspringt), also divergiert.
Eine besonders prominentes Exemplar ist die
geometrische Reihe, z.B. (q= ½)
n
1 − q n +1
n
1+ ½ + ¼ +... = ∑ q =
, q eine beliebige
1− q
n =0
Zahl ist. ist 0 < q <1, konvergiert die unendliche
∞
1
n
Reihe: ∑ q =
.
1− q
n =0
2
n =1
Warum die Zeit auf der Zugspitze schneller vergeht, und was das mit Geometrie zu tun hat (021024)
Die Allgemeine Relativitätstheorie (Einstein, 1915) sagt u.a. aus, dass die Zeit in Gravitationsfeldern langsamer
vergeht. Da das Gravitationsfeld der Erde auf der Zugspitze etwas schwächer ist, vergeht die Zeit dort
schneller, und eine Atomuhr, die sich dort einige Zeit befand, wird nach der Rückkehr nach München vorgehen.
Betrachtet man die Zeit als gleichwertige Koordinate, so könnte man auch sagen, dass sich in der Raum-zeitebene kein Rechteck mehr zeichnen läßt (Ecken stimmen nicht mehr überein). Dies kann man als Krümmung
der 4-dimensionalen Raumzeit auffassen.
Der Faktor, um den die Zeit langsamer vergeht, ist übrigens 1 −
2GM
rc 2
(Masse M, Abstand r davon, c= 3⋅108
m/s Lichtgeschw, G=6,67 10-11 m3/s2 kg Gravitationskonstante)
Feynman: Vorlesungen über Physik, Band 2 (Oldenbourg), Kap. 42-7.
Die Gammafunktion – was Zufall mit Flächenberechnung zu tun hat
6 Personen haben 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6 = 720 Möglichkeiten, auf 6 Stühlen 20
Platz zu nehmen. Man nennt dies abgekürzt 6! (sprich 6 Fakultät).
15
Mathematiker stellen sich das Problem: kann man dies sinnvoll
auch für reelle Zahlen definieren, z.B. 2,3! Direkt multiplizieren
10
ergibt nicht viel Sinn, denn wo aufhören: 2,3⋅1,3⋅0,3⋅ ? Die Lösung
des Problems kam aus einem ganz anderen Gebiet: die
5
Exponentialfunktion ex wächst schneller als jede
Polynomfunktion, d.h. auch x1000 wird für große x irgendwann von
2
4
6
8
10
12
14
ex übertroffen. Umgekehrt wird jede Funktion wie z.B. f(x) =x5:
ex irgendwann sehr klein:
Irgend jemand kam auf die Idee, die Fläche unter dieser Funktion auszurechnen: das Ergebnis war 120, also 5
Fakultät! Allgemein gilt: die Fläche unter f(x) =xn : ex ist gleich n Fakultät. So läßt sich auch einfach 2,3!
berechnen: es gibt nur eine etwas andere Kurve mit der Fläche 2,68344. Die mathematischen Tricks zur
Flächenberechnung nennt man Integration, im Prinzip das Gegenteil von Ableiten.
ArcSinfunktion, gespiegelter Sin, Tricks mit Ableitung dy/dx
1.5
Die trigonometrischen Umkehrfunktionen wie z. B. Arcussinus (s. Bild) hat
man zu Unrecht aus den Schulbüchern verbannt, obwohl sich hübsche
Spielchen mit der Ableitung machen lassen: f ´(x) kann man bekanntlich
verständnisfördernd als dy/dx schreiben. Starten wir also mit y = arcsin x,
dann ist definitionsgemäß x = sin y, und mit vertauschten variablen dx/dy =
cos y. Nach dem trigonometrischen Pythagoras gilt aber cos y = 1 − (sin y ) 2
1
0.5
-1
oder einfach 1 − x . Daher ist dy/dx der Kehrwert 1/ 1 − x die Ableitung
von arcsin x. Praktisch ist diese Methode auch für die herleitung der
Wurzelableitung, für die Exponentialfunktion und den Logarithmus.
2
-0.5
0.5
1
-0.5
2
-1
-1.5
Was mit der Hubble-Expansion nicht stimmt, Dunkle Energie, und Einsteins 'Eselei'
Ein Stein den man in die Höhe wirft, verliert kinetische und gewinnt gleichzeitig potenzielle Energie. Man kann
leicht berechnen, welche Geschwindigkeit nötig ist, um das Gravitationsfeld der Erde zu verlassen (GMm/r
=mv2/2 usw.). Ist er schneller, überwiegt die kinetische, andernfalls die potenzielle Energie. Ebenso kann man
bei der Expansion des gesamten Weltalls die Frage aufwerfen, welche Energieart überwiegt, demzufolge es
ewig weiterexpandiert (Ekin überwiegt, sog. offenes Universum) oder wieder in sich zusammenstürzt
(geschlossenes U.), oder gerade zwischen diesen Möglichkeiten liegt (dafür gibt es momentan Hinweise, sog.
Einstein-de Sitter-Universum). Niemand zweifelte aber ernsthaft daran, daß das die Expansion durch das
Ankämpfen gegen die Schwerkraft gebremst wird. Gerade das Gegenteil scheint aber der Fall zu sein: Entfernte
Supernovaexplosionen scheinen viel weiter entfernt zu sein als die Berechnungen zur Expansion erlauben. Man
geht daher seit 1998 davon aus, daß die Expansion des Weltalls beschleunigt ist. Eine Erklärung wird
momentan mit der sog. dunklen Energie versucht, die abstoßende Eigenschaften haben soll. Lustigerweise ist
dies verwandt mit einem Term, den Einstein 1917 zu seinen Gleichungen hinzufügte, weil er fest an ein
statisches Universum glaubte. Als sich die Expansion durch die Messungen von Hubble herausstellte,
bezeichnete er dies als 'seine größte Eselei'. Neuerdings wird dieser Gedanke wieder aufgegriffen, man ist
allerdings von einem guten theoretischen Verständnis noch sehr entfernt.
Sexl/Urbantke: Gravitation und Kosmologie, neuere Artikel zu 'Dunkle Energie'
13.11.03
Eine Funktion ohne Stammfunktion – Integrieren von Kreisringen
Die sog. Gaussglocke f(x)=exp(-x2) ist eine extrem wichtige Funktion in der Physik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zu ihr gibt es keine Stammfunktion als Formel. Allerdings läßt sie sich durch einen hübschen Trick
von – bis integrieren (Fläche unter Bild 1):
∞
∞
∞
∞ ∞
−∞
−∞
−∞
− ∞− ∞
2
Wenn I= ∫ exp(− x )dx , dann betrachtet man I2 =
2
∫ exp(− x )dx ⋅
2
∫ exp(− y )dy =
∫∫
exp(− x 2 − y 2 )dxdy .
(Potenzgesetz!). Dies kann man sich als zweidimensionales Integral betrachten (Volumen unter dem Bild 2).
Wichtig ist, sich vorzustellen, daß eine Integration nichts anderes ist als ein Aufsummieren von Funktionshöhen
über Flächenstückchen dx dy (eine normale eindimensionale Integration ist Aufsummieren über Wegstücke
dx). Anstatt über kleinen Quadraten dx dy zu summieren, kann man die ganze Ebene so `pflastern‘ , daß man
über Kreisringe mit der Fläche 2 πr dr aufsummiert . Da x2+y2 = r2 (vom Ursprung aus) ist obiges Integral
∞
2
gleich 2 π ∫ exp(− r )rdr , wozu es eine Stammfunktion gibt: exp(-r2). Einsetzen ergibt I2 = π und somit I = π .
0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1
1
2
Die Bestätigung von spezieller (SR) und allgemeiner Relativitätsthorie (AR) in zwei Flugzeugen
Obwohl schon früher der veränderte Zeitablauf in der
Relativitätstheorie zwar sehr gut belegt war, gelang
Haefele und Keating 1972 ein spektakuläres
Experiment: sie nahmen jeweils eine supergenaue
Atomuhr unter den Arm und setzten sich in zwei
Flugzeuge, die die Erde in östlicher bzw. westlicher
Richtung umkreisten (leicht ander Flugroute). Das
Ergebnis (in ns) war eine hervorragende Bestätigung
2
der Zeitfaktoren 1 − v c 2
(SR) und 1-
GM
(AR).
rc 2
Effekt
Gravitation (AR)
Geschwindigkeit (SR)
Summe Theorie
Summe Experiment
Ostflug
14414
-18418
-4023
-5910
Westflug
17918
9610
27521
2737
Literatur: Sexl/Urbantke Gravitation und Kosmologie, S. 107, Internet
Kreiselexperiment nach 40 Jahren endlich im Weltraum- Gravity Probe B
Die Physiker Thirring und Lense sagten 1918 aus den Gleichungen der allgemeinen Reletivitätstheorie einen
Effekt vorher, der in seiner Art völlig anders ist als andere Tests der Theorie: ein Kreisel sollte in der Nähe eines
rotierenden Körpers seine Rotationsachse leicht ändern. Bei der Erde (als Kreisel in der Nähe der rotierenden
Sonne) ist dieser Effekt hoffnungslos klein, um ihn je messen zu können. 1961 begannen die amerikanischen
Physikr Schiff, Cannon und Fairbank von einer Realisierung des Experiments in einem Satelliten in einer
Erdumlaufbahn zu träumen. Nach Jahrzehntelangen Rechnungen, Bauzeiten und unendlichen technischen
Schwierigkeiten scheint es nun soweit zu sein: auf Magnetfeldern (supraleitende Spulen, durch flüssiges Helium
gekühlt) gelagerte Kreisel sollen pro Jahr ihre Rotationsaches um einen Winkel von 0,05 Bogensekunden (!!)
ändern. Der Start war zunächst für den 14.11.2003 vorgesehen und wird wohl demnächst stattfinden. Einstein hätte
wohl von diesem Experiment nicht zu träumen gewagt.
Literatur: Webseiten der NASA, Stichwort:Gravity Probe B; C.Will: ..und Einstein hatte doch Recht, S. 227ff.
-aktuell: geplanter Starttermin 6.12.03 nun doch auf Januar 2004 verschoben!Atome nehmen Energieportionen auf- der Versuch von Frank und Hertz
Bei diesem Experiment läßt man beschleunigte Elektronen auf Atome stoßen. Es zeigt sich daß die Elektronen nur
bestimmten Energien (z.B. bei einem Quecksilberatom 4,9 eV) an ein Atom abgeben können. Dies ist ein Beleg
dafür, dass in den Atomhüllen die dortigen Elektronen mit bestimmten Energien gebunden sind (Schalenmodell).
Bei der Betrachtung der Röhre erkennt man genau einen leuchtenden Bereich, in dem die Elektronen Atome
anregen und zum Leuchten bringen.
Literatur: z.B. Oldenbourg Physik 13, Kap.5
Eine Matrix macht aus einem Vektor einen anderen- wie geht das ?
Genauso wie man die Funktion f(x) = 3x+5 als eine
Maschine auffassen kann, die aus einer Zahl eine
andere macht, gibt es Maschinen, die aus Vektoren
Vektoren machen: Matritzen. Im 3-dimensionalen
Raum mit x, y und z-Komponente der Vektoren ist
eine Matrix ein 3x3-Zahlengebilde. Die Multiplikation
eines Vektors mit einer Zahl sieht so aus:
⋅
=
Der hinter der Matrix stehende Vektor wird quer auf
die erste Zeile gelegt, so ergibt sich die erste Zahl des
Ergebnisvektors: 1⋅2+(-3)⋅0+7⋅(-3) = -19, die anderen
Zeilen analog. Man kann statt dem Vektor auch eine
Matrix mit der Matrix multiplizieren, man liest die
hintere als nebeneinander gestellte Vektoren und
schreibt die Ergebnisse wieder in 3 Spalten, so dass
sich eine Matrix ergibt. Übrigens ist im allgemeinen A
⋅B B⋅A, wenn A und B Matritzen sind.
Ausprobieren!
Man kann sich auch vorstellen, dass eine z.B.obige
Matrix einen Würfel, der von den Einheitsvektoren
1 0 0
0 1 0 aufgespannt wird, in ein Teil deformiert,
0 0 1
dass durch die drei Vektoren
0
− 3
− 1 und 5 aufgespannt wird, wie ein
8
0
Gummiwürfel, der verzerrt, gedehnt und verdreht
wird. Daher benutzt man Matritzen auch oft in der
Kontinuumsmechanik. Es gibt auch Matritzen, die
Vektoren nur drehen, in zwei Dimensionen
ist dies z.B. einfach
2
1 ,
3
cos a − sin a
(Drehung um den Winkel a).
sin a cos a
Die Drehungen im dreidimensionalen Raum- eine merkwürdige Art von Zahlen (vgl.24.10.02)
Man bezeichnet z. B. als X die Drehung um die x-achse im Uhrzeigersinn in X-1 diejenige im Gegenuhrzeigersinn,
entsprechend Y, Y-1 Z, Z-1. Dann ist die Hintereinanderausführung der beiden Drehungen XY etwas anderes als
YX, oder anders ausgrdrückt: nach den 4 Drehungen XY X-1 Y-1 ist der Gegenstand nicht in der ursprünglichen
Lage! Dies kann man z.B. mit einem Buch vor sich ausprobieren. Fasst man die Drehungen als Zahlensystem auf,
gilt das Kommutativgesetz nicht: normaler weise gilt ja (entsprechend zu oben) 3⋅ 5⋅ 3-1 ⋅ 5-1 = 1 (das neutrale
Element 1 entspricht dem ursprünglichen Zustand).
Lehrbücher der linearen Algebra, z.B. Meyberg/Vachenauer: Höhere Mathematik
Thirring-Lense-Effekt – die Mathematik zu Gravity Probe B
Die Drehachse eines Kreisels lässt sich durch einen Vektor beschreiben. Wenn sich diese Drehachse ändert, d.h.
aus einem Vektor ein anderer gemacht wird, wird die logischerweise durch eine Matrix beschrieben. Die Änderung
des Vektors pro Wegstück seines Umlaufs wäre demnach eine Art Ableitung einer Matrix; allerdings kann man
nach den 3 Richtungen x, y, z, ableiten, so dass sich ein Schema mit 27 Zahlen ergibt. Man nennt dies in der
Differntialgeometrie auch Konnexion. Integriert man umgekehrt die Konnexion wieder entlang eines Weges, so
erhält man als Ergebnis eine Matrix. So einfach ist das!
Literatur: Sexl/Urbantke Gravitation und Kosmologie.
18.12.03
Kosmische Hintergrundstrahlung (vgl. 13.02.03)
1964 entdeckten die Radioastronomen Penzias und Wilson (NP 1978) eine Mikrowellenstrahlung am schwarzen
Nachthimmel, für die es keine offensichtliche Erklärung gab. R.Dicke und andere interpretierten dies richtig als
Überbleibsel jener heißen Strahlung, von der das Universum ‚kurz‘ nach dem Urknall (300000 Jahre) wie ein
riesiger Feuerball erfüllt war. Durch die Expansion hat es sich in den letzten 13 Mrd. Jahren wie ein heißes Gas auf
die Strahlungstemperatur 2,726 K abgekühlt. Der kosmische Mikrowellenhintergrund ist präziseste sog. PlanckSpektrum (s.o.) eines schwarzen Körpers, das je gemessen wurde (Mit dem Satelliten COBE und seinem
Nachfolger, 2003!). Die Hintergrundstrahlung ist ein überzeugender Beleg für die Expansion des Universums, die
schon E. Hubble entdeckt hatte.
Joseph Silk, Die Geschichte des Kosmos, Spektrum Verlag, Kap.3
Steven Weinberg, Die ersten drei Minuten, dtv
Dunkle Materie - Rotationsspektren von Galaxien (vgl. 13.02.03)
Setzt man die Gravitationskraft gleich der Zentripetalkraft, so
erhält man einen Zentralkraftsystem (Sonne-Erde, Erde-Mond,
Galaxie-umlaufende Wolken) einen Zusammenhang zwischen
Umlaufgeschwindigkeit und Abstand r vom Zentrum. Es gilt: FZ=
FG, also m v2/r = GMm/r2, wobei M die Masse des Zentralkörpers
und m die des umlaufenden ist. G = 6,67 10 -11 m3 kg-1 s-2 ist die
Gravitationskonstante. 1kpc=3260 Lichtjahre.
Nach kürzen von m und r müsste demnach die Geschwindigkeit von Wasserstoffwolken, die um eine Galaxie
laufen, mit r -1/2 abnehmen. Man beobachtet dagegen ein von r unabhängiges v. Als Erklärung bemüht man sog.
dunkle Materie, für die es auch andere Hinweise gibt. Insgesamt ist dieses Phänomen aber sehr wenig
verstanden und bietet vielleicht manche Überraschung in den kommenden Jahren. v misst man mit dem
spektroskopischen ‚Fingerabdruck‘ der H-Atome, der durch v dopplerverschoben ist.
Oldenbourg Physik 11, S. 97ff.
Joseph Silk, Die Geschichte des Kosmos, Spektrum Verlag, S.138
Skalarprodukt von Vektoren
Diese Multiplikation von Vektoren ist denkbar einfach : man multipliziert jeweils die Komponenten und
addiert:
2 − 4
− 1 1
a ⋅ b = 3 ⋅ 2 = 2 ⋅(-4) + (-1)⋅ 1 + 3⋅2 = -3. Witzig ist, das diese Zahl eine Information über den Winkel im
dreidimensionalen gibt, den die Vektoren einschließen. Denn es gilt auch: a ⋅ b cos = -3 (a und b sind jeweils
die Längen). Auf diese Weise kann man den Zwischenwinkel im dreidimensionalen berechnen! Ein
häufiger
a
Spezialfall ist, dass der Zwischenwinkel senkrecht ist und das Skalarprodukt infolgedessen 0. Zu senkrechte
1
3
2
0
0
− 2
Vektoren lassen sich so leicht konstruieren, z.B. und .
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
Man nennt zwei Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie nicht parallel sind, d.h. eine Ebene aufspannen. Bei
drei Vektoren ist diese Frage viel schwieriger zu beantworten, denn auch wenn sie jeweils nicht parallel sind, so
können sie doch in einer Ebene liegen, und gelten als linear abhängig. Denn man kann dann mit ihnen nicht,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
wie z.B. mit den dreiVektoren den ganzen Raum “aufspannen”. Damit ist gemeint, dass man jeden
x
y
z
Punkt durch aneinandersetzen von Vielfachen der obigen drei Vektoren erreichen kann.
Lineare Abhängigkeit und Skalarprodukt von Polynomen
Lustigerweise lassen sich diese Konzepte aus der Geometrie analog anwenden, wenn man Vektoren mit
Funktionen vergleicht. 1, x und x2 sind “linear unabhängig” , weil man durch eine Linearkombination der
beiden ersten, z.B. -5 x +7, niemals eine quadratische Funktion erzeugen kann usw. Allerdings hat dann der
“Raum” der Polynome 1, x, x2, x3, x4 schnell mal unendlich viel Dimensionen haben kann, was einen
Mathematiker aber nicht stört. Was man aber unbedingt brauch, um in einem solchen Funktionenraum arbeiten
zu können, ist eben ein Skalarprodukt. Es wird gewöhnlich als integral definiert: z.B. f (x) = x, g(x) = x3, dann
ist f(x) g(x) (Es muss ja eine Zahl herauskommen, keine Funktion!) gleich
1
∫
−1
f ( x) g ( x )dx = 2/5.
Entsprechende Skalarprodunkte lassen sich auch für Sinus-und Cosinusfunktionen erfinden, sie dienen z.B.
dazu, die einzelnen Frequenzkomponenten in einem Tonsignal herauszufiltern.
22.01.04
Heisenbergsche Unschärferelation
Die Unschärferelation besagt, dass sich von
Elementarteilchen bestimmte Paare von
Eigenschaften nicht gleichzeitig präzise angeben
lassen, wie z.B.
- Ort und Impuls: ∆x ∆p h/(2π)
- Energie und Zeit: ∆E ∆t h/(2π)
Folgen und Reihen
Hintereinander aufgeschriebene Zahlen nennt man
Folgen, manchmal werden diese für IQ-Tests
benutzt, z.B.
1,2,5,12,27,58 = an = 2n-n oder
1,1,2,3,5,8,13, (an+1 = an + an-1 ,Fibonacci),
letztere Art nennt man rekursiv definiert, weil es
nicht wie beim ersten Beispiel eine allgemeine
Formel gibt.
Eine Reihe besteht dagegen immer aus einer
aufsummierten Folge, z.B.
k
1+ 4+ 9+16+... = ∑ n
Es handelt sich um eine prinzipielle
Erkenntnisschranke der Natur. Damit im Einklang
steht auch das Beugungsbild eines Lasers am
Einfachspalt: je dünner der Spalt wird, desto breiter
wird das Beugungsbild am Schirm. Man kann sich
vorstellen, dass Photonen einen (zufälligen) seitlichen
Impuls ∆px bekommen, wenn sie sich durch einen
engen Spalt ∆x zwängen.
Hat eine Reihe unendlich viele Glieder, ist die Frage
interessant, ob die Summe einen Grenzwert nicht
überschreitet d.h. konvergiert, oder unendlich groß
wird (bzw. hin-und-herspringt), also divergiert.
Eine besonders prominentes Exemplar ist die
geometrische Reihe, z.B. (q= ½)
n
1 − q n +1
n
q
1+ ½ + ¼ +... = ∑ =
, q eine beliebige
1− q
n =0
Zahl ist. ist 0 < q <1, konvergiert die unendliche
∞
1
n
Reihe: ∑ q =
.
1− q
n =0
2
n =1
Beweis mit Induktion
Diese überraschende Formel ist gar nicht so schwer
zu beweisen. Es gelingt mit einem weit verbreitetem
Trick, der sog. vollständigen Induktion. Dazu zeigt
man zunächst die Richtigkeit der Formel für n=1
(oder sogar 0, was offensichtlich ist), und folgert
dann aus der Annahme, dass die Formel für n stimmt,
die Richtigkeit für n+1. Damit ist sie mit einem
Schlag für n=2, n=3, usw, also für alle n
bewiesen. Also.
n=1 ist klar, weil 1+q = (1-q2)/(1-q) , binomische
Formel im Zähler!
Weiter addieren wir zu der Ausgangsformel auf
beiden Seiten qn+1, so dass gilt (rechts wurde schon
erweitert!)
n
1 − q n +1 q n +1 − q n + 2
n
n +1
q
+
q
=
+
,
∑
1− q
1− q
n =0
1 − q n+2
, also die gleiche Formel,
1− q
n =0
nur dass n durch n+1 ersetzt wurde. Fertig!
n +1
und somit
∑ qn =
Literatur: Anschauliche Analysis Erenwirth, Kap.
10.4
Crashkurs Hydrodynamik
Die Bewegung in Flüssigkeiten oder Gasen stellt man sich durch
ein sog. Geschwindigkeitsfeld vor, d.h. in an jedem Raumpunkt
(Flüssigkeitsteilchen) ist ein Pfeil angebracht, der Betrag und
Richtung der entsprechenden geschwindigkeit angibt. Solche
Vektorfelder verwendet man auch für das elektrische und
magnetische Feld.
Inkompressibel bedeutet, dass die Dichte ρ sich nicht ändert, und die Menge, die in ein Volumenelement
hineinfließt, auch aus diesem wieder herauskommen muss. Das bedeutet z.B. in dem obigen Bild, dass das
Produkt aus v und der Rohrquerschnittsfläche konstant sein muss, und in dem dünneren Rohr schneller fließt.
Eine Art mechanische Energieerhaltung in Flüssigkeiten ist das Gesetz von Bernoulli, nachdem ½ ρ v2 +p =
const. gilt. Denn der Druck p ist nichts anderes als eine Energiedichte.
Ganz wichtig ist die Unterscheidung zwischen laminarer (ruhig, ohne Wirbel) und turbulenter Strömung
(Verwirbelungen, bei schnellen Strömungen). Für die laminare Umströmung einer Kugel gilt die Stokessche
Reibungskraft FR = 6 π r v , wobei die Zähigkeit (Luft: 1,8⋅ 10-5 kg m-1s-1) angibt. Die Reibungskraft bei
turbulenter Strömung ist dagegen allgemein F = cw A ρ v2, (Dichte ρ, Querschnittsfläche A des Körpers, cw ist
der Luftwiderstandsbeiwert, der von der Form des Körpers abhängt).
Für die Praxis wichtig, aber theoretisch z.T. noch völlig unverstanden ist die Frage, wie das Phänomen
Turbulenz entsteht. Man hat empirisch bestimmt, dass Turbulenz dann auftritt, wenn die sog. Reynoldszahl R
einen Wert von 30-100 überschreitet. R = ρ v l/, wobei l eine typische Längenabmessung der Strömung ist
(z.B. Kugelradius). Turbulenz gehört zu den Transportinstabilitäten, die mit Phasenübergängen verwandt sind.
In derartigen Systemen, die von nichtlinearen Gleichungen beschrieben werden, tritt oft auch eine chaotische
Entwicklung auf.
Abschätzung von Reihen durch Integrale
Eine Reihe mit einem berühmten Grenzwert ist
∞
∑
n =1
1
n2
= π6 (von Leonhard Euler gefunden!) Der
2
Beweis ist ziemlich schwierig, aber wir können
wenigstens einfach zeigen, dass die Reihe kleiner als
2 bleiben muss (und so konvergiert). Dazu stellt man
sich vor, dass o.g. Summe jedenfalls kleiner ist als
∞
1+
∫
1
x2
dx , weil die Rechtecke (bis auf das erste) alle
1
unter der Kurve bleiben.
2
1
.
7
5
1
.
5
1
.
2
5
1
0
.
7
5
0
.
5
0
.
2
5
Mit der Stammfunktion –1/x erkennt man leicht das
das Integral den Wert 1 ergibt.
Umgekehrt läßt sich die Divergenz der ganz
∞
ähnlichen Reihe
∑
n =0
1
n
beweisen, indem man sie
1
x
dx = ln k nach unten abschätzt
k
durch das Integral
∫
1
(d.h. die Summe =Rechtecksflächen ist immer
größer, siehe Bild.). Die Funktion ln x nimmt
bekanntlich beliebig große Werte an.
2
1
.
5
1
0
.
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Die Chandrasekhar-Grenzmasse oder die Sonne als großer Atomkern
Ein indischer Student konnte 1930 auf sensationelle Weise zeigen, dass die Größe von Sternen mit
Eigenschaften der Elementarteilchen zusammenhängt. Er berechnete, ab welcher Masse ein Stern zum
Neutronenstern und zum schwarzen Loch werden kann. Der Schwarzschildradius (SSR) eines schwarzen
Loches ist bekanntlich rs= G M/c2 . Weiter benötigt man noch zwei Zutaten: a) den Druck im Sterninneren. b)
den sog. Fermidruck. Im Prinzip wird dann nur a) mit b) verglichen.
a) Druck im Sterninneren
=4/3 πG ρ2 r dr. Nun integriert man auf beiden Seiten
aus dem Schwimmbad ist bekannt: p= F/A = m⋅g /A
und erghält
p= ρ g z ( A⋅z ist das Vol., ρ= const angenommen)
p=2/3 πG ρ2 R2 .
Vergrößert man eine Kugel um eine Kugelschale der
Setzt man die Masse wieder ein, gilt:
Dicke dr, so erhöht sich innen der Druck um dp. Der
p= 2G M ρ /R. Setzt man nun den SSR ein, erhält
Ortsfaktor g muss durch GM/r2 ersetzt werden und m
man die interessante Beziehung
3
durch 4/3 r π ρ. Dann gilt:
p/ρ c2= rs/R.
2
3 2
dp = ρ g dr = ρ GM/r dr = ρ G 4/3 π ρ r /r dr
Im Zähler steht der Druck, also eine Energiedichte,
während im Nenner ebenfalls eine Energiedichte
steht, nämlich jene die durch Umwandlung
sämtlicher Materie in Energie durch E= mc2
entstehen würde. Es ist also nur logisch, dass
furchtbare Dinge passieren, wenn der obige Bruch 1
wird, d.h. am Schwarschildradius.
b) Die kürzeste Länge, auf die man ein Elektron
zusammenpressen kann, ist die Wellenlänge des
Lichtquants, das aus der Umwandlung der
Elektronenmasse in Energie entsteht (sog. Comptonwellenlänge) me c2 = E= hf = hc/λ, also λC=h/(me c).
Man kann nun über die Unschärferelation (s.o.) den
Impuls des Elektrons berechnen und aus dem Impuls
einen Druck, der entsteht, wenn schnelle Teilchen
gegen Wände trommeln. Diesen Fermidruck setzt
man dem Druck im Sterninneren gleich und erhält
nach einer etwas lästigen Rechnung die Grenzmasse
MC= mp2 (c h/G)3/2 , was etwa 1057 Protonenmassen mp
entspricht. Bildlich gesprochen braucht man genau so
viele, um einenGravitationsdruck zu erzeugen, der
normale Materie (Elektronen und Protonen)
zerquetscht. Da normale Materie sich elektrisch
abstößt, drückt diese riesige Zahl (ähnlich wie
Fel/FG= 1039) ebenfalls das (rätselhafte)
Größenverhältnis von elektrischer und
Gravitationswechselwirkung aus.
Literatur: Sexl/Urbantke, Gravitation und
Kosmologie, Kap. 8.1
Ableitungen eines Vekorfeldes
Ein Geschwindigkeitsfeld v hat im dreidimensionalen Raum drei
Komponenten (vx, vy, vz). Will man Differentialrechnung machen, möchte
man verzweifeln, denn nach Ableitung in jeder Richtung x,y,z gibt es 9 Terme
(rechts): Glücklicherweise lassen sich diese sehr praktisch zusammenfassen.
Die aufaddierte Diagonale (sog. Spur)
dv x
dx
+
dv y
dy
+ dvdzx
wird als div v
(Divergenz) abgekürzt und zeigt an, wenn aus einem Gebiet Flüssigkeit
herausquillt (igelförmige Geschwindigkeitspfeile) . Aus den restlichen
Komponenten läßt sich eine Kombination bilden, die die Wirbeldichte der
Flüssigkeit angibt (Rotation von v).
dvdxx
dvdyx
dvx
dz
dv y
dx
dv y
dy
dv y
dz
dv x
dx
dv x
dy
dv x
dz
04.03.04
Farben-Helligkeits-Diagramm oder HRD
I
Schon mit bloßem Auge ist bei Betrachtung von Beteigeuze
1.75
und Riegel (in der Nähe des Sternbilds Orion) festzustellen,
dass Sterne unterschiedliche Farben haben. Daraus kann man 1.5
1.25
eine Menge ablesen. Denn je größer ein Stern, desto größer
1
wird der Druck im Inneren, und desto höher kann auch seine
Temperatur an der Oberfläche werden. Das emittierte Licht
0.75
hängt von der Temperatur ab (vgl. Bild, höhere Frequenz f,
0.5
kleineres λ, vgl. AGEuler 12/02), so dass heißere Sterne
0.25
blauer erscheinen. Aus ähnlichen Überlegungen kann man
f Hz
2´1014 4´1014 6
´1
014 8´1014 1´1015
herleiten, dass die Gesamtleuchtkraft L eines Sterns mit der
Masse stark anwächst: L ~ M3,5 .
(Spektrum für 4000 K, 5000 K, 6000 K)
@
D
Übrigens sieht man in einem derartigen Spektrum immer auch schwarze
Absorptionslinien von bestimmten Atomen, so dass man ausschließen
kann, dass die Farbänderung von einer Dopplerverschiebung herrührt.
Trägt man nun die Farbe nach rechts und die Helligkeit nach oben an, so
erhält man ein sog. Herztsprung-Russel-Diagramm (HRD). Man erkennt,
dass ein Großteil der Sterne, wie unsere Sonne, sich auf der Hauptreihe,
von links oben nach rechts unten befindet. Die `Ausreißer‘ rechts oben
sind Rote Riesen, die bereits begonnen haben, im Helium zu verbrennen.
Die spektakulär genauen Daten von ca. 10000 Sternen in unserer Nähe
sind von dem Satelliten HIPPARCHOS gewonnen worden, der die
Entfernungen der Sterne mit geometrischen Parallaxen bestimmte.
Literatur: James Kahler, Sterne. Joseph Silk, Geschichte des Kosmos
beide Spektrum Verlag
Allgemeine Gasgleichung und Barometrische Höhenformel
Für alle Gase gilt der Zusammenhang
(1) P⋅V =N k T,
mit Druck P, Volumen V, Teilchenzahl N,
Temperatur T, und der Boltzmannkonstante
k =1.38⋅1023 J/K. Mit der Molekülmasse m (Luft: m
= 4.8.10-26 kg) gilt für die Dichte ρ=N m/V, und man
kann schreiben
(2) ρ=Pm/(kT).
Andererseits gilt für den Druckzuwachs dP, der
entsteht wenn man eine Luftsäule der Höhe dz über
sich dazustellt :
(3) dP= ρ g dz,
weil P= F/A und A dz = V. Mit (1) folgt
(4) dP/dz = P g m/(kT)
Der Druck P muss also eine Funktion sein, die
proportional zu ihrer eigenen Ableitung ist und nur
einen Exponentialfunktion sein kann. Man erkennt
nun mit der Kettenregel
mgz
−
( 5) P(z) =P0 e kT ,
wobei P0 der Druck in Meereshöhe ist. Für München
erhält man so 94% des normalen Luftdrucks. Im
Exponenten steht ein Verhältnis von potenzieller zu
Wäremeenergie. Dies ist ein ganz allgemenines
Verteilungsgesetz der Thermodynamik.
Vakuumfluktuationen und Casimireffekt
Die Heisenbergsche Unschärferelation (s. AG Euler
01/04) für Zeit und Energie ∆E∆t =h/2π besagt, dass
der Energiesatz für ganz kurze Zeiten ∆t um den
kleinen Betrag ∆E=h/(2π ∆t) verletzt werden kann.
Nach der Theorie der Quantenelektrodynamik (QED)
gibt es sog. virtuelle (=nicht ganz `echte´, weil nicht
langlebig) Photonen, die plötzlich entstehen und
verschwinden, sog. Vakuumfluktuationen. Sie treten
bei allen Wellenlängen auf. Stellt man sich zwei
parallele Platten vor, etwa wie einen Kondensator, so
können im Zwischenraum nur virtuelle Photonen
existieren, deren Wellenlänge kleiner als die des
Plattenabstandes d ist. Da alle Photonen einen Impuls
auf die Platten übertragen, sollte von außen eine
minimal höhere Kraft wirken, so dass die Platten
zusammengedrückt werden. Nach Berechnungen
sollte gelten:
hcπ
.
480d 4
Mit raffinierten Methoden ist es inzwischen
tatsächlich gelungen, diese winzige Kraft zu messen
(Casimireffekt). Die QED beschreibt übrigens alle
Felder, wie z.B. die Wirkung des elektrischen, mit
dem Austausch von Photonen. Eine wichtige Rolle
spielt dabei die Feinstrukturkonstante α = e2/(2 h c ε
0) = 1/137.03599...(Messwert), die als
Wahrscheinlichkeit für einen Teilchenaustausch
interpretiert wird. Niemand ist es bisher gelungen,
diese Zahl zu berechnen.
Literatur: Feynman: QED –The strange Theory of
Light and Matter (auch auf deutsch),
Casimir:www.arXiv.org/abs/quant-ph/9907076
F(d) =
Komplexwertige Funktionen
Quadriert man z.B. die komplexe Zahl z = x + i y, so erhält man x 2- y2 +2i xy
(Re+Im). Aufzeichnen dieser Funktion ist ein Problem, weil man 4
Dimensionen benötigen würde. Daher begnügt man sich, den Realteil der
Funktion über der Zahlenebene xy als Fläche zu zeichnen. Schnitte durch
diese Fläche (x-Achse y=0, bzw. y-Achse) ergeben herkömmliche Parabeln x2
bzw. - y2. Die volle dreidimensionale Darstellung ist eine sattelartige Fläche
(mitte links). Unten ist die Funktion f(z)=z3 (ausrechnen!), oben f(z) =z. Links
jeweils der Imaginärteil, der – und das erleichtert die Sache ungemein –
lustigerweise genauso wie der Realteil aussieht, nur gedreht ist. Interessant
ist, nach der Ableitung solcher Funktionen zu fragen. Es ist sinnvoll, an eine
gekrümmte Fläche eine Tangentialebene zu legen (ebenso wie man im
eindimensionalen eine Gerade an eine Kurve legt), wie das 2. Bild zeigt.
Diese Ebene ist durch 2 Geraden (Ableitung nach x und nach y) eindeutig
bestimmt. Die komplexwertige Exponentialfunktion findet sich in AG Euler
05.06.03.
Freier Elektronenlaser
-
4
-
x
2
0
2
0
Das Prinzip dieses neuartigen Lasers ist einfach: man sendet einen
- 2
Strahl schneller Elektronen über eine Anordnung von Magneten, die
abwechselnd aus Nord- und Südpol bestehen (sog. wiggler oder
2ip
3ip
undulator, Magnetfeld hier vertikal). Durch die Lorentzkraft werden
2 ip ip
y
die Elektronen abgelenkt, so dass sie in etwa sinusförmige Bahnen
0
2
in der xy-Ebene beschreiben. Diese Bewegung ist beschleunigt, und beschleunigte Ladungen strahlen
bekanntlich immer elektromagnetische
Wellen ab – in diesem Fall kurzwelliges
Röntgenlicht. Das besondere daran ist,
dass die Strahlen sehr köhärent sind, d.h.
lange Wellenzüge bilden, die eine
präzise Wellenlänge ermöglichen, wie
beim optischen Laser, nur eben in einem
bisher nicht erreichten Bereich kurzer
Wellenlängen.
Die Kochkurve: ein Fraktal
Fraktale lassen sich aus ganz einfachen Vorschriften
bilden. Eine solche lautet. Teile eine Strecke der Länge
x in 3 Teile, radiere den mittleren aus und ersetze
verbinde den Rest mit 2 Strecken der Länge x/3: bald
ergibt sich ein faszinierendes Gebilde, dessen Länge
übrigens unendlichwird, da es mit jedem Schritt um
den Faktor 4/3 verlängert wird. Mi folgender
Überlegung ordnet man dieser Kurve ein
Dimension zu: ein 2dimensionales Objekt wird um
den Faktor 32= 9 größer, wenn ich die
Linearabmessungen verdreifache, ein 3dimensionales um den Faktor 33= 27 etc. Man
könnte also sagen (Mathematikerlogik), die
Dimension sei z.B. Log 27/Log3,
also der Logarithmus des Wachstumsfaktors zur Basis
der Kantenverlängerung. Demnach hat die Kochkurve
Dimension Log 4/Log 3 =1,26, eine gebrochene zahl,
daher der Name Fraktal.
Hier ein kleine mathematica-Programm zur
Kochkurve:
schritt=4;
ersetze[x_]:=Block[{},
y=Table[0,{4Length[x]-3}];
For[i=1, i<Length[x],i++,j=4 i-3;
ri=x[[i+1]]-x[[i]];
senk=Reverse[ri] {-1,1};
y[[j]]=x[[i]]; y[[j+1]]=x[[i]]+ri/3;
y[[j+2]]=x[[i]]+ri/2+Sqrt[3] senk/6//N;
y[[j+3]]= x[[i]]+ 2 ri/3;]; y[[-1]]=x[[-1]];y];
Show[Graphics[Line[Nest[ersetze,{{0,0},{.5,Sqrt[3]/2
},{1,0},{0,0}},schritt]]],
AspectRatio->Automatic];
29.04.04
Die dreidimensionale Cellosaite oder die Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms (021024)
Schwingungen auf einer Dimension kann man sich als schwingende Saite vorstellen. Die verschiedenen
Schwingungsarten (hier: Töne) entstehen, wenn man Punkte (0-dimensional) auf der Saite nicht schwingen läßt
(Finger drauflegen). Mathematisch: Sin und Cos.
Verschiedene Schwingungsarten in zwei Dimensionen (schwingende Membran) kann man erzeugen, indem
man Kotenlinien (1-dimensional) nicht schwingen läßt. Mathematisch: sog. Besselfunktionen.
Die Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms sind schließlich die einfachsten Schwingungsarten in drei
Dimensionen. Man Kann sie durch Knotenflächen (2-d) verwirklichen. Diese Funktionen sind allerdings
komplexwertig. Mathematisch: Kugelflächenfunktionen und sog. Laguerre-Polynome
Sehr merkwürdig ist, dass diese einfachsten Schwingungszustände des Raumes als Elektronen aufgefasst
werden können. Diese müssen daher elementare Teilchen sein.
Knotenflächen: Gerthsen/Vogel Physik (Springer) 19.Aufl , Kap. 16.4.1
Komplexe Zahlen: C. Courant, H Robbins: Was ist Mathematik ? (Springer 1973) Kap.II 5
Math. Funktionen: Haken/ Wolf Atom- und Quantenphysik 4. Aufl., Kap. 10
Goldbachsche Vermutung, Primzahlenpaare
In einem Brief an Euler (!) äußerte Goldbach erstmals die Vermutung, jede gerade Zahl >2 lasse sich als
Summe von 2 Primzahlen darstellen. Obwohl man mit Rechnern dies für Millionen von Zahlen verifiziert hat,
steht ein Beweis noch aus. Ebenso unbewiesen ist die (höchstwahrscheinlich wahre) Vermutung, dass es
unendlich viele Paare von Primzahlen gibt (11-13, 59-61, 101-103 etc.). Die meisten Aussagen über Primzahlen
die man treffen kann, sind statistischer Natur, so gilt etwa für die Anzahl An bis zur Zahl n das Gesetz An/n
~1/ln n.
Das Problem ist, dass Primzahlen gerade so definiert sind, dass aus ihnen jede Regelmäßigkeit (Vielfaches
einer anderen Zahl) entfernt ist.
Zudem ist es theoretisch nach einem Gesetz von Gödel möglich, dass es Aussagen gibt, die zwar wahr, aber
prinzipiell nicht beweisbar sind. Die auf die obigen Probleme ausgesetzten Preisgelder sind also nicht leicht zu
verdienen.
Literatur: Courant/Robbins: Was ist Mathematik ? (Springer 1973), S. 20-25,
D.G. Hofstadter: Gödel Escher Bach.
Riemannsche Zetafunktion
∞
Die Zetafunktion ist als Summe definiert: (z) =
∑
n =1
1
nz
∞
, wobei z.B. (2) =
∑
n =1
1
n2
der berühmte, von Euler
gefundene Grenzwert π2/6 ist. Man kann sie sogar in der komplexen Zahlenebene sinnvoll definieren. Eines der
ungelösten Rätsel ist der Beweis, dass alle Nullstellen von (z) auf der sog. kritischen Linie ½ + i y liegen.
Dort sind die Nullstellen vollkommen regellos, ja geradezu chaotisch verteilt (s. Bild), es ist kein sin- oder cosAnteil
irgendeiner Frequenz dabei, wie man vielleicht auf den ersten Blick meint (vgl. Fourierreihe, AG Euler
030508). Wegen des Fehlens jeglicher Reglemäßigeit hat man die Nullstellen der Zetafunktion mit der
Primzahlenverteilung in Verbindung gebracht.
Literatur: Mathematica: Plot[Re[Zeta[1/2+I y]],{y,0,100}]
Physik der echten Luft: Van der Waals-Gleichung
Während die Gleichung PV= NkT Druck, Volumen, TeilchenZahl und
Temperatur eines idealen (keine Stöße) Gases in Verbindung bringt (k
= 1,38⋅1023 J/K), ergeben sich für reale Gase große Abweichungen.
Van der Waals (NP 1911) hat nun einfach angenommen, das zur
Verfügung stehende effektive Volumen sei (etwa) um das
Teilchenvolumen b geringer, und die Tatsache, dass sich Gasmoleküle
durch Influenz anziehen (auch VdW-Kräfte genannt) dadurch
berücksichtigt, dass sich der Druck effektiv um a/V2 mindert, wenn das
a
Volumen klein wird.Die Gleichung ( P + 2 ) (V-b) = NkT, mit den
V
Materialkonstanten a und b, beschreibt das Verhalten realer Gase
hervorragend. Zeichnet man wie üblich ein p-V-Diagramm eines
Gases, so ergeben sich (nach Multiplikation mit V2) kubische Parabeln (s. Bild). Diese beschreiben
ausgezeichnet das (merkwürdige) 2-Phasen-Koexistenzgebiet flüssig-gasförmig. Dabei kann man z.B. ein Gas
zusammendrücken (d.h. V verkleinern), ohne Arbeit aufzuwenden (keine Druckänderung).
Brachistochrone und Zykloide – der schnellste Weg, eine ganz neue Aufgabenart
Ein Massenpunkt gleitet ohne Reibung auf einer Kurve, die einen Punkt A mit einem tiefer gelegenen B
verbindet. Für welche Kurvenform wird die Laufzeit am kürzesten ?
Dieses schwierige Problem wurde erstmals von Johann Bernoulli aufgeworfen. Im Unterschied zu den
Extremalaufgaben der 11.Klasse ist hier nicht ein Punkt einer Funktion gesucht, sondern ein ganzer
Kurvenverlauf, also eine unter vielen möglichen Funktionen. Ein trickreiche Lösung findet sich in
Courant/Robbins: Was ist Mathematik ? (Springer 1973), S. 288-291 (Kopie oder email bei Bedarf ).
Es handelt sich um eine sog. Zykloide, die
Linie, die ein Punkt auf einem rollenden Rad
beschreibt. Übung: Stelle die Zeit-Ortsfunktion auf
(Überlagerung von Kreisbewegung mit linearer Bewegung), leite ab, und zeige die Zykloideneigenschaft (sin
α)2 ~ h. Euler hat später das Problem des Auffindens einer Funktion verallgemeinert (sog. Variationsrechnung,
Euler-Lagrange-Gleichungen)
Genetische Algorithmen - Neuronale Netze
Viele in der Praxis auftretende Probleme sind mathematisch exakt kaum zu lösen. Daher gibt man sich oft mit
guten, nicht notwendig optimalen Lösungen zufrieden. Bekannt ist das travelling-salesman-problem, bei dem
eine gegebene Anzahl von Punkten (Städte) mit einem möglichst kurzen geschlossenen Weg verbunden werden
sollen. Auch z.B. die Suche von Extremalstellen von vieldimensionalen Funktionen ist ähnlich schwierig. Zur
Lösung verwendet man oft Computeralgorithmen, die an der Bauweise des Gehirns orientiert sind, sog.
Neuronale Netze. Genetische Algorithmen simulieren erfolgreiche Strategien der Evolution, indem sie zufällige
Variationen mit einbauen. Gute Bücher zu N.N. sind:
Ritter, Martinez, Schulten: Neuronale Netze, Addison-Wesley.
Hertz, Krogh, Palmer: Introduction to the theory of neural computing, Addison-Wesley.
Stokesscher und Gausscher Integralsatz
Eine (skalare) Funktion in 3 Dimensionen hat 3 Ableitungen, eine vektorwertige entsprechend 9. Diese lassen
sich zu der sog Divergenz (Quelldichte, eine Zahl) und Rotation (ein Vektor) zusammenfassen, vgl. 040122.
Die Maxwellgleichungen der Elektrostatik besagen z.B. dass die Rotation des elektrischen und die Divergenz
des magnetischen Feldes 0 ist.
Das Prinzip des Hauptsatzes der Integralrechnung (12. Kl.), nämlich dass das Integral über die Ableitung die
Differenz der Funktionswerte an den Rändern ist, läßt sich auf 2 und 3 Dimensionen verallgemeinern. Ein
3dimensionales Gebiet hat als Rand eine 2dimensionale geschlossenen Fläche (z.B. Kugeloberfl.). So läßt sich
dach dem Gaußschen Satz ein 3dimensionales Integral über die Divergenz eines Vektorfeldes ausdrücken,
indem man das Feld selbst über Oberfläche summiert (2dimensionales Integral). Ähnlich kann man ein
2dimensionales Integral über die Rotation eines Feldes in ein eindimensionales Integral umwandeln
(Stokesscher Satz). Diese Sätze sind übrigens Teil eines noch allgemeineren Integralsatzes in beliebigen
Dimensionen ...
Feynman, Vorlesungen über Physik II, Kap. 3; Bronstein, Taschenbuch der Mathematik
Kugelsternhaufen, Sterndiagramme und Alter der Galaxis
Unsere Galaxie, die Milchstraße, besteht aus einer mit Spiarlarmen durchsetzten Scheibe (disc) von ca. 60000
Lj Durchmesser und ca. 2000 Lj Dicke, mit einer größeren Wölbung im Zentrum (bulge). Die Sterne der
Scheibe kann man in einem HR-Diagramm nach Farbe und Größe auftragen (vgl. 040122). Interessant sind
weiterhin Ansammlungen von Sternen ober – und unterhalb der Scheibe, die z.T. aus Millionen von Sternen
bestehen und Kugelsternhaufen (globular clusters) genannt werden.
Zeichnet man ein entsprechendes Diagramm von
Kugelsternhaufen (s. Bild), erkennt man dass die
Sterne links oben praktisch fehlen. Aus der Theorie
der Sternentwicklung weiss man, dass diese
massereichen Sterne eine kurze Lebensdauer haben.
Wenn derartige Sterne also in Kugelsternhaufen
fehlen, bedeutet dies, dass diese sehr alt sind. Aus
Diagrammen wie dem nebenstehenden errechnet man
ein Alter von 12-14 Mrd. Jahren, was gerade noch
vereinbar ist mit anderen Altersbestimmungen
(aktuell: 13,7 Mrd. a durch kosmische
Hintergrundstrahlung WMAP.)
Literatur: Kahler: Sterne (Spektrum Verl.) ; Bergmann-Schäfer, Experimentalphysik Bd. 8, S. 214
Wieviele Taxis gibt es in der fremden Stadt ?- amüsante Kombinatorik
In einer Stadt sind alle Taxis von 1 bis zur höchsten Zahl durchnumeriert. Man notiert die höchste Zahl von 10
vorbeifahrenden Taxis, und soll eine Schätzung abgeben, wieviele es gibt. War z.B. die höchste Zahl 9331, so
gibt es mit ziemlich genau 50%iger Wahrscheinlichkeit höchstens (mindestens) 10000 Taxis. Denn die
günstigen Ereignisse sind 10 aus 9331, die möglichen 10 aus 1000, also
1000 9331
:
p=
10 10
Mathematica: Binomial[9331,10]/Binomial[1000,10]
Versetzungen in Kristallen – benehmen sich (fast) wie Elektronen (030213)
Neben stehende Abbildung zeigt eine
Stufen- (links) und eine
Schraubenversetzung (engl: dislocation). Es
handelt sich jeweils um eine linienförmige
Unregelmäßigkeit, die den ganzen Kristall
durchzieht (sog. topologischer Defekt).
Eine Versetzung kann in einem Kristall
nicht enden. Die Stufenversetzung links
entspricht einer von unten
eingefügten Halbebene, die in der Mitte des Würfels endet. Die Versetzung kann sich bewegen, indem eine
obere Halbebene zu der einzelnen ‚herüberklappt‘. Wie bei einer Welle im Wasser bewegt sich nur die
Unregelmäßigkeit, nicht das Material selbst über weite Strecken.
Interessant ist, dass das Spannungsfeld der Versetzung sich bei der Bewegung zusammenzieht, und zwar exakt
v2
mit dem Faktor 1 − 2 , mit dem sich das elektrische Feld eines bewegten Elektrons kontrahiert. c ist
c
allerdings hier nicht die Licht-, sondern die Schallgeschwindigkeit im Kristall. Berechnet man die elastische
Energie, so ergibt sich ebenfalls ein Zuwachs, der aus der speziellen Relativitätstheorie bekannt ist.
Mathematisch beschreibt man die Versetzungsdichte mit der sog. Torsion. Dies bedeutet, dass man beim
Versuch, ein Rechteck um die Verstzung zu zeichnen, einen Gitterplatz versetzt ankommt.
Literatur: Gerthsen/Vogel Physik (Springer) 19.Aufl , Kap. 14.5
www.alexander-unzicker.de/dg.html
Einsteins Versuche, die Gravitation mit dem Elektromagnetismus zu vereinen (030213)
Das geniale an Einsteins allgemeine Relativitätsthorie war, dass er die Gravitation als Raumkrümmung
beschreiben konnte. Sein unerfüllter Lebenstraum blieb es, auch die elektromagnetischen Phänomene mit in
einer geometrischen Theorie zu vereinigen. Als geometrische Eigenschaft des Raumes betrachtete er deshalb –
einer Anregung des französischen Mathematikers Cartan folgend- neben der Krümmung die sog.Torsion und
versuchte diese mit dem Elektromagnetismus in Verbindung zu bringen. Interessant ist, dass diese Torsion auch
zur Beschreibung von topologischen Defekten des Raumes verwendet wird (s.o.), obwohl Einstein 1928 gar
nicht wissen konnte, dass diese topologischen Defekte sich ähnlich wie Elektronen verhalten. Umgekehrt
wusste man bei Entdeckung der relativistischen Formel der Versetzungsbewegung (1948) nicht, dass
Versetzungen mit Torsion zu tun haben (1955 entdeckt).
www.alexander-unzicker.de /ae1930.html
27.05.04
Der Photoeffekt -'sehr revolutionär'
Elektronen können durch Lichteinstrahlung aus Metallgittern herausgeholt werden, man stellt dies durch einen
kleinen Strom fest. Das wäre an sich noch nicht erstaunlich, da Licht als Welle Energie übertragen kann.
Merkwürdigerweise setzt aber der Photostrom erst ab einer bestimmten Lichtfrequenz ein, unabhängig von der
Intensität. Einstein hatte als erster bei der Planckschen Strahlungsformel vermutet– damals eine revolutionäre
These – dass Licht Energie nur in Portionen von hf (h Plancksches Wirkungsquantum) abgeben kann, den sog.
Lichtquanten (Photonen).
Für den Beleg seiner These durch den Photoeffekt erhielt er 1921 den Nobelpreis. Ein weiterer Beleg für die
Teilchennatur von Licht ist der Comptoneffekt.
Literatur: Oldenbourg Physik 12, Kap. 23 ff.
Polarisation von Licht, Brewsterwinkel
Licht ist bekanntlich eine elektromagnetische Welle, dessen elektrisches Feld senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung orientiert ist. Ist es in nur einer der beiden senkrechten Richtungen orientiert, nennt man
es (linear) polarisiert. Ist der einfallende Strahl senkrecht zur Papierebene polarisiert,
wird er ganz normal gebrochen und reflektiert (gestrichelte Linie).
Ist er dagegen in der Papierebene polarisiert, geht im
Auftreffpunkt die Richtung des elektrischen Feldes in Richtung
der gestrichelten Linie. Elektronen im Material würden in dieser
Richtung hin-und-herbewegt. Dies kann man aber aus der
Perspektive der gestrichelten Linie nicht sehen. Wenn man aber
die Bewegung von Ladungen nicht wahrnehmen kann, kann in
dieser Richtung auch keine Lichtabstrahlung erfolgen. Daher wird
Licht dieser Polarisation nur gebrochen! (Brewsterwinkel, wenn
der reflektierte genau senkrecht auf dem gebrochenen wäre)
Experiment: Schaut durch einen Polarisationsfilter auf eine
Tischfläche, die Fensterlicht reflektiert!
Literatur: Gehrtsen Physik, S. 539ff.
Taylorreihe- alles nur eine Polynomfunktion ?
Praktisch alle anständigen Funktionen lassen sich als sog. Taylorreihe darstellen, d.h. als Polynomfunktion mit
ggf. unendlich vielen Summanden, z.B. gilt z.B.
cos x = 1 − x
2
+x
4
−
x
6
+ ...
2k
∑ (2xk )! (−1)
∞
=
k
.
2 24 720
k =0
Man kann sich sogar leicht plausibel machen, wie man allgemein diese Reihen berechnet. Funktionswerte einer
beliebigen Funktion f(x) in der Nähe von 0 kann man annähern durch
f(x) f(0)+ f´(0)⋅x. Das gleich für die Ableitung liefert f´(x) f´(0)+ f´´(0)⋅x. Integriert man die Näherung für
die Ableitung, erhält man die noch bessere Näherung f(x) f(0)+ f´(0)⋅x + ½ f´´(0)⋅x2. Das Spielchen kann man
noch weiter treiben und erhält so
∞
f(x) =
∑x
k =0
k
1 (k )
f (0)
k!
wobei f(k) die k-te Ableitung bedeutet. Statt 0 kann man natürlich auch andere Punkte verwenden. Probiere
selbst die Reihen von sin x, ln x, exp(x) = ex, zu berechnen, und – hier klappts aber leider nicht – exp(-x2) !
Laserkühlung, Sisyphoskühlung – Nobelpreis fast in München (021114)
Atome können bekanntlich ganz bestimmte Lichtwellenlängen absorbieren und emittieren. Bestrahlt man einen
schon vorgekühlten haufen Atome mit Licht, dass eine etwas größere Wellenlänge λ als die Absorptionslinie λa
hat, können sie es nicht mehr aufbehmen – es sei denn, sie bewegen sich gerade auf den Lichtstrahl zu und
sehen ihn wegen der Dopplerverschiebung mit etwas höherer Frequenz, also kleinerem λ. Aussenden tun sie
Licht allerdings wieder mit ihrer Linie λa ! Auf diese Weise haben die emittierten Lichtquanten eine etwas
höhere Energie als die absorbierten, d.h. die Atome verlieren dauernd an (kinetischer) Energie, wenn man sie
von allen Seiten beleuchtet, und werden unglaublich – kalt, bis zu einigen µK. Diese grundlegende Idee stammt
übrigens von Theodor Hänsch (LMU München), den Nobelpreis haben allerdings andere bekommen – für die
Erklärung eines noch etwas komplizierteren Kühlmechanismus, den man Sisyphoskühlung oder
Polarisationsgradientenkühlung nennt. Auf diese Weise erzeugt man die tieften Temperaturen der Welt; ein
weiterer `verwandter ´ Nobelpreis wurde dazu 2001 verliehen
Literatur: www.nobel.se www.almaz.com/nobel, jeweils NP 1997,
Internet: polarisation gradient cooling
Zaubertricks: Kreuzprodukt-Fläche; Determinante-Volumen (vgl. 08.05.03)
Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren produziert einen dritten der auf beiden senkrecht steht. Damit nicht
genug, die Länge des Produktvektors ist gleich der Parallelogrammfläche, die von den ersten beiden
aufgespannt wurde! Und so geht’s:
a1 b1 a2b3 − a3b2
3 2 5
a2 x b2 = a3b1 − a1b3 , Beispiel: 1 x 4 = − 15
a b a b − a b
0 5 10
3 3 2 3 3 2
Bedenkt, dass man normalerweise mit cos hantieren muss, um die Fläche zu berechnen! Klar ist, dass das
Kreuzprodukt 0 ist, wenn die Vektoren parallel sind. Aber es kommt noch besser: Spannen drei Vektoren ein
Volumen auf (Parallelepepid), so kann man dies berechnen, indem man das Kreuzprodukt von zweien mit dem
3. Vektor multipliziert – allerdings mit dem Skalarprodukt ! Natürlich kann man auch den 2. mit dem 3. kreuzmultiplizieren und das Ergebnis mit dem 1. skalar multiplizieren - eine höchst magische Angelegenheit! Dieses
kombinierte Produkt der drei Vektoren ist übrigens a1 b2 c3 - a1 b3 c2 + a2 b3 c1 - a2 b1 c3 + a3 b1 c2 - a3 b2 c1 ,
a1 b1 c1
was man auch abgekürzt als a2 b2 c2
schreibt und Determinante nennt.
a3 b3 c3
Literatur: Bücher zur Linearen Algebra / Analytischen Geometrie; Bronstein, TB der Mathematik
Nuklidkarte, Zerfallsarten, magische Zahlen
In einer Nuklidkarte (warum nicht mal als Poster im Zimmer aufhängen?) sind alle Atomkerne verzeichnet, die
man kennt (größtenteils künstlich hergestellt). Diese bestehen aus Neutronen n (Anzahl nach rechts
aufgetragen) und Protonen p (nach oben). Die leichteren stabilen Kerne haben etwa gleich viele p`s und n`s und
liegen dager auf der Diagonale. Schwerere Kerne haben mehr Neutronen. Fühlt sich ein Kern `nicht wohl´, d.h.
hat er ein Unausgewogenenes Verhältnis von p und n, wandeln sich diese Kernbausteine ineinander um (βZerfall), wobei jeweils ein Elektron e-oder Positron e+ aus dem Kern geschleudert wird. Einige große Kerne
spucken ganze Heliumkerne (2p+2n) aus (α-Zerfall), -Zerfall nennt man die Aussendung von kurzen
Lichtwellen (wenn Kerne noch schwingen). Kerne sind besonders stabil, wenn sie eine bestimmte Anzahl von p
und n besitzen. Diese `magischen´ Zahlen sind 2,8, (14), (20), (28), 50, 82,126, ähnlich wie die Schalen der
Elektronenhülle der Atome in der Chemie. Diese sind allerdings perfekt durch Mathematik erklärt (vgl.
Cellosaite 040429); das haben die theoretischen Kernphysiker bis jetzt noch nicht geschafft. Hausaufgabe!
Einfache Diffferenzialgleichungen, Trennung der Variablen
dy
. Das hat den Vorteil, dass man bei einer Differenzialgleichung wie z.B. x2 f(x) =
dx
1
dy
f ´(x) als x2 y =
schreibt und dies wie einen Bruch behandelt: Trennung der Variablen liefert x2 dx = dy,
y
dx
1
nun setzt man einfach ein Integralzeichen vor beide Seiten der Gleichung und bekommt x3 +c = ln y, und hat
3
1 3
als Lösung der Differenzialgleichung y= y0 exp( x ), wobei (y0 =exp(c)). So einfach ist das !
3
f ´(x) schreibt man oft als
Pfeilfunktion und neuartige Rechenarten
Multiplikation ist eine Zusammenfassung der Addition und daher eine höhere Rechenart als diese: 3+3+3+3+3
= 3⋅5. Potenzieren ist eine Zusammenfassung der Multiplikation: 3⋅3⋅3⋅3⋅3 = 35.
Nun könnte man das Potenzieren zu einer noch höheren Rechenart zusammenfassen und definieren
33
33
3
= 35
. Probleme tauchen allerdings auf, wenn man sinnvoll 3 1,5 definieren will. 3⋅1,5 war kein Problem, und 31,5
kann man als Wurzel darstellen. Bei genauerem Hinsehen ging das aber nur, weil für Addition und
Multiplikation das Kommutativgesetz 3+5=5+3, 3⋅3 galt. Bei Potenzen gilt das nicht, also hat man ein Problem!
Knobelt daran!
Literatur: ich habe noch nichts gefunden!
08.07.04
Die Natur hat zwei Hände: Schraubensinn bei Elementarteilchen
Beim β-Zerfall wird bekanntlich ein schnelles Elektron aus dem Kern herausgeschleudert. Das sollte eigentlich
in zufälliger Richtung erfolgen. Lee+Yang (NP 1957) stellten fest, dass die Elektronen bevorzugt ich Richtung
des Kernspins (Kerne sind auch so etwas wie kleine Elementarmagneten) herausgeschleudert werden. Auf den
ersten Blick sagt man „na und?“, aber man muss sich klar machen, dass die Richtung des Magnetfeldes rein
willkürlich definiert wurde, man hätte die Dreifingerregel ja auch mit der linken Hand machen können (man
nennt das B-feld daher einen axialen Vektor, d.h. nur die Achse hat physikalische Bedetung). Aus diesem
Grund war die Entdeckung der Richtungsabhängigkeit wirklich sensationell, da dies darauf hindeutete, dass
Elektronen so etwas wie einen Schraubensinn haben; das Antiteilchen Positron übrigens den umgekehrten.
Antiteilchen sind offensichtlich wirklich Spiegelbilder, sie unterscheiden sich wie die rechte und die linke
Hand.
Literatur: www.almaz.com/nobel, engl. Fachbegriff: beta decay, parity violation
Phantastische Waage in den Weiten der Milchstraße: Taylor-Hulse- Pulsar (NP 1993)
Der Entdeckung des THP (auch Binärpulsar, PR1913+16) ging natürlich die Entdeckung der Pulsare überhaupt
voraus (NP 1974). Diese wurden zuerst als „LGM“ (little green men) bezeichnet, weil man sich die
regelmäßigen Radiosignale im Millisekundenbereich nicht erklären konnte. Erst die Vorstellung von einem
Leuchtturmblinken, das ein schnell rotierender Stern in Richtung der Achse seinen Magnetfeldes aussendet,
lieferte eine Erklärung. Allerdings muss ein Stern von Sonnenmasse dann extrem klein – Radius 5-10 km sein. Dies stimmt wunderbar mit der Theorie der Neutronensterne überein, die die Dichte von Kernmaterie
haben (um den Faktor 1015 größer als „normale“, rechnen! ).
Aus der Variabilität eines solchen Signals folgerte Taylor, dass sich zwei Sterne, davon ein Neutronenstern,
umeinander bewegen, nach Kepler auf Ellipsenbahnen. Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART)
verschieben sich diese Ellipsen um eine Winzigkeit (Periheldrehung), die beim Planeten Merkur zu 43
Bogensekunden/Jhd. gemessen wurde. Beim Pulsar PR1913+16 war dieser Effekt 10 Millionen mal größer: ca.
4,2° pro Umlauf! So konnte man indirekt auch die Massen der beiden Sterne bestimmen, was auf den sehr
plausiblen Wert 1,4 Sonnenmassen führte. Der Binärpulsar gilt daher auch als spektakuläre Bestätigung der
ART.
Literatur: C.Will: Was Einstein Right ? Suche nach: binary pulsar
Messungen der Gravitationskonstante G und die verrückte Idee von Dirac
Die merkwürdige Einheit von G, m3/(s2 kg) veranlasste Dirac (1938) darüber zu spekulieren, ob sie nicht mit
anderen Naturkonstanten und den Weltalldaten (Masse MU, Radius RU) zusammenhängt. In der Tat kommt im
Rahmen der (nicht soo tollen) Meßgenauigkeit RU c2/MU dem Wert von G sehr nahe. Aber wie soll ein fallender
Apfel die Masse des ganzen Universums spüren? Es gab daher noch eine konkretere Idee:
m
c2
= ∑i i , wobei die Summe über alle Massen mi des
Sciama (1953) spekulierte über den Zusammenhang
G
ri
Universums mit jeweiligem Abstand ri genommen wird. Dies verwirklicht einen schönen Gedanken des
Physikers und Philosophen Ernst Mach, nachdem die Ursache der Trägheit in allen anderen Massen des
Universums liegt. Eine interessante Vorstellung: wäre die Gravitationskraft anders, wenn es nur unsere Galaxie
gäbe statt noch 100 Milliarden anderen ? Im Moment läßt sich dies noch nicht entscheiden. Die
Präzisionsmmessungen von G ergeben teils sich widersprechende Werte, allerdings kann man unabhängig
davon messen, dass sich G nicht ändert (Zeitableitung =0), obwohl RU und ri ja andauernd größer werden.
Andererseits wäre die obige Übereinstimmung schon ein merkwürdiger Zufall.
Literatur: C.Will: Was Einstein Right ? Suche: great number hypothesis, Mach`s principle
Einstein war baff – das Äquivalenzprinzip
Masse können wir allein dadurch definieren, wie sehr sich ein Körper einer beschleunigenden Kraft widersetzt
(Trägheit ): m = F/a. Es gibt viele Kräfte in der Physik, und die meisten hängen von weiteren Eigenschaften der
Materie ab: die elektrische Kraft von der Ladung, die Kernkraft von der Anzahl der Kernbausteine, etc. Die
Gravitation spielt eine Sonderrolle: sie hängt – zufällig ? – von der uns schon bekannten Masse (schwere
Masse) ab. Oder doch nicht? Vielleicht unterscheiden sich die träge und schwere Masse ja um eine Winzigkeit?
Die Physiker geben sich unendlich viel Mühe, dies zun testen (Eötvös 1908, und andere heute), aber bisher hat
noch niemand eine Abweichung gefunden: träge und schwere Masse scheinen exakt gleich zu sein! Dies nennt
man Äquivalenzprinzip. Einstein schreibt dazu: „ .. dieser Satz von der Gleichheit der trägen und schweren
Masse leuchtete mit nun in seiner tiefen Bedeutung ein. Ich wunderte mich im höchsten Maße über sein
Bestehen...“ Einstein baute auf dem Äquivalenzprinzip die ART auf, was zu einer spektakulären geometrischen
Beschreibung der Gravitation führte.
Literatur: Einstein: Mein Weltbild; Relativitätstheorie
Reelle Zahlen- Komplexe Zahlen- Quaternionen - .... Mathematiker werden nicht müde, immer neue Verrücktheiten zu erfinden. So wie die komplexen Zahlen eine
Erweiterung der reellen auf 2 Dimensionen darstellen, kann man die komplexen auf 4 Dimensionen erweitern.
Statt einer Zahl (i), deren Quadrat –1 ergibt, gibt es nun deren drei, man nennt sie I, J, K, aber muss sie als
Matritzen darstellen:
0 − 1
; J =
I =
1 0
0 − i
i 0
; K =
; Mit i2 = -1 und den Regeln der Multiplikation der Matritzen (vgl. AG
i
0
0
i
−
1
0
, was der „Zahl“ –1 entspricht. Lustigerweise is J⋅K = -I usw. Das
Euler 030508) gilt: I2 = J2 = K2 =
0 − 1
Kommutativgesetz gilt nicht mehr ! (K ⋅ J = I). Dieses Spielchen kann man noch auf 8, 16 usw. Dimensionen
erweitern (Clifford-Algebren). Merkwürdigerweise kommen diese Gebilde wieder in der Natur, d.h. in der
Quantenmechanik vor (Pauli-, Dirac-matritzen).
Literatur: Bronstein, TB der Mathematik, Courant ?
Newtonverfahren
Bekanntlich ist es manchmal nicht einfach, Nullstellen zu
finden: Quadratische Funktionen gehen noch mit
Mitternacht, Gleichungen 3. und 4. grades kann man mit den
Cardanoschen Formeln lösen (schon sehr kompliziert), aber
ab 5. Grades gibt es kein allgemeines Verfahren mehr, ganz
abgesehen von Dingen wie cos x = x, versucht mal dies
aufzulösen! Da hilft nur noch der Computer, allerdings mit
einem Näherungsverfahren, das schon Newton entwickelt
hatte: man geht zu einem Punkt, legt die Tangente durch,
schaut wo diese die x-achse schneidet, und nimmt davon
wieder den Funktionswert, und so weiter (s. Bild).
Man startet bei x1, x2 und x3 werden schon besser, und x5
(nicht mehr gezeichnet) trifft praktisch schon die Nullstelle
(Konvergenz). Leider klappt es nicht so super, wenn die
Funktion flach ist (man sagt, das Verfahren konvergiert
schlecht). Mathematica benützt im befehl FindRoot das
Newtonverfahren.
Literatur: Bronstein, TB der Mathematik, Numerical Recipies in C
