Deduktion in der Aussagenlogik

Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Deduktion in der Aussagenlogik
• Menge von Ausdrücken der Aussagenlogik beschreibt
einen bestimmten Sachverhalt, eine "Theorie" des
Anwendungsbereiches. Was folgt logisch aus dieser
Theorie?
• Deduktion: aus wahren Aussagen andere notwendigerweise wahre Aussagen ableiten
• Beispiele
Wenn es regnet, dann wird die Strasse nass.
Es regnet.
----------------------------Die Strasse wird nass.
Vögel können fliegen.
Tweetie ist ein Vogel.
----------------------------Tweetie kann fliegen.
• verallgemeinert zur universellen Schlussregel "modus
ponens"
Wenn A gilt, dann gilt B.
A gilt.
---------------------------B gilt.
• Wie kann man diese und andere Schlussregeln
formalisieren?
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 1
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Semantische Folgerungsbeziehung
• Wenn in einer bestimmten Situation die Aussagen M
wahr sind, ist dann notwendigerweise auch die
Aussage P wahr?
• Folgerung sollte unabhängig von der Situation sein,
d.h.
unabhängig
von
der
Zuordnung
von
Wahrheitwerten, die M und P erfüllen
• Definition: eine Aussage P ist die logische Konsequenz
einer Menge von Aussagen M, wenn jede Zuordnung
von Wahrheitswerten, die M wahr macht, auch P wahr
macht
M |= P
• Beispiel:
Aussage
P = ¬ p ∨ (q ∧ ¬ r)
ist logische Konsequenz von
M = {p → q, q → ¬ r, r → (p ∨ s)}
d.h.
{p → q, q → ¬ r, r → (p ∨ s)} |= (¬ p ∨ (q ∧ ¬ r))
• Beweis durch Wahrheitstabellen oder – wie früher
gezeigt – durch Widerspruch
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 2
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Syntaktische Folgerungsbeziehung
• nach festen syntaktischen Regeln – Deduktionsregeln
oder Inferenzregeln – werden aus Aussagen andere
Aussagen hergeleitet
• Aussage P ist aus einer Menge von Aussagen M
herleitbar, wenn man P nach endlichen vielen
Anwendungen der Regeln auf M erhält
M |− P
Ausgangsaussagen M werden Axiome
hergeleitete Aussagen P Theoreme
genannt,
Ableitung wird auch Beweis genannt
• Beweis ist endliche Folge von Aussagen
P1, P2, ..., Pn
wobei jedes Pi ein Axiom oder eine nach den Regeln
hergeleitete Aussage ist
Beweis gelingt, wenn die letzte Aussage Pn das zu
beweisende Theorem ist
• Axiome werden in logische Axiome und nichtlogische
oder eigentliche Axiome eingeteilt
logische Axiome sind Tautologien
eigentliche Axiome heissen auch Hypothesen
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 3
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Zusammenhang zwischen semantischer
und syntaktischer Folgerung
• Deduktionssystem besteht aus Axiomen, Deduktionsregeln und – was oft vergessen wird – einer
Beweisstrategie
• Deduktionssystem muss korrekt sein, d.h. jedes
hergeleitete Theorem muss logische Konsequenz der
Axiome sein
M |− P → M |= P
• Deduktionssystem sollte vollständig sein, d.h. jede
logische Konsequenz der Axiome sollte auch
hergeleitet werden können
M |= P → M |− P
• wenn ein Deduktionssystem korrekt und vollständig
ist, dann kann man die (aufwendige) logische
Konsequenz durch einen endlichen Beweis ersetzen
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 4
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Natürliche Deduktion
• natürliche Deduktion ist ein Deduktionssystem mit
ungefähr einem Dutzend von Deduktionsregeln; es gibt
nur Hypothesen, keine logischen Axiome
• natürliche Deduktion soll das menschliche Argumentieren formalisieren
• natürliche Deduktion erklärt die Bedeutung der
Konnektoren unabhängig von Wahrheitstabellen
• Wann kann man eine Aussage mit einem bestimmten
Konnektor als Hauptkonnektor herleiten?
Die Antwort führt zu
Konnektoren einführen.
I-Deduktionsregeln,
die
• Welche Aussagen kann man aus einer Aussage mit
einem bestimmten Hauptkonnektor herleiten?
Die Antwort führt zu
Konnektoren eliminieren.
E-Deduktionsregeln,
die
• Regeln – und Beweise – werden als Bäume geschrieben,
deren Blätter die Hypothesen und deren Wurzeln die
Schlüsse sind
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 5
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Natürliche Deduktion: Konjunktion
• Einführung der Konjunktion
P Q
-------- ∧I
P∧Q
Bedeutung: wenn P und Q entweder als Hypothesen
gegeben sind oder hergeleitet wurden, dann kann man
die Konjunktion P ∧ Q herleiten.
• man kann auch
{P, Q} |− (P ∧ Q)
schreiben
• Beispiel:
p q
------- ∧I
p∧q r
------------- ∧I
(p ∧ q) ∧ r
d.h.
{p, q, r} |− (p ∧ q) ∧ r
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 6
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Natürliche Deduktion: Konjunktion
• Eliminierung der Konjunktion
P∧Q
-------- ∧E
P
P∧Q
-------- ∧E
Q
Bedeutung: aus der Konjunktion P ∧ Q kann man
sowohl P wie Q herleiten.
• Beispiel:
p∧q
p∧q
-------- ∧E
-------- ∧E
p
q
---------------------------------------- ∧I
q∧p
d.h.
p ∧ q |− q ∧ p
(Kommutativität von ∧)
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 7
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Natürliche Deduktion: Implikation
• Eliminierung der Implikation (modus ponens)
P→Q P
---------------- →E
Q
• Beispiel:
p∧r
-------- ∧E
p∧r
r
r→q
-------- ∧E
--------------------------------- →E
p
q
---------------------------------------------------------- ∧I
p∧q
d.h.
{p ∧ r, r → q} |− p ∧ q
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 8
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Natürliche Deduktion: Implikation
• Einführung der Implikation
Um P → Q herzuleiten, nehmen wir P als Hypothese
und leiten Q her. Dann können wir den Schluss P → Q
ziehen. Die Hypothese P wird anschliessend nicht
länger benötigt und "gestrichen", d.h. sie ist nicht mehr
verfügbar.
[P]
.
.
Q
--------- →I
P→Q
• Man kann sich die Einführung der Implikation über die
Wahrheitstabelle von → klarmachen.
• Hinter der Einführung der Implikation steht eine
Richtung des Deduktionstheorems der Aussagenlogik
M ∪ {P} |− Q genau dann, wenn M |− (P→ Q)
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 9
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Natürliche Deduktion: Implikation
• Beispiel:
(p ∧ q) → r |− (q ∧ p) → r
Herleitung
[q ∧ p] 1
[q ∧ p] 1
--------- ∧E --------- ∧E
q
p
---------------------------- ∧I
p∧q
(p ∧ q) → r
---------------------------------------------------- →E
r
---------------------------------------------------- →I1
(q ∧ p) → r
NB. nach →I1 ist die Hypothese [q ∧ p]1 gestrichen
• Wie geht man vor, um (q ∧ p) → r herzuleiten?
Heuristische Regel: man nimmt die Vorbedingung der
Implikation – in diesem Fall (q ∧ p) – und versucht, die
Konsequenz – in diesem Fall r – herzuleiten. Die
Aussage selber kann dann mit Hilfe von →I abgeleitet
werden.
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 10
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Natürliche Deduktion: Disjunktion
• Einführung der Disjunktion
P
-------- ∨I
P∨Q
Q
-------- ∨I
P∨Q
• Eliminierung der Disjunktion
Um aus einer Disjunktion P ∨ Q einen Schluss R zu
ziehen, muss R aus P und aus Q hergeleitet werden
können.
[P] [Q]
.
.
.
.
R R
P∨Q
----------------------- ∨E
R
• Beispiel
p ∨ q |− q ∨ p
Herleitung
[p]1
[q]2
--------- ∨I1
--------- ∨I2
q∨p
q∨p
p∨q
--------------------------------------------------------------- ∨E
q∨p
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 11
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Natürliche Deduktion: Negation
• Einführung der Negation
[P]
.
.
⊥
--------- ¬I
¬P
• Eliminierung der Negation
P ¬P
---------- ¬E
⊥
• ¬P wird effektiv als P → ⊥ interpretiert
• Beispiel:
|− ¬(p ∧ ¬p)
Herleitung
[p ∧ ¬p]1
[p ∧ ¬p]1
----------- ∧E
----------- ∧E
p
¬p
---------------------------------------- ¬E
⊥
---------------------------------------- ¬I1
¬( p ∧ ¬p)
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 12
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Natürliche Deduktion: ex falso quodlibet
• aus einer falschen Annahme kann alles hergeleitet
werden.
⊥
----- ⊥E
(auch EFSQ genannt)
P
• Beispiel:
|− ¬p → (p → q)
Herleitung
[¬p]1
[p]2
----------------- ¬E
⊥
----- ⊥E
q
----------------- →I2
p→q
----------------- →I1
¬p →(p → q)
(zweimal Heuristik für →)
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 13
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Natürliche Deduktion: reductio ad absurdum
• RAA (reductio ad absurdum)
[¬P]
.
.
⊥
----- RAA
P
• Wenn wir aus der Annahme [¬P] die Aussage ⊥
ableiten können, dann dürfen wir P schliessen.
• intuitionistische Logik lehnt diese Regel als nichtkonstruktiv ab
• alternativ zu RAA können auch die Regeln vom
ausgeschlossenen Dritten (tertium non datur) oder die
Regel der doppelten Verneinung verwendet werden
• ausgeschlossenes Drittes (tertium non datur)
---------- TND
P ∨ ¬P
• doppelte Verneinung
¬¬P
----- DV
P
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 14
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Natürliche Deduktion: Reflexivität & Monotonie
• natürliche Deduktion ist reflexiv
M ∪ {P} |− P
• natürliche Deduktion ist monoton
Wenn M |− P und M ⊆ N, dann N |− P
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 15
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Natürliche Deduktion: Heuristiken
• für die Herleitung von Aussagen gibt es eine Reihe von
Heuristiken, die eine Art Beweisstrategie nahelegen
Um P → Q herzuleiten, nehme man P als Annahme
und versuche, Q abzuleiten.
Um P ∧ Q herzuleiten, versuche man, P und Q
abzuleiten.
Um P ∨ Q herzuleiten, versuche man, P oder Q
abzuleiten.
Um R aus P ∨ Q herzuleiten, versuche man, R aus P
und R aus Q abzuleiten.
Um ¬P abzuleiten, nehme man P als Annahme und
versuche, zwei Aussagen Q und ¬Q abzuleiten.
• trotzdem erfordert natürliche Deduktion Erfahrung
und ein gewisses Mass an Ausprobieren
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 16
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Natürliche Deduktion: Beispiel
• Beispiel von Folie 2
Auf Folie 2 wurde gezeigt, dass
{p → q, q → ¬ r, r → (p ∨ s)} |= (p → (q ∧ ¬ r))
Hier wird nun gezeigt, dass
{p → q, q → ¬ r, r → (p ∨ s)} |− (p → (q ∧ ¬ r))
Herleitung
[p]1 p → q
----------------- →E
q
q→¬r
------------------------------------------------- →E
¬r
------------------------------------------------- ∧I
q∧¬r
------------------------------------------------- →I1
p → (q ∧ ¬ r)
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 17
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Natürliche Deduktion: Beispiel
• umfangreicheres Beispiel (Truss, p. 290); die Zahlen
numerieren die Annahmen und zeigen ausserdem an,
wann die Annahmen gestrichen werden, d.h.
anschliessend nicht mehr zur Verfügung stehen
|− (¬p → q) → ((¬p → ¬q) → p)
• zum Erzeugen der (zu streichenden) Hypothesen wird
mehrfach die Heuristik für → verwendet
[¬p ]1 [¬p → q]3
[¬p ]1 [¬p → ¬q]2
---------------------- →E
-------------------------- →E
q
¬q
------------------------------------------------------------ ¬E
⊥
------ RAA1
p
---------------------------------------- →I2
(¬p → ¬q) → p
---------------------------------------- →I3
(¬p → q) → ((¬p → ¬q) → p)
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 18
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Natürliche Deduktion: Korrektheit & Vollständigkeit
• natürliche Deduktion ist korrekt, d.h. wenn M |− P,
dann M |= P
Beweis durch Wahrheitstafeln
• Menge M von Aussagen heisst inkonsistent, wenn man
aus ihr ⊥ herleiten kann; sonst ist M konsistent
• M |− P genau dann, wenn M ∪ {¬P} inkonsistent ist
Spezialfall des Deduktionstheorems
M ∪ {A} |− B genau dann, wenn M |− (A → B)
setze A = ¬P und B = ⊥
M ∪ {¬P} |− ⊥ genau dann, wenn M |− (¬P → ⊥), d.h.
wenn M |− P
• M |= P genau dann, wenn M ∪ {¬P} unerfüllbar ist
• natürliche Deduktion ist vollständig, d.h. wenn M |= P,
dann M |− P
Skizze des Beweises:
wenn M |= P, dann M |− P
ist M ∪ {¬P} unerfüllbar, dann ist M ∪ {¬P}
inkonsistent
ist M ∪ {¬P} konsistent, dann ist M ∪ {¬P} erfüllbar
angenommen, dass M ∪ {¬P} konsistent ist, wird
eine Belegung gefunden, die M ∪ {¬P} wahr macht
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 19
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Resolution
• Resolution ist ein Deduktionssystem mit einer einzigen
Deduktionsregel; es gibt nur Hypothesen, keine
logischen Axiome
• Resolution entstand beim Versuch, Deduktion zu
automatisieren, d.h. Beweise durch den Computer
automatisch ausführen zu lassen
• Resolution ist u.a. die Grundlage der logischen
Programmierung
• Grundidee der Resolution: aus den beiden wahren
Aussagen
P∨Q
¬P∨R
kann man die wahre Aussage
Q∨R
schliessen, denn entweder ist P wahr, dann muss R
wahr sein, oder P ist falsch, dann muss Q wahr sein; in
jedem Fall ist dann Q ∨ R wahr
• Resolution setzt voraus, dass Aussagen in der
Klauselform, d.h. als konjunktive Normalform, dargestellt werden
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 20
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Klauselform der Aussagenlogik
• konjunktive Normalform einer aussagenlogischen
Formel: Konjunktion von Disjunktionen von atomaren
und negierten atomaren Aussagen
D1 ∧ D2 ∧ ... ∧ Dn
(Di heissen Klauseln)
Di = Li1 ∨ Li2 ∨ ... ∨ Lim
(Lij heissen Literale)
• systematische Umwandlung in Klauselform
Beispiel
(A → ¬(B → C))
1. Schritt: Elimination von →
(A → ¬ (B → C)) ≡
[Regel: P → Q ≡ ¬ P ∨ Q]
(¬ A ∨ ¬ (¬ B ∨ C))
2. Schritt: Verteilung von ¬ auf atomare Ausdrücke
(¬ A ∨ ¬ (¬ B ∨ C)) ≡
[Regel: ¬ (P ∨ Q) ≡ ¬ P ∧ ¬ Q)]
(¬ A ∨ (¬ ¬ B∧ ¬ C)) ≡
[Regel: ¬ ¬ P ≡ P]
(¬ A ∨ (B ∧ ¬ C))
3. Schritt: Umwandlung in eine Konjunktion von
Disjunktionen durch distributive Regel
(¬ A ∨ (B ∧ ¬ C)) ≡
[Regel: P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)]
((¬ A ∨ B) ∧ (¬ A ∨ ¬ C))
4. Schritt: Darstellung als Menge von Klauseln
{(¬ A ∨ B) , (¬ A ∨ ¬ C)}
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 21
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Klauselform der Aussagenlogik
• Klausel ist Aussage der Form
P1 ∨ P2 ∨ ... ∨ Pn ∨ ¬ N1 ∨ ¬ N2 ∨ ... ∨ ¬ Nm
• äquivalente Formen
≡ P1 ∨ P2 ∨ ... ∨ Pn ∨ ¬ (N1 ∧ N2 ∧ ... ∧ Nm)
≡ N1 ∧ N2 ∧ ... ∧ Nm → P1 ∨ P2 ∨ ... ∨ Pn
• Notation der logischen Programmierung
≡ P1 , P2 , ... , Pn ← N1 , N2 , ... , Nm
(NB. Kommata auf der linken Seite bedeuten
Disjunktion, auf der rechten Seite Konjunktion)
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 22
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Schlussregel Resolution
• Resolutionsregel (Robinson)
Klausel K1 mit dem positiven Literal L
Klausel K2 mit dem negativen Literal ¬ L
Aus den Klauseln K1 und K2 leitet man die Resolvente,
d.h. die Klausel {K1 - {L}} ∪ { K2 - {¬ L}} ab.
K1
K2
-----------------------------------{K1 - {L}} ∪ { K2 - {¬ L}}
• Beispiel
p∨q∨¬r
s∨¬p
-----------------------------------q∨¬r∨s
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 23
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Andere Schlussregeln als Resolution
• Resolution ist eine mächtige Schlussregel, die andere
Schlussregeln als Spezialfälle enthält
• modus ponens
P→Q
P
--------------------Q
als Resolution
¬P∨Q
P
--------------------Q
• modus tollens
P→Q
¬Q
--------------------¬P
als Resolution
¬P∨Q
¬Q
--------------------¬P
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 24
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Leere Klausel
• leere Klausel {}, d.h. Klausel ohne positive und negative
Literale, steht für die widersprüchliche Aussage ⊥, d.h.
für Inkonsistenz
• Beispiel
Klauselmenge M = {¬p ∨ q, p, ¬ q}
Resolutionen
¬p ∨ q
p
----------------q
¬q
------------------{}
d.h. die Klauselmenge M ist inkonsistent
andere Ableitung der leeren Klausel
¬p ∨ q ¬q
----------------¬p
p
------------------{}
• Eine Klauselmenge ist inkonsistent, wenn man durch
Resolution auf irgendeine Weise die leere Klausel {}
ableiten kann.
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 25
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Deduktion mit Resolution
• Deduktion mit Resolution verwendet Beweise durch
Widerspruch (Refutation)
• Vorgehensweise
M |− P genau dann, wenn M ∪ {¬P} inkonsistent ist
Um nachzuweisen, dass M ∪ {¬P} inkonsistent ist,
transformiert man M ∪ {¬P} in Klauselform.
Dabei verwendet man den Satz: Eine Menge M von
aussagenlogischen Formeln kann in eine Menge von
Klauseln transformiert werden, die genau dann
konsistent ist, wenn M konsistent ist.
Wenn man aus den aus M ∪ {¬P} entstandenen
Klauseln durch Resolution die leere Klausel ableiten
kann, dann ist diese Klauselmenge inkonsistent. Damit
ist auch M ∪ {¬P} inkonsistent, und somit gilt M |− P.
Falls man die leere Klausel nicht ableiten kann, ist M ∪
{¬P} konsistent und somit kann P nicht aus M
abgeleitet werden.
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 26
Formale Grundlagen der Informatik (Fuchs/Kraan SS 99)
Deduktion mit Resolution: Beispiele
• Beispiel
Beweis von (p → q) → r |− p → (q → r)
Ist
{(p → q) → r, ¬ (p → (q → r))}
inkonsistent?
Umwandlung in Klauselform
≡ {¬ (¬ p ∨ q) ∨ r, ¬ (¬p ∨ (¬ q ∨ r))}
≡ {(p ∧ ¬ q) ∨ r, p ∧ q ∧ ¬ r}
≡ {(p ∨ r) ∧ (¬ q ∨ r), p ∧ q ∧ ¬ r}
≡ { p ∨ r, ¬ q ∨ r, p, q, ¬ r}
Resolution
¬q∨r ¬r
-----------------¬q
q
------------------------------{}
Beweis wurde erbracht
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 27
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Deduktion mit Resolution: Beispiele
• Beispiel (Umkehrung der Aussagen)
Beweis von p → (q → r) |− (p → q) → r
Ist
{ p → (q → r), ¬ ((p → q) → r)}
inkonsistent?
Umwandlung in Klauselform
≡ {¬ p ∨ (¬ q ∨ r), ¬ (¬ (¬p ∨ q) ∨ r)}
≡ {¬ p ∨ ¬ q ∨ r, (¬p ∨ q) ∧ ¬ r }
≡ {¬ p ∨ ¬ q ∨ r, ¬p ∨ q, ¬ r}
Resolution führt in diesem Fall nicht zur leeren
Klausel; man kann sich leicht überzeugen, dass
immer eine Resolvente ¬p übrigbleibt
D.h. die obige Ableitung gilt nicht.
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 28
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Korrektheit und Vollständigkeit
• Korrektheit der Resolution
Wenn eine Klausel K aus einer Menge M von Klauseln
durch Resolution abgeleitet werden kann, dann ist K
eine logische Konsequenz von M.
• Korollar
Wenn die leere Klausel aus einer Menge M von
Klauseln durch Resolution abgeleitet werden kann,
dann ist die leere Klausel eine logische Konsequenz
von M, d.h. M inkonsistent.
• Vollständigkeit der Resolution bezüglich Refutation
Wenn eine Menge von Klauseln inkonsistent ist, dann
kann man aus ihr durch Resolution die leere Klausel
ableiten.
Weitere Logik: Deduktion in der Aussagenlogik 29