Stochastik - Universität Koblenz · Landau

Stochastik
FB 3 — Mathematisches Institut
Dr. Robert Rockenfeller
Übung 4
4. Mai 2016
So, da es Fragen gab, bzgl. Durchführung einer Probeklausur und momentan jede Menge Zeit zur
Verfügung steht (Pfingsten und Feiertage) ist das Blatt für diese Woche etwas voluminöser. Jedoch
sind es alles Aufgaben, die so oder so ähnlich eine Daseinsberechtigung in einer Klausur hätten. Ein
Zeitansatz für jede Aufgabe ist vermerkt. Die Besprechung erfolgt nur auf konkrete Nachfragen.
Aufgabe 12: In dieser Aufgabe sind einige Vertreter aus bisher in der Vorlesung behandelten
Wahrscheinlichkeitsverteilungen anzuwenden, jedoch nicht in kronologischer Reihenfolge. Jede
Verteilung taucht höchstens einmal auf. Die Ergebnisse der Aufgaben sind unten angegeben, um
zu kontrollieren, ob die richtige Verteilung gewählt wurde (ich hoffe mal, ich habe keine Rechenfehler gemacht...daher ohne Gewähr). Achtet auf Stichworte in den Aufgaben, bzw. die Wahl des
Modelles. Zeitansatz: Etwa 15 Minuten Gesamtrecherche in den Unterlagen, die normalerweise
das Schmierblatt übernimmt, sowie weitere 5 Minuten zum Lösen pro Teilaufgabe. Macht in der
Summe etwa 50 Minuten insgesamt.
(a) Ein Käfer beginnt zur Zeit 0 im Ursprung eines Koordinatensystems eine Wanderung, bei
der er in jeder Minute seine Position um eine Einheit nach rechts oder oben zufällig ändert.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Käfer nach 12 Minuten im Punkt P (5|7)?
(b) Ein Lachs schwimmt einen Bachlauf hinauf und muss dazu einen kleinen Sturz überwinden.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Sturz bei einem Sprung überwindet, liege bei
p = 0, 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafürr, dass der Fisch mindestens zweimal,
aber höchstens viermal springen muss, um den Sturz zu überwinden?
(c) Von 60 Labormäusen sind 20 erkrankt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Stichprobe von 10 Mäusen 3 kranke zu finden?
(d) Von 50 Personen ist durchschnittlich eine Person farbenblind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 100 zufällig ausgewählten Personen mindestens zwei farbenblinde
Personen?
(e) In einer Fabrik werden Tüten mit Kartoffelchips befüllt. Das durchschnittliche Gewicht der
Tüten soll nach Angaben des Werkes 200 Gramm betragen. Da die Tüten machinell befüllt
werden, wird dieser Wert nur mit einer Standardabweichung von 5 Gramm eingehalten.
Betrachte nun die Zufallsvariable X: “Gewicht einer Tüte Kartoffelchips”. Sonst ist über
die Verteilung des Gewichtes nichts bekannt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass einee
Tüte mindestens 210 Gramm wiegt?
(f) Es wird mit zwei 8-Seitigen Würfeln gewürfelt (haben die Form von Oktaedern). Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum der beiden Würfe gleich 5 ist?
(g) Die Lebenserwartung von Roloway-Meerkatzen beträgt durchschnittlich 20 Jahre. Dabei ist
die wahrscheinlichkeit zu sterben unabhängig vom Alter eines Tieres. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Roloway-Meerkatze älter wird als erwartet.
Lösungen (der Größe nach): {2, 28%; 14, 1% 19, 4%; 28, 2%; 36, 8%; 46%; 59, 4%}
Aufgabe 13: Zeige: Für zwei Zufallsvariablen X, Y mit V [X], V [Y ] 6= 0 gilt, dass
r[aX + b, cY + d] = r[X, Y ] für alle a, b, c, d ∈ R, wobei r[X, Y ] den Korrelationskoeffizienten
beschreibt. (Zeitansatz: 10 Minuten + zwei/drei Minuten Recherche)
Besprechung in der 21./22. Woche
Stochastik
FB 3 — Mathematisches Institut
Übung 4
4. Mai 2016
Dr. Robert Rockenfeller
Aufgabe 14: Finde bei den folgenden Funktionen die Koeffizienten a1 , a2 , a3 , a4 sowie Definitionsbereiche Ia1 , Ia2 , Ia3 , Ia4 an, sodass die jeweiligen Funktion fai : Iai → R Wahrscheinlichkeitsdichten darstellen (außerhalb dieses Definitionsbereiches ist die Funktion Null). Berechne auch
den Erwartungswert E(Xi ) der bezüglich fai verteilten Zufallsvariablen. (Zeitansatz: Pro Aufgabe
etwa 10 Minuten)
a1 ) fa1 (x) = a1 · x · (x − 1)
a2 ) fa2 (x) =
1
a2
− ax
·e
2
a3 ) fa3 (x) = a3 · sin(x)
a4 ) fa4 (x) =
a4
1+x2
Aufgabe 15: (a) Sei die (diskrete) Wahrscheinlichkeitsdichte von einer Zufallsvariablen X gegeben durch
(
x , x = 21k , k ∈ N>0
p(x) =
0 , sonst
Skizziere die Dichte sowie die dazugehörige Verteilungsfunktion und bestimme daraus die
folgenden Wahrscheinlichkeiten:
P (X > 1/2),
P (X < 1/4) P (X = 1/2),
P (1/8 < X < 7/8).
(Zeitansatz: Etwa 10 Minuten)
(b) Es sei folgende (diskrete) Verteilungsfunktion


0
F (X) = 1 − p


1
F gegeben durch
, falls x < 0
, falls 0 ≤ x < 1
, falls x ≥ 1
Zu welcher (bereits bekannten) Wahrscheinlichkeitsverteilung f gehört diese Verteilungsfunktion?
(Zeitansatz: Etwa 5 Minuten)
Vermischte Aufgaben zum Üben: (Entfällt dieses Blatt, wer möchte erforscht das Internet nach
einer der zahlreichen Aufgaben zu einem bestimmten Thema)
Lösung der vermischten Aufgaben vom Vorblatt:
• Paradoxon von de Méré: hier klicken
• a) Ja, von 1/6 auf 1/2.
b) Mische ein unmögliches Ereignis bei
c) Googlen oder hier klicken
• 1,2 % bzw. 83,2%
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