Mathematik und Statistik für Raumplaner - Fachbereich Stadt

A.Prof. Dr. Wolfgang Feilmayr
Mathematik und Statistik für Raumplaner: Funktionen
Mathematik und Statistik
für Raumplaner
Funktionen
Wintersemester 2008/2009
Leiter und Autor:
A. Prof. Dr. Wolfgang Feilmayr
Fachbereich Stadt- und Regionalforschung
Technische Universität Wien
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A.Prof. Dr. Wolfgang Feilmayr
Mathematik und Statistik für Raumplaner: Funktionen
Grundbegriffe und Definitionen
Eine Zuordnung f, die jeder Zahl x ∈ M eindeutig eine
Zahl y ε N zuordnet, heißt Funktion
y = f (x)
y ∈ N; x ∈ M
f:
Funktionsvorschrift, Funktionsgleichung,
Wirkungsfläche, Response Surface
x: unabhängige, exogene, independent Variable
(variable)
y: abhängige, endogene, dependent Variable
(variable)
M: Definitionsbereich
IM maximaler Definitionsbereich
N: Wertebereich
Gf = {P(x,y) | y = f(x) ∧ x ∈ M} heißt Graph der Funktion f
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Mathematik und Statistik für Raumplaner: Funktionen
Beispiele:
y = f(x) = 2x + 4
IM1 = {x| -2 ≤ x ≤ 3}ℜ
IM2 = { x| -2 ≤ x ≤ 3}Ζ
Man sieht, dass die Angabe des Definitionsbereichs
von großer Bedeutung ist; unterschiedliche Definitionsbereiche führen im Allgemeinen auch zu unterschiedlichen Funktionen und damit zu unterschiedlichen
Funktionsgraphen.
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Mathematik und Statistik für Raumplaner: Funktionen
Zweistellige Funktionen (dreistellige Relationen) sind
als Funktionsgebirge im ℜ3 darstellbar.
Beispiel:
y = x1^3 - 4*x2
40
20-40
20
0-20
0
-20-0
-20
-40
-3 -2
-1 0
3
0
1
2
-3
3
4
-40--20
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Mathematik und Statistik für Raumplaner: Funktionen
Typen von Funktionen
Folgende Grundtypen
unterschieden werden:
von
Funktionen
können
Potenzfunktionen
Ihre Funktionsgleichung hat die allgemeine Formel
y = xn, n ∈ N, mit IM = ℜ
30
y=x^2
25
20
Reihe1
15
Reihe2
10
5
0
-5
-4
-3
-2
-1
-0,5
0,5
1
2
3
4
5
Spezialfälle:
n = 0:
n = 1:
n = -n:
y=1
y = x0
y=x
y = x-n
y = 1/xn
5
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Mathematik und Statistik für Raumplaner: Funktionen
Hyperbelfunktionen
Ihre Funktionsgleichung hat die allgemeine Form
y = x-n, n ∈ N, mit IM = ℜ\{0}
2,5
y=1/x
2
1,5
1
0,5
Reihe1
0
-0,5
-5
-4
-3
-2
-1
-0,5
0,5
1
-1
-1,5
-2
-2,5
6
2
3
4
5
Reihe2
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Mathematik und Statistik für Raumplaner: Funktionen
Wurzelfunktionen
Ihre Funktionsgleichung hat die allgemeine Form
y = x(1/n), n ∈ N, mit IM = ℜ+0 für gerades n und IM = ℜ
für ungerades N
2
y=x^(1/3)
1,5
1
0,5
Reihe1
0
-5
-4
-3
-2
-1
-0,5
0,5
1
2
-0,5
-1
-1,5
-2
7
3
4
5
Reihe2
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Mathematik und Statistik für Raumplaner: Funktionen
Winkelfunktionen
Die beiden grundlegenden Funktionen lauten y = sin (x)
und y = cos (x) mit IM = ℜ
tan (x) = sin (x) / cos (x)
1,5
y=cos(x)
1
0,5
Reihe1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-0,5
-1
-1,5
8
3
4
5
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Mathematik und Statistik für Raumplaner: Funktionen
Arcusfunktionen
Sind die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen
2
y=arc tan x
1,5
1
0,5
Reihe1
0
-5
-4
-3
-2
-1
-0,5
0,5
1
2
-0,5
-1
-1,5
-2
9
3
4
5
Reihe2
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Mathematik und Statistik für Raumplaner: Funktionen
Exponentialfunktionen
Ihre Gleichungen sind von der Form y = ax, a > 1, x ∈ ℜ
Spezialfall: y = ex
e = 2.71828 Eulersche Zahl
35
y=2^x
30
25
20
Reihe1
Reihe2
15
10
5
0
-5
-4
-3
-2
-1
-0.5
0.5
1
2
10
3
4
5
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Mathematik und Statistik für Raumplaner: Funktionen
Logarithmusfunktionen
Ihre Gleichungen sind von der Form y = loga (x), a > 1, x ∈ ℜ
a . . . Basis
übliche Werte für a: 10, 2, e
e = 2.71828 Eulersche Zahl
y = log10 (1) = 0
weil: 100 = 1
y = loge (x) wird üblicherweise als y = ln (x), als der
natürliche Logarithmus bezeichnet:
y = ln(1) = 0
weil: e0 = 1
1,8
y=ln(x)
1,6
1,4
1,2
1
Reihe1
0,8
Reihe2
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
4
11
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Mathematik und Statistik für Raumplaner: Funktionen
Durch Verknüpfung von zwei Funktionen mit Hilfe der
üblichen arithmetischen Rechenoperationen entstehen
neue Funktionen:
Seien beispielsweise f und g zwei reellwertige
Funktionen, dann ist die Summe (f + g) (x) definiert als
f(x) + g(x); x ∈ Df ∩ Dg
Eine ganzrationale Funktion entsteht als Summe,
Differenz oder Produkt von Potenzfunktionen. Man
nennt dies eine Linearkombination von Funktionstermen oder Polynom. Den höchsten Exponenten
bezeichnet man als Grad des Polynoms oder der
Funktion. Entsprechend ist eine gebrochen rationale
Funktion ein Quotient von ganzrationalen Funktionen.
Eigenschaften von Funktionen
1. Symmetrien
Hier wird unterschieden zwischen Punktsymmetrie
zum Ursprung sowie Achsensymmetrie zur y- Achse.
Beispielsweise ist die Hyperbelfunktion y = 1/x punktsymmetrisch zum Ursprung, während die Potenzfunktion y =x2 symmetrisch zur y-Achse verläuft.
Eine Funktion heißt gerade, wenn sie symmetrisch zur
y-Achse verläuft. Dann gilt: f(x) = f(-x). Für ganzrationale Funktionen und Hyperbelfunktionen führt das
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zu dem einfachen Kriterium: Sie sind gerade, wenn alle
Exponenten gerade sind. Null gilt dabei als gerade Zahl.
Eine Funktion heißt ungerade, wenn sie punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft.
Dann gilt: f(x) = -f(-x). Für ganz ganzrationale
Funktionen und Hyperbelfunktionen ergibt sich daraus:
sie sind ungerade, wenn nur ungerade Exponenten
vorkommen.
2. Monotonie
Eine Funktion f nennt man monoton steigend auf
einem Intervall I, wenn für alle x1, x2 ∈ I gilt:
aus x1 < x2 folgt immer f (x1) ≤ f(x2)
Eine Funktion f nennt man streng monoton steigend
auf einem Intervall I, wenn für alle x1, x2 ∈ I gilt:
aus x1 < x2 folgt immer f (x1) < f(x2)
Eine Funktion f nennt man monoton fallend auf einem
Intervall I, wenn für alle x1, x2 ∈ I gilt:
aus x1 < x2 folgt immer f (x1) ≥ f(x2)
Eine Funktion f nennt man streng monoton fallend auf
einem Intervall I, wenn für alle x1, x2 ∈ I gilt:
aus x1 < x2 folgt immer f (x1) > f(x2)
3. Existenz der Umkehrfunktion
Die Umkehrrelation R-1 einer Funktion f ist genau dann
eine Funktion, wenn die Abbildung f: x ⇒ y auch in der
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anderen Richtung f-1: y ⇒ x eindeutig ist; f nennt man
in diesem Fall eine eineindeutige Abbildung.
Eine Funktion f hat genau dann eine
Umkehrfunktion f-1, wenn für alle x1, x2 ∈ D gilt:
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) oder f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
Beispiel:
y = 2x - 5
x = 2y - 5
2y = x + 5
y = 0,5x + 2,5
Vertauschen von x und y:
Weitere wichtige Funktionstypen
Die Logistische Funktion
y = b / (1 + ce-ax) + d
a . . . . . Steigung der Kurve
d . . . . . unterer Grenzwert
b+d . . . oberer Grenzwert
c . . . . . Lageparameter (c=1: symmetrischer Verlauf)
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y=10/(1+exp(-x))-5
4
2
Reihe1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2
-4
-6
Lineare Funktionen /Geraden
Viele Zusammenhänge in der Raumplanung und in der
Regionalwissenschaft werden durch lineare Funktionen
beschrieben:
y = a + bx
Eine einstellige lineare Funktion ist im ℜ2 als Gerade
darstellbar:
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Mathematik und Statistik für Raumplaner: Funktionen
b: Steigung der Geraden
a: Ordinatenabstand (Intercept)
Steigung = Gegenkathete/Ankathete = (y2-y1) / (x2-x1)
es gilt: y1 = a + bx1
y2 = a + bx2
y2 - y1 = a + bx2 - a - bx1 = b(x2 - x1)
also: Steigung = b(x2 - x1) / (x2 - x1) = b
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Schnittpunkt von Geraden
y1 = a1 + b1x1
y2 = a2 + b2x2
für den Schnittpunkt (x,y) muss gelten:
x = x1 = x2
also:
und
y = y1 = y2
a1 + b1x = a2 + b2x
a1 - a2 = x(b2 - b1)
x = (a1 - a2) / (b2 - b1) und
y = (a1b2 - b1a2) / (b2 - b1)
Beispiel: y1 = 4 + 2x1
y2 = 3 + 4x2
Lösung: x = 0.5; y = 5
Anmerkung: Die graphische Darstellung von Funktionen mit Hilfe von EXCEL wird in der Lehrveranstaltung "EDV für Raumplaner" vermittelt, ist aber
auch Prüfungsgegenstand der Lehrveranstaltung
"Mathematik und Statistik für Raumplaner".
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Nullstellen von Funktionen
Problemlos lassen sich Nullstellen (Schnittpunkte der
Funktion mit der x-Achse) nur bei linearen Funktionen
betimmen.
Bei quadratischen Funktionen
y = ax2 + bx + c = 0
lauten die Lösungen für a ≠ 0:
b
b2 c
−
x1,2 = − ±
2
a
2a
4a
Der Ausdruck unter der Wurzel wird auch als
Diskriminante bezeichnet.
für a = 0 existieren verschiedene Sonderfälle:
b ≠ 0:
lineare Gleichung
b = 0, c ≠ 0: keine Lösung
b = 0, c = 0: jede Zahl ist Lösung
Beispiel:
y = 3x2 - 6x - 9 = 0
Lösungen: x1 = -1, x2 = 3;
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Funktionen in der Raumplanung,
Regionalwissenschaft und Ökonomie
1.
Funktionen zur Darstellung der Lagegunst: das
Potentialmodell
N
∑ A j * e− d α
POTi
=
POTi ...
N ........
Aj .......
dij .......
α .......
Potential (Lagegunst des Standortes i)
Zahl der Standorte (in einer Region)
Attraktivität des Standortes j
Entfernung zwischen den Standorten i und j
Parameter der Distanzsensibilität
2.
ij
j =1
Funktionen zur Darstellung von Interaktionen:
Das Gravitationsmodell
INTij
=
g*Ai*Aj*dij-α
INTij ..... Interaktionen (Austauschbeziehungen zwischen
i und j
g ......... Gravitationskonstante
Ai ....... Masse (Attraktivität) von i
Aj ....... Masse (Attraktivität) von j
dij ....... Entfernung zwischen den Standorten i und j
α ........ Parameter der Distanzsensibilität
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Preis-Absatz-Funktion
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
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Die Preis-Absatz-Funktion (PAF), Nachfragefunktion oder Preis-Absatz-Kurve (PAK)
ist ein Modell aus der Betriebswirtschaftslehre und der Mikroökonomie. Die Funktion zeigt,
wie sich die Marktnachfrage nach einem Gut in Abhängigkeit vom Preis verändert. Ihr
Hauptzweck besteht darin, den gewinnmaximalen Preis zu ermitteln. Je nach Marktform
lassen sich unterschiedliche Ausprägungen der Preis-Absatz-Funktion unterscheiden. Zur
Vereinfachung wird in der Regel eine lineare Preis-Absatz-Funktion angenommen.
Anbietende Unternehmen kennen die Preis-Absatz-Funktion eines Marktes in der Realität oft
nicht - sie wissen also nicht genau, wie viele Einheiten sie zu welchem Preis am Markt
absetzen können. Ein empirischer Weg eine PAF zu erstellen ist die Conjoint-Analyse.
Grafische Darstellung [Bearbeiten]
Typischerweise wird bei der grafischen Darstellung der PAF die Menge auf der x-Achse und
der Preis auf der y-Achse abgetragen.
Der Schnittpunkt der PAF mit der y-Achse stellt den Prohibitivpreis dar, d. h. den Preis, ab
dem das Gut nicht mehr nachgefragt wird. Der Schnittpunkt der PAF mit der x-Achse
kennzeichnet die Sättigungsmenge, d. h. die maximal absetzbare Menge, die bei einem Preis
von Null erreicht wird.
Errechnet wird dies mit der (Nullstelle).
F(x) = 0 = mx + n
PAF im homogenen Polypol [Bearbeiten]
Im homogenen Polypol geht man von einer mit zunehmendem Preis abnehmenden Nachfrage
aus. Da für den einzelnen Anbieter der Preis als vom Markt gegeben und daher als
unveränderlich angenommen werden muss, ist er konstant. Die Konstanz wird durch das
Vorhandensein des vollkommenen Marktes begründet.
Der einzelne Anbieter hat keinen Einfluss auf den Preis des von ihm erstellten Gutes, da die
Zahl der Anbieter so groß und sein Verkaufsvolumen so gering ist, dass er den Marktpreis
durch seine Aktionen nicht verändern kann. Die PAF verläuft für den Einzelanbieter daher
parallel zur Mengenachse - die Nachfrage ist also vollkommen preiselastisch.
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Mathematik und Statistik für Raumplaner: Funktionen
Markt bei Vollkommener
Konkurrenz
lineare PAF für den
Gesamtmarkt
vorgegebener Preis für den
Einzelanbieter
PAF im Monopol [Bearbeiten]
lineare PAF für den Monopolisten
Im Gegensatz zum Unternehmen im vollkommenen Wettbewerb, das für sein Produkt einen
festen Marktpreis akzeptieren muss, kann der Monopolist den Verkaufspreis festsetzen. Der
Käufer reagiert dann mit seiner Nachfrage. Die Marktlösung ergibt sich über den
Cournotschen Punkt.
PAF im Oligopol [Bearbeiten]
einfach geknickte PAF
Im Oligopol-Fall geht man von einer einfach geknickten Preis-Absatz-Funktion aus.
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PAF im heterogenen Polypol - Gutenberg-Funktion [Bearbeiten]
doppelt geknickte PAF
Im Falle eines heterogenen Polypols geht man von einer doppelt geknickten Preis-AbsatzFunktion (Gutenberg'sche Preis-Absatz-Funktion oder Gutenberg-Funktion nach Erich
Gutenberg) aus. Dies ist zurückzuführen auf den vorliegenden unvollkommenen Markt, durch
den die PAF eine besondere Marktverfassung hat. Sie ist u. a. typisch im Falle der
monopolistischen Konkurrenz.
Sie hat drei Abschnitte: Der obere Bereich ist der Bereich des eigenen akquisitorischen
Potenzials (auch monopolistischer Bereich genannt), in dem sich der Anbieter wie ein
Monopolist verhalten kann. Im unteren Bereich wirkt das akquisitorische Potenzial der
Konkurrenz.:
Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Preis-Absatz-Funktion“
Übungsbeispiele
Funktionen
1. Gegeben sind folgende zwei Geraden:
y1 = 4 + 3x1 und y2 = 3 - 6x2,
sowie zwei Punkte A und B auf der Geraden y1 (die x-Koordinate von A sei 1 und die xKoordinate von B sei 3) und zwei Punkte C und D auf der Geraden y2 (die x-Koordinate von
C sei 1 und die x-Koordinate von D sei 3)
Man ermittle:
(1) die Steigungen beider Geraden
(2) den Schnittpunkt beider Geraden
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Mathematik und Statistik für Raumplaner: Funktionen
(3) den Abstand zwischen A und B sowie zwischen C und D
(4) Schaubilder der beiden Geraden
2. Man ermittle die Lösungen folgender quadratischer Gleichungen:
3x2 + 4x -1 = 0 und x2 - 6x + 4 = 0
3. Eine Region wird von 4 Standorten gebildet, für die ein Vektor AB der
Erwerbstätigen, ein Vektor AP der Arbeitsplätze, sowie eine Matrix D der kürzesten
Entfernungen (in Minuten) existieren.
AB
=
30
70
20
80
AP
=
50
40
20
90
D
=
0
20
20
30
20
0
40
10
20
40
0
25
30
10
25
0
Berechnen Sie für jeden Standort:
(1) das Arbeitsplatzpotential (α = 0.02)
(2) die Pendlerströme zu allen anderen Standorten (α = 0.1; g = 1); (man setze die dii gleich 1)
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