4 Abbildung durch zentrische Streckung

66
4 Abbildung durch zentrische Streckung
Aus der
Geschichte der
Fotografie
Die Abbildung zeigt eine moderne Digitalkamera.
In ihr fängt statt eines Fotofilms ein elektronischer Sensor das vom Objektiv eingefangene Licht auf.
Die Entwicklung der fotografischen
Apparate lässt sich auf die Camera obscura (lat.: dunkle Kammer) zurückführen.
Auf dem abgebildeten Holzschnitt fallen
durch ein Loch in einer der Außenwände
Sonnenstrahlen in einen dunklen Raum.
Auf der gegenüberliegenden Wand erscheint das Bild der Sonne.
Die lateinische Inschrift lautet übersetzt:
Das Verschwinden der Sonne im Jahre 1544,
am 24. Januar, in Louvain.1
Maler des 17. und 18. Jahrhunderts benutzten eine tragbare Camera obscura, um
Landschaften naturgetreu nachzeichnen
zu können. Beschreibe anhand der Abbildung (Kupferstich 1671) das Bild, das der
Künstler in der Camera obscura auf einer
Leinwand erblickte.
Bereits 1568 empfahl Daniele Barbaro
eine Sammellinse in die Öffnung einer
Camera obscura einzusetzen. Dadurch
wurde das Bild heller und schärfer.
In der Zeichnung siehst du den Strahlenverlauf in einer Camera obscura, die heute auch
Lochkamera genannt wird.
1
Leuven in Belgien
Abbildung durch zentrische Streckung
67
1 a) Schneide aus einem 6 cm x 5 cm großen Rechteck aus Pappe eine Öffnung aus wie z.B. in der
Figur rechts.
Schiebe diese Figur in einen Blendenhalter.
Beleuchte die Figur mit einer punktförmigen
Lichtquelle Z wie in der Abbildung unten. Beobachte das Schattenbild auf dem Schirm. Falls
keine geeigneten Versuchsgeräte zur Verfügung
stehen, kannst du mit dem Tageslichtprojektor das Schattenbild einer ebenen Figur
erzeugen.
b) Finde verschiedene Möglichkeiten die Größe des Schattens der Figur in a) zu verändern.
c) Baue dir mit einem Pappkarton eine Lochkamera wie sie auf Seite 66 unten dargestellt
ist. Erzeuge damit das Bild einer Kerzenflamme.
Hinweis: Das Loch in der Außenwand des Kartons soll ca. einen Durchmesser von
2 mm haben.
d) Beschreibe die Unterschiede der beiden Bilder in a) und in c).
2 In der Zeichenebene kann man ebene Figuren ohne Lichtquelle auf vergrößerte oder verkleinerte Figuren abbilden.
a) Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie. Was stellst du fest?
C’
d’
C
d
P’
P
α’
α
Z
A
A’
ZA
in cm
ZC
in cm
ZP
in cm
d
in cm
a
■
■
■
■
■
Z
A
in cm
Z
C
in cm
Z
P
in cm
d
in cm
a
■
■
■
■
■
b) Finde eine Vorschrift, wie man einen
Punkt P auf einen Punkt P abbilden
kann.
c) Gibt es Fixpunkte bei der nebenstehenden Abbildung?
d) Finde eine Vorschrift, wie man eine
Figur verkleinern könnte.
68
Abbildung durch zentrische Streckung
C
d
3 In der Abbildung ist eine weitere Möglichkeit dargestellt, wie man die Größe
einer Figur verändern kann.
a) Übertrage die Tabelle in dein Heft und
ergänze sie.
P
α
Z
A’
A
α’
P’
C’
Abbildungsvorschrift
ZC
in cm
ZP
in cm
d
in cm
a
■
■
■
■
■
ZA
in cm
ZC
in cm
ZP
in cm
d
a
in cm
■
■
■
■
Punkte und Figuren der Ebene lassen sich durch zentrische Streckung auf Bildpunkte und Bildfiguren der Ebene abbilden. Eine zentrische Streckung wird festgelegt durch Angabe eines Streckungszentrums Z und eines Streckungsfaktors k.
Z; k
P
Man schreibt: P ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ©
lies: Der Punkt P wird mit dem Zentrum Z und dem Streckungsfaktor k auf den
Punkt P abgebildet.
Abbildungsvorschrift der zentrischen Streckung:
– Urpunkt, Bildpunkt und Streckungszentrum liegen auf einer Geraden.
– Jeder Strecke [ZP] wird eine Bildstrecke [ZP] so zugeordnet, dass gilt:
ZP = | k | · ZP (k ≠ 0)
– Das Zentrum Z ist für k ≠ 0 und k ≠ 1 der einzige Fixpunkt.
k < 0 z. B. k = – 2,5
k > 0 z.B. k = 2,5
– 2,5 · ZP
2,5 · ZP
Z
Übungen
■
b) Nenne die Unterschiede zur Aufgabe 2
Seite 67.
c) Finde eine passende Abbildungsvorschrift.
d’
Zentrische
Streckung
ZA
in cm
P
P’
P’
Z
Die Punkte P und P liegen auf
derselben Seite von Z.
Die Punkte P und P liegen auf
verschiedenen Seiten von Z.
Für die Streckenlängen gilt:
ZP = | + 2,5 | · ZP = 2,5 · ZP
ZP = | – 2,5 | · ZP = 2,5 · ZP
4 Gib für die Abbildung durch zentrische Streckung den Streckungsfaktor k an.
a)
P’
c)
Z
Z
P’
P
b)
P
d)
Z
P
P
P’
Z
P’
P
Abbildung durch zentrische Streckung
69
5 So kann man einen Punkt P durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem positiven Streckungsfaktor k = 1,5 abbilden.
4,5 cm
3cm
Z
P
Z
Zeichne die Halbgerade [ZP und miss
die Länge ZP.
6
P’
Trage von Z aus die 1,5fache Länge von
ZP auf der Halbgeraden [ZP ab. Du
erhältst den Punkt P.
7
–9
–5
P
b) Q(1 |0); Z2 (2|4); k = 0,5
a) P (– 4 | 1); Z1 (– 1 | 0); k = 2,5
d) S (– 2 |2); Z4 (0|3); k = 3
c) R(3 | – 1); Z3 (5 | 2); k = 2
e) T(1 | 5); Z5 (– 1 | 4); k = 1,5
f) U(– 4 | 4); Z6 (2 |7); k = 13
g) Gib für die Aufgaben a) – f) jeweils denjenigen Streckungsfaktor an, mit dem man den
Bildpunkt durch zentrische Streckung wieder auf den Urpunkt abbilden kann.
6 So kann man einen Punkt P durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem negativen Streckungsfaktor k = – 0,5 abbilden.
1,5 cm
3cm
Z
P’
Zeichne die Halbgerade [PZ und miss
die Länge ZP.
4
–6
–3
P
Z
P
Trage von Z aus die 0,5fache Länge von
ZP auf der Halbgeraden [PZ ab. Du
erhältst den Punkt P.
5
b) Q(3,5 |2); Z2 (1 |0,5); k = – 2
a) P (0 | 1); Z1 (– 1,5 | 1); k = – 2,5
c) R(0 | 2,5); Z3 (3 |3); k = – 0,5
d) S (4,5 | – 1); Z4 (2,5 | – 1); k = – 3
e) Gib für die Aufgaben a) – d) jeweils den Streckungsfaktor an, sodass man den Bildpunkt
durch zentrische Streckung wieder auf den Urpunkt abbilden kann.
7 Zeichne die Figur in dein Heft und bilde sie jeweils mit den angegebenen Streckungsfaktoren von Z aus ab.
a) k1 = 2; k2 = – 0,5
b) k1 = – 1; k2 = 2,5
c) k1 = 0,5; k2 = – 0,8
y
y
D
y
C
C
Z
D
C
7
–3
–8
10
1
Z
1
1
A
B
x
1
A
1
B
x
A
d) Für welche Streckungsfaktoren ergibt sich ein verkleinertes Bild?
A k<0
B k<1
C –1 < k < 1
1
B =Z x
D k < –1
Herr Kuglmeier besucht seinen Enkel Thomas an seinem Geburtstag. Thomas hat zufällig am selben Tag Geburtstag wie sein Opa. Außerdem ist dieser Geburtstag bereits der
sechste in Folge, bei dem das Alter des Opas ein ganzzahliges Vielfaches des Alters seines Enkels ist.
70
Eigenschaften der zentrischen Streckung
1 Im Folgenden sollen Eigenschaften der Abbildung durch zentrische Streckung untersucht
werden.
– ––
ϕ
+
Hauptleiste Konstruieren Abbilden Form & Farbe Messen & Rechnen
ϕ
Spurmodus
–3
k = 2,198
A’
5
15,39 cm
cm
7,68
7cm
3,49
cm
A
C
C’
Z
B
P
B’
P’
a) Zeichne mit einem Geometrieprogramm ein Dreieck ABC und die Gerade g = AB.
Binde einen Punkt P an die Gerade g. Bilde den Punkt P an einem Zentrum Z mit einem
beliebigen Streckungsfaktor k auf den Punkt P ab.
Bewege mit dem Zugmodus den Punkt P auf der Geraden g und lasse die Spur des Punktes P aufzeichnen. Was stellst du fest?
b) Bilde das Dreieck ABC durch zentrische Streckung ab. Vergleiche den Verlauf von
Urstrecken und Bildstrecken. Was stellst du fest?
c) Miss die Winkelmaße im Ur- und im Bilddreieck. Vergleiche.
d) Miss die Längen ZA, ZA, A
B und AB
Verändere mit dem Zugmodus den Streckungsfaktor k oder die Form des Dreiecks
ABC. Was stellst du fest?
e) Überprüfe ob es Fixgeraden bei der Abbildung durch zentrische Streckung gibt.
f) Welche besonderen Abbildungen ergeben sich für k = 1 und k = – 1?
2
Ich habe im Heft eine Gerade g durch
zentrische Streckung auf eine Bildgerade g abgebildet. Es sieht so aus, als
ob sich g und g schneiden würden.
Dann gibt es bei dir ja zwei
Fixpunkte!
a) Beurteile die Aussage von Claudia und Peter.
Was folgt für denVerlauf von Ur- und Bildgerade bzw. von Ur- und Bildstrecke bei einer
zentrischen Streckung? Begründe.
b) Begründe, warum bei einer zentrischen Streckung entsprechende Winkel im Ur- und
Bilddreieck gleiches Maß haben.
Eigenschaften der zentrischen Streckung
71
3 So kann man zeigen, dass bei einer zentrischen Streckung eine Strecke [AB] auf eine parallele Bildstrecke [AB] mit |k|-facher Länge abgebildet wird:
1. Fall: Z AB
Für k > 0 gilt:
B’
Z
A = k · Z
A
ZB = k · Z
B
B
Z
A
Man zeichnet zusätzlich eine Hilfsstrecke [ZH] mit [ZH] || [AB] und
Z
H =A
B.
Die Strecke [ZH] wird ebenfalls durch
zentrische Streckung abgebildet.
Damit gilt: ZH = k · Z
H
Das Viereck ZABH ist ein Parallelogramm.
Mit ZH = AB und Z
H=A
B folgt:
AB = k · A
B
A’
H’
B’
B
H
Z
A
A’
2. Fall: Z AB
Z
A
B
Für k > 0 gilt:
A’
B’
Z
A = k · Z
A
ZB = k · Z
B
a) Zeige für den 2. Fall im grauen Kasten, dass gilt: AB = k · A
B
Setze dazu in deinem Heft für die Platzhalter richtig ein.
AB = ZB – ZA = k · ■ – k · ▼ = k · (■ – ▼) = k · A
B
b) Führe ebenso die Beweise für die beiden Fälle für k < 0 durch.
4 Begründe: Bei einer zentrischen Streckung wird ein Kreis k mit dem Radius r
wieder auf einen Kreis k mit dem Radius
r abgebildet. Hinweis: Für alle Punkte Pn
auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt M
und dem Radius r gilt: P
nM = r
Eigenschaften
der zentrischen
Streckung
Pn
r’
r
Z
M’
M
k
k’
Eigenschaften der zentrischen Streckung:
Jedem Punkt P wird eindeutig ein Bildpunkt P zugeordnet.
Sie ist für k ≠ – 1 und k ≠ 1 keine Kongruenzabbildung.
Die zentrische Streckung ist geradentreu, winkeltreu und kreistreu.
Urfigur und Bildfigur haben gleichen Umlaufsinn.
Jede Gerade, die nicht durch Z geht, wird auf eine parallele Bildgerade abgebildet.
Jede Gerade durch das Zentrum Z ist Fixgerade.
Jede Strecke wird auf eine parallele Bildstrecke mit |k|-facher Länge abgebildet.
Für – 1 < k < 1 ist die Bildstrecke kürzer als die Urstrecke.
5 Bilde das Drachenviereck ABCD und dessen Inkreis durch zentrische Streckung am Zent-
10
–1
–4
Pn’
13
rum Z mit dem Faktor k ab. Es gilt: A (0|2); B (6|3); C (2|6); D (0|2).
a) Z = D; k = 2
b) Z = B; k = – 0,5
c) Z (0 |0); k = 0,75
72
Verhältnistreue der zentrischen Streckung
A
1 Das Dreieck ABC und der Punkt T werden
4,5 cm
C
m
2c
durch zentrische Streckung abgebildet.
a) Gib den Streckungsfaktor k an.
AC;
b) Berechne die Streckenlängen BC; AT; TB.
c) Übertrage die Tabelle in dein Heft und
berechne die angegebenen Streckenverhältnisse. Was stellst du fest?
T
A’
5,4 cm
m
4c
C’
T’
A
C
BC
A
C
BC
A
T
TB
A
T
TB
■
■
■
■
Z
2 cm
B’
B
3 cm
AC
AT
A
C
AT
d) Begründe allgemein: = B
= C und TB
BC
TB
e) Begründe: Wenn der Punkt M Mittelpunkt der Strecke [BC] ist, dann ist der Punkt M
Mittelpunkt der Strecke [BC].
verhältnistreu
Bei einer zentrischen Streckung stehen
entsprechende Strecken in der Ur- und
Bildfigur im selben Verhältnis.
Die zentrische Streckung ist verhältnistreu.
AT
T
B
Übungen
k·
AT
A’
A
T’
T
AT
Z
= k·
TB = TB
B
B’
2 So kann man eine Strecke [AB] mit der Länge 4 cm im Verhältnis A
T :T
B = 2 : 1 teilen.
A
B
2LE
P
1LE
Q
R
A
B
P
Q
A
R
Z
T
P
Q
B
R
Z
Zeichne zu [AB] eine pa- Der Schnittpunkt der Halb- Die
Halbgerade
[ZQ
rallele Hilfsstrecke [PR] geraden [AP und [BR er- schneidet die Strecke [AB]
mit 3 LE (= 2 LE + 1 LE). gibt das Zentrum Z.
im gesuchten Teilpunkt T.
Der Punkt Q liegt 2 LE von
P entfernt.
Teile ebenso eine 6 cm lange Strecke [AB] im angegebenen Verhältnis.
T:
TB = 3 : 2
b) A
T:
TB = 7 : 3
c) A
T:
TB = 2 : 5
d) A
T:
TB = 3 : 5
a) A
Flächeninhalt bei der zentrischen Streckung
1
7
–7
–5
10
73
Ich glaube das zweifache
von k, da die Grundlinie und die
Höhe des Dreiecks zentrisch
gestreckt werden.
Wie groß ist
der Flächeninhalt
eines Bilddreiecks
bei einer
zentrischen
Streckung?
Sicher k-mal so groß
wie der Flächeninhalt
des Urdreiecks.
a) Beurteile die zwei Antworten.
b) Zeichne das Dreieck ABC und bilde es durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z
und dem Streckungsfaktor k auf das Dreick ABC ab. Es gilt: Z (0|0); A (0|1,5);
B (2 | 0); C(3 | 2); k1 = 3; k2 = – 2
–2
k
3
c) Ergänze die Platzhalter in deinem Heft.
■
■
ADABC (FE)
ADABC = ■ · ADABC
2
ADABC (FE)
■
■
A ■=k
B ■ = 2k
C ■=k
2 So kann man den Zusammenhang zwischen den Flächeninhalten A und A der Urfigur und
der Bildfigur rechnerisch nachweisen. Ergänze die Platzhalter in deinem Heft.
Es gilt: ADABC = 0,5 · AB · h
B · h
ADABC = 0,5 · A
ADABC = 0,5 · | k| · ■ · ■ · ■
AB · h
ADABC = ■2 · 0,5 · 2
ADABC = ■ · ■
Flächeninhalt
C’
A’
h’
·
C
A
·
h
B’
B
Z
Z
Bei einer zentrischen Streckung beträgt der Flächeninhalt der Bildfigur
das k2-fache des Flächeninhalts der
Urfigur.
A = k2 · A
Übungen
3 Berechne die fehlenden Größen in deinem Heft.
k
k2
A
A
b)
– 1,8
■
■
16,2 cm2
c)
■
■
12 cm2
1,92 dm2
d)
– 0,2
■
■
2 mm2
e)
■
1,69
5 cm2
■
f)
■
■
50 cm2
0,32 dm2
g)
■
121
■
605 cm2
4 Zeichne die Urfigur und die Bildfigur. Berechne die Werte für die Platzhalter in deinem
9
–6
–3
a)
3,5
■
18 cm2
■
12
Heft.
Z; k
DPQR; Z (■| ■); k = ■; P (■ |■); AD = ■ FE; AD = ■ FE
a) DPQR ∂ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ©
Es gilt: P (– 2 | – 1,5); Q(3 | – 1,5); R (0 | 2,5); Q(3 |8,5); R (7,5 | 2,5)
Z; k
b) Trapez PQRS ∂ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ©
Trapez PQRS; k = ■; ATrapez = ■ FE; ATrapez = ■ FE
Es gilt: Z(– 5 | – 2); P (– 3 | – 2); Q(– 1 | 0); R (– 1 | 1); S (– 3 |2); P (0 | – 2)
74
Vermischte Übungen
1 Ordne die gefundenen Buchstaben richtig an, dann erhältst du ein Lösungswort.
Bei einer zentrischen Streckung mit dem Zentrum Z und dem
Streckungsfaktor k Q (k ≠ 0; k ≠ 1) gilt:
Wenn der Bildpunkt zwischen Z und dem Urpunkt liegt, ist k negativ.
Wenn der Bildpunkt zwischen Z und dem Urpunkt liegt, gilt: 0 < k < 1
Jede Gerade durch Z ist eine Fixgerade.
Die Bildstrecke hat stets die k-fache Länge der Urbildstrecke.
Die Bildfigur hat den k-fachen Flächeninhalt der Urfigur.
Die Bildgerade hat die k-fache Steigung der Urgeraden.
Mit dem Faktor 1k kann man P wieder auf P abbilden.
wahr
falsch
Z
R
U
K
U
S
N
T
E
R
M
Z
E
S
2 Bei der Abbildung eines Dreiecks ABC durch zentrische Streckung ist nur ein Bildpunkt
bekannt. Beschreibe anhand der Abbildungen, wie man die weiteren Bildpunkte konstruieren kann. Schätze ab, wie groß der Streckungsfaktor ist.
C’
A’
A’
C
C
A
Z
B
A
Z
B
B’
B
Z; k
3 DABC ƒƒƒƒƒƒƒƒƒ©
DABC
∂
7
–5
A’
C
A
Z
C’
5
Ermittle wie in Aufgabe 2 durch Konstruktion die Bildfigur. Gib jeweils k an.
a) A(1| 2,5); B (2,5| 1); C(3 |2); B(– 2 |1); Z(0|1)
b) A(0| 1); B(4 | 1); C(2| 3); C(2 | 6); Z (2 | 0)
c) A(0| 0); B(3 | 1); C(– 0,5 |1,5); A(1,5 | 4,5); Z (1 | 3)
4 Im Bild wird eine Gerade g durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z (2 |1) und
k = 2,5 auf die Bildgerade g abgebildet.
a) Gib die Gleichung von g an.
b) Begründe, warum man nur einen Punkt P der Geraden g abbilden muss.
c) Begründe rechnerisch: Der Punkt P hat die Koordinaten (2|3,5).
d) Welcher der folgenden Punkte der Geraden g wäre für die Abbildung ebenfalls gut
geeignet? Begründe.
A Q (4 | 3) B R(– 2 | 0) C S (0 | 1)
y
e)
g: y = 0,5x + 1; P(2 | 2) g
g’
Z (2|1); k = 2,5
P (2 | 2) ∂ƒƒƒƒƒ
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ© P(2 |3,5) g
Es gilt: m = m = 0,5
P’
Q
Gleichung von g: y = 0,5 (x – xp) + yp
Mit P (2|3,5) folgt:y = 0,5 (x – 2) + 3,5
Ergebnis:
P
g: y = 0,5x + 2,5
1
Berechne wie im Beispiel die Gleichung von g mithilfe von Aufgabe d).
g
S
Z
R
O
1
x
Vermischte Übungen
5 Die Gerade g wird durch zentrische Streckung auf die Gerade g abgebildet. Zeichne die
6
–2
–4
75
4
Geraden g und g. Bestimme wie in Aufgabe 4, Seite 74, die Gleichung der Geraden g.
a) g mit y = – x + 4; Z (3 | 4); k = 2
b) g mit y – 2x = 1; Z(3|1); k = – 0,5
c) g mit y + 0,5x = 2; Z(0|4); k = 1,5
d) g mit y = 3x – 1; Z(1|0); k = – 0,75
L y = – x + 3; y = 3x – 4,5; y = – x + 1; 0,5y = x – 4; 2y = – x + 2; y = 3x – 1,5
6 Das Trapez ABCD wird durch zentrische Streckung auf das Trapez ABCD abgebildet.
6
5
–2
7 Das Dreieck ABC wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z (2|yz) und dem
13
–7
–5
11
10
Es gilt: g: y = – 0,5x + 8; A(6 |0); C(0 |4)
a) Zeichne das Dreieck AB1C für x = 4 und berechne seinen Flächeninhalt.
b) Das Dreieck AB1C und die Gerade g werden durch zentrische Streckung mit Z (2 |0)
und k = 1,5 auf das Dreieck AB1C bzw. die Gerade g abgebildet. Zeichne das Dreieck AB1C und die Gerade g. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks AB1C.
c) Berechne die Gleichnung der Geraden g. [Ergebnis: g: y = – 0,5x + 11,5]
d) Der Punkt B* (x| – 0,5x + 11,5) liegt auf der Geraden g. Das Dreieck AB*C hat einen
Flächeninhalt von 26 FE. Berechne die Koordinaten von B*.
9 Eine Deckenlampe L leuchtet einen auf dem Boden liegenden kreisförmigen Spiegel mit
4
–4
Streckungsfaktor k auf das Dreieck ABC abgebildet. Die Punkte C und Z liegen auf der
Geraden g mit y = – x + 6. Es gilt: A(2|0); B (6|4); C (3 |y); A(2|12)
a) Zeichne das Dreieck ABC und den Punkt A. Berechne den Streckungsfaktor k.
b) Zeichne das Bilddreieck ABC. Ermittle die Koordinaten der Bildpunkte B und C.
Begründe deren Werte.
c) Welche Gleichung hat die Gerade g bei der obigen zentrischen Streckung?
d) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
e) Das Dreieck A*B*C* ist Bilddreieck zum Dreieck ABC bei einer zentrischen
Streckung mit dem Zentrum Z und dem Streckungsfaktor k* (k* > 0). Der Flächeninhalt des Dreiecks A*B*C* beträgt 9 FE. Zeichne das Dreieck A*B*C*.
8 Die Punkte Bn (x | – 0,5x + 8) von Dreiecken ABnC liegen auf der Geraden g.
15
–6
Es gilt: A(2| 1); B(4| 1); C (4 |2); D(2 |4); B (4 | – 1); D(1 |3,5)
a) Bestimme durch Zeichnung das Zentrum Z und die fehlenden Bildpunkte.
b) Bestimme die Gleichung der Geraden BB und DD.
c) Zeige durch Rechnung, dass gilt: Z(4|5)
d) Berechne den Streckungsfaktor k.
e) Berechne die Flächeninhalte von Ur- und Bildtrapez.
8
dem Durchmesser AB = 50 cm aus. An der Decke des 2,50 m hohen Raumes entsteht durch
Reflexion eine helle kreisförmige Fläche.
a) Zeichne einen verkleinerten Schnitt der Lichtbündel.
L
Es gilt: L (0 | 2,5); A (3|0); B (3,5|0)
(x-Achse: 1 cm 1 m;
y-Achse: 1 cm 1 m)
b) Welchen Streckungsfaktor könnte man
dem Vorgang zuordnen? Welchen
Flächeninhalt hat der Kreis an der
Decke?
c) Die Raumhöhe beträgt 3,00 m.
d) Die Lampe wird in 1,25 m Höhe angebracht.
A
B
76
Ähnliche Figuren
1 Monika möchte mit einem Grafikprogramm die Größe von Bildern verändern.
a) Beschreibe, wie sie dabei vorgehen kann.
b) Bei welchen Bildern handelt es sich um eine maßstäbliche Vergrößerung (Verkleinerung), welche Bilder sind
bei der Größenänderung verzerrt worden? Wie kannst
du eine Verzerrung erkennen?
Original A
Bild A1
Bild A2
Bild A3
Original B
Bild B1
Bild B2
D’
C’
A’
B’
D
C
A
B
Bild B3
D’
C’
A’
B’
D’
C’
A’
B’
Ähnliche Figuren
77
2 a) Miss im Original B auf S. 76 die Län-
gen AB und AD des Rechtecks ABCD.
b) Miss die Längen AB und AD in den
Bildern B1, B2 und B3 auf Seite 76.
Ergänze die Tabelle in deinem Heft.
Was stellst du fest?
c) Welche Bildfigur kann durch zentrische Streckung aus dem Original B
erzeugt werden? Begründe.
3
Das große Dreieck ist doch eine
maßstäbliche Vergrößerung des kleinen
Dreiecks. Eigentlich müsste ich dann die
beiden Dreiecke durch zentrische
Streckung aufeinander abbilden können.
Es funktioniert aber nicht!
B1
■
■
B2
■
■
B3
■
■
A
B
AB
■
■
■
A
D
AD
■
■
■
A
B in cm
AD in cm
y
R
Q
C
Drehe doch zuerst das kleine Dreieck
mit 90° um den Punkt A.
1
6
–4
6
A
O
B
P
x
1
Übertrage die Zeichnung in dein Heft. Überprüfe die Aussagen von Verena und Rupert.
Gib den Streckungsfaktor k (k > 0) an. Ermittle das Streckungszentrum Z.
–
Z; k = 1,5
s
Fig. F ∂ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ
ƒƒƒƒƒƒ© Fig. F*∂ƒƒƒƒƒƒƒ© Fig. F
ähnliche
Figuren
Zwei Figuren F und F heißen ähnlich,
wenn man sie durch zentrische Streckung (eventuell noch zusätzlich durch
eine Kongruenzabbildung) aufeinander abbilden kann.
Man schreibt: Figur F ˜ Figur F
lies: Figur F ist ähnlich zu Figur F
In ähnlichen Figuren stehen entsprechende Seitenlängen im gleichen Verhältnis.
a
a
a
b Figur F
α
Z
Figur F*
s
= b
b
Entsprechende Winkel haben gleiches
Maß.
a = a
a’
Figur F’
b’
α’
Übungen
4 Überprüfe mithilfe geeigneter Abbildungen, ob die Dreiecke ABC und PQR ähnlich sind.
10
–5
–4
10
a) A(4,5| 1); B(4,5|– 1,5); C(6 |1); P(0 |1); Q(3 |1); R (0 |6)
b) A(– 3 | 1); B (– 1 | 1); C (– 2 | 4); P (0 | 0); Q (0 | – 3); R(4,5| – 1,5)
c) A(– 4 | 2); B (– 2 | 2); C (– 2,5 | 4); P(2 | 2); Q(3 | – 1,5); R(6 |2)
78
Ähnliche Dreiecke
1 a) Sind die beiden Dreiecke ABC und
R
PQR ähnlich? Was vermutest du?
b) Wie könnte man das Dreieck ABC auf
das Dreieck PQR abbilden?
c) Warum genügt es nur zwei Winkelmaße zu vergleichen, um zu erkennen,
ob die Dreiecke ähnlich sind?
100°
Q
C
30°
100°
B
30°
P= A
2 So kann man zeigen, dass zwei Dreiecke ABC und PQR, die in zwei Winkelmaßen übereinstimmen, ähnlich sind:
Voraussetzung: b = b; g = g
Daraus folgt: a = a
Durch Kongruenzabbildungen kann man
die Dreiecke so anordnen, dass sie übereinander liegen.
Mit b = b und g = g (Stufenwinkel)
folgt: [BC] || [QR]
Mit A = P als Zentrum einer zentrischen
Streckung kann man das Dreieck ABC
auf das Dreieck PQR abbilden.
R
γ’
C
γ
β
α= α’
A= P
β’
B
Q
Deshalb sind die Dreiecke ähnlich.
PQ
PR
Q
R
Für k gilt: k = A
B = A
C = BC
Ähnlichkeitssatz für
Dreiecke
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in den
Maßen von zwei Winkeln übereinstimmen.
b = b Ÿ g = g
γ
β
C
γ’
R
B
β’
A
Q
P
Übung
3 Welche Dreiecke sind ähnlich? Begründe.
a)
R
C
30°
P
b)
110°
P
A
R
25°
C
30°
A
70°
40°
75°
Q
Q
B
B
c)
d)
H
R
S
A
A
G
g
B
P
h
J
B
· F
g || h
· E
· D
C
Ähnliche Dreiecke
79
Weitere Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
weitere Ähnlichkeitssätze
für Dreiecke
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im
Verhältnis entsprechender Seitenlängen übereinstimmen.
a1
a2
=
b1
b2
=
C1
b1
c1
c2
A1
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im
Verhältnis zweier Seitenlängen und
dem Maß des eingeschlossenen Winkels übereinstimmen.
b1
b2
Das erinnert
mich an die
Kongruenzsätze
Übungen
b2
a1
c1
B1
A2
a2
c2
B2
C1
C2
b1
b2
α1
c
= c12 ; a 1 = a 2
A1
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seitenlängen und dem
Maß des Gegenwinkels der größeren
der beiden Seiten übereinstimmen.
b1
b2
C2
c1
α2
B1
A2
c2
B2
C1
C2
b1
c
A1
= c12 ; b 1 = b 2
c1
b2
β1
B1
A2
β2
B2
c2
4 a) Nenne die den vier Ähnlichkeitssätzen entsprechenden Kongruenzsätze.
b) Für welche Werte von k sind bei zentrischen Streckungen Ur- und Bilddreieck zusätzlich kongruent? Welche Abbildung liegt jeweils vor?
5 Welche der abgebildeten Dreiecke sind ähnlich. Begründe (alle Längen in cm).
3,9
1,35
I
100°
·
III
II
2,1
3
2,75
2,7
53°
3,125
VI
45°
2,1
45°
IV
V
1,75
3,75
100°
VIII
82°
53°
1,4
IX
VII
·
3,3
2,5
2,8
6 Zeichne die Dreiecke A1B1C1 und A2B2C2. Überprüfe sie auf Ähnlichkeit und begründe.
6
–6
–4
3,25
7
a) a1 = 6 cm; b1 = 4 cm; c1 = 5 cm; a2 = 25 mm; b2 = 3 cm; c2 = 2 cm
b) a 1 = 80°; b 1 = 60°; a 2 = 80°; g 2 = 40°
c) a1= 4,5 cm; b1 = 3 cm; g 1 = 55°; a2 = 6 cm; b2 = 4 cm; g 2 = 55°
d) A1 (1| 0); C1 (1 |4); c1 = 5 LE; a 1 = 60°; A2 (– 1 | – 1); C2 (– 5,8 | – 1); c2 = 6 LE;
a 2 = 60°
e) a1 = 7 cm; b1 = 5,6 cm; b 1 = 50°; a2 = 5 cm; b2 = 4 cm; a 2 = 55°
f) A1 (2| 1); B1 (6 | 1); b1 = 4 LE; a 1 = 45°; A2 (– 3 | – 3); B2 (– 1 | – 3); b2 = 2 LE;
C2 g mit y = x
80
Ähnliche Dreiecke
7 So kann man mithilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken ein fehlendes Längenmaß
z. B. CD = x cm berechnen:
Die beiden Dreiecke ABC und BCD
sind ähnlich, da sie in zwei Winkelmaßen übereinstimmen.
ACB = BDC = 90° und b = b
C
·
[AB] und [BC]
liegen je einem
90°-Winkel,
[AC] und [CD]
dem Winkel b
gegenüber.
8 cm
6 cm
x cm
Ordne entsprechende Strecken einander zu.
[AB] ƒƒƒƒƒƒƒ© [BC]
[AC] ƒƒƒƒƒƒƒ© [CD]
A
10 cm
In ähnlichen Dreiecken stehen entsprechende Strecken im selben Verhältnis.
CD
BC
Also gilt: A
C = A
B
β
·
D
B
D
·
x cm
β
Setze die Maßzahlen der gegebenen
6
Längen ein: x8 = 10
6 cm
C
B
Ergebnis: CD = 4,8 cm
BD.
Berechne wie im Beispiel die Länge 8 Berechne die unbekannten Streckenlängen (alle Angaben in cm). Runde auf zwei Stellen
nach dem Komma.
a)
E
b)
c)
E
C
5,64
15
C
y
2,5
C
35
α
2
·
B
2,5
·
D
x
β
A
40
B
β
B
x
2,62
4
25
1,5
·
A
2,8
A
y
x
·
E
D
·
D
9 Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt der
Anlaufspur einer Schisprungschanze.
AC = 10,5 m; BC = 3,5 m
Es gilt: a) Begründe: g = d = e = 90° – a
b) Begründe: Die Dreiecke ABC und
PQR sind ähnlich.
c) Berechne die Hangabtriebskraft FH,
wenn der Schispringer eine Gewichtskraft von FG = 720 N hat.
d) Ändere die Aufgabe für einen Vorgang
in deiner Umgebung geeignet ab.
P
·
·
FH
ε
·
δ
α
·
B
A
FG
Q
L zu 8 und 9: 3,74; 240; 4,17; 17,14; 3,33; 35,71; 1,60
C
γ
R
Vierstreckensätze
81
1 Zwei Geraden, die sich in einem Punkt Z
Z
A
Z
C
=
Z
B
Z
D
Z
A
Z
C
und
=
D
2,1 cm
schneiden, werden von zwei parallelen
Geraden g und h geschnitten.
a) Begründe, dass gilt:
α
B
3,2 cm
α’
Z
A
B
C
D
Q
R
S
α = α’ = α’’
b) Übertrage die Tabelle in dein Heft und
ergänze dort die Platzhalter. Was stellst
du fest?
ZA
A
C
ZB
B
D
ZC
A
C
ZD
B
D
■
■
■
■
3,8 cm
α’’
A
g
P
2,5 cm
h
C
c) Suche nach ähnlichen Dreiecken. Ergänze die Platzhalter in deinem Heft.
ZA
A
C
ZR
ZR
ZB
= ■ ; B
D = ■
ZA
ZB
Begründe anschließend: A
C = B
D
ZC
ZD
d) Begründe ferner: A
C = B
D
e) Formuliere einen Satz zu den Ergebnissen in Aufgabe c) und d).
Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, dann gilt:
1. Die Streckenabschnitte auf der einen Geraden verhalten sich wie die entsprechenden Streckenabschnitte auf der anderen Geraden.
B
D
B
B
Z
Vierstreckensätze
A
Z
ZA
Z
C
D
C
C
ZB
D
C
A
Z
ZA
Z
C
= Z
D
A
ZB
ZA
A
C
= Z
D
ZB
= B
D
2. Die Streckenabschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die (von Z ausgehenden) zugehörigen Strecken auf einer Geraden.
B
D
C
B
Kurz zu lang
wie
kurz zu lang!
Z
Z
A
Z
C
A
=
A
B
C
D
C
Z
A
D
Weil man immer vier Strecken zueinander ins Verhältnis setzen kann, spricht man
von Vierstreckensätzen1.
1
In manchen Büchern spricht man auch von Strahlensätzen.
82
Vierstreckensätze
Übungen
2 Ergänze die Platzhalter in deinem Heft.
a)
Z
A
Z
D
c)
Z
E
F
E
=
■
■
=
■
■
=
■
■
=
■
■
FD
b)
Z
C
Z
E
d)
B
E
AF
=
■
■
=
■
■
=
■
■
=
■
■
B
F
D
Z
C
AD
■
e) D
Z = ■
A
■
f) DF = ■
E
3 Berechne die Längen der gefärbten Strecken (alle Maße in cm). Es gilt: [AB] || [CD]
D
y
5
C
B
2
2,4
Tipp:
Bei Bruchgleichungen
kannst du über
Kreuz multiplizieren!
Z
3,6
x
1. Möglichkeit:
Vierstreckensatz
2. Möglichkeit:
Ähnlichkeitssatz
ZA
A
C
ZC
Z
A
ZB
= B
D
ZD
= Z
B
Für die Maßzahlen gilt:
A
3,6
x
= 2,4
5
x + 3,6
3,6
3,6 · 5 = x · 2,4
x=
= 2,42,4+ 5
(x + 3,6) · 2,4 = 7,4 · 3,6
3,6 · 5
2,4
· 3,6
x + 3,6 = 7,42,4
AC = 7,5 cm
Ergebnis: 9
a)
D
b)
C
8
c)
D
21
B
A
18
Z
30
x
y
24
y
B
Z
4
A
y
7 B
D
(I)
1,5
D
C
( II )
6
4
3
y
A x
4+x = ––––––
6+1,5 ; ––
3 = ––
x
––––
4
6
y
4
B
x
B
Z
A
x
5
3
x
Z
C
2
3,3
27
15
C
y
2,5
C
4
2
Z
5
D
A
5 = ––––
x ; ––
4 = ––––
5
––
2 2,5 y 2,5
Sandra und Marcel haben zu einigen geometrischen Figuren Verhältnisgleichungen aufgestellt.
a) Suche in den Figuren nach ähnlichen Dreiecken.
b) Überprüfe die Ansätze und korrigiere falls nötig. Berechne die Werte für x und y.
L zu 3 und 4: 1,60; 1; 2,4; 6,25; 34,2; 5 13 ; 26,25; 17,5; 4,5; 52; 6,3; 5,5
Aufgaben aus der Optik
1 Auf einer senkrechten Schiene kann eine
Lampe zu Beleuchtungszwecken verschoben werden. Von einer 1,70 m hohen
Figur werden Schatten an einer 4 m hohen
Projektionswand erzeugt (siehe Abbildung). Die Lampe hat von der Wand
3,60 m Abstand.
a) Berechne die Höhe h des Schattens,
wenn die Lampe ganz unten an der
Schiene montiert wird und 2,40 m Abstand von der Figur hat.
b) Berechne die Höhe des Schattenbildes
auf der Projektionswand, wenn die
Figur in Aufgabe a) 60 cm näher an die
Lampe herangerückt wird?
c) Wie weit darf die Figur in Aufgabe a)
an die Lampe herangerückt werden,
damit das Schattenbild gerade noch auf
die Projektionswand passt?
d) Die Lampe befindet sich in 1,50 m
Höhe und hat von der Figur 2,40 m Abstand. Berechne die Schattenhöhe.
e) Die Lampe soll so verstellt werden,
dass der Schatten um 20 cm höher ist
als in d).
f) Ändere die Aufgabe geeignet ab und
ermittle die Lösung.
83
Lampenschiene
Projektionswand
P2
h
P1
Lampenschiene
Projektionswand
P2
h
P1
L 1; 3,40; 2,55; 1,80; 1,53; 1,10; 0,30; 1,8
2 Damit sich eine Person mit der Größe a ganz im Spiegel sieht, müssen die Lichtstrahlen,
die vom Fußpunkt F und vom Scheitelpunkt S auf den Spiegel auftreffen, ins Auge A
reflektiert werden.
Die scheinbaren Bildpunkte F und
S
S’
S erhält man geometrisch durch
A
Q
Achsenspiegelung an der Spiegeloberfläche. Die minimale Spiegelhöhe wird durch die Streckenlänge
PQ (siehe Abbildung rechts)
P
a
bestimmt.
a) Zeige durch Rechnung, dass gilt:
PQ = 0,5a
b) Reicht eine kleinere Spiegelhöhe,
F
wenn man sich weiter vom SpieF’
s
s
gel entfernt? Begründe.
?
Die Summe der rundum sichtbaren Augenzahlen dreier übereinander stehender Würfel ist 45. Welche Augenzahl muss die obere Fläche tragen?
84
Anwendungen aus der Vermessungskunde
man einen Messkeil verwenden.
a) Bestimme die Größe x cm der Öffnung
in der Abbildung.
b) Begründe das Messverfahren mithilfe
eines Vierstreckensatzes oder mithilfe
ähnlicher Dreiecke.
c) Baue dir mit selbst gewählten Abmessungen einen solchen Messkeil und
probiere ihn aus.
x cm
1cm
1 Zur Messung kleiner Öffnungen kann
3,4 cm
10 cm
2 Mit einem Försterdreieck kann man die
Höhe von Bäumen oder Gebäuden näherungsweise bestimmen.
a) Erkläre wie man dabei vorgehen muss.
b) Bestimme die Höhe des Baumes im
Bild.
c) Baue dir ein Försterdreieck und
bestimme damit die Höhe eines Baumes in deiner Umgebung.
Länge zusammen und klebt bei der 4,2 cm-Marke ein Streichholz auf. Den Meterstab hält
er mit gestrecktem Arm lotrecht vor sich hin. Anschließend geht er so weit vom Baum
weg, bis sich das obere Ende des Meterstabs mit der Baumspitze und das untere Ende mit
dem Stammfuß deckt. Dann schaut er, wo für den Streichholzkopf der entsprechende Bildpunkt am Baumstamm ist. Diesen merkt er sich. Nun misst er den zugehörigen Abstand
bis zum Boden. Die gemessene Strecke multipliziert er mit 10. Er behauptet, nun habe er
in etwa die Baumhöhe.
h1
h 1*= 42 cm
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4040 41 42
3 Förster Unterholz bestimmt mit seinem Meterstab die Baumhöhe. Er klappt ihn auf 42 cm
h 2*= 4,2 cm
h2
s2
s1
a) Überprüfe damit, ob das Vorgehen des Försters richtig ist. Ergänze dazu in deinem Heft
die Platzhalter.
h1*
h1
s
h*
s
= ■2 ; h2 = ■2
2
Begründe anschließend: h1 =
h1* · h2
h*2 ; h1
= 10 · h2
b) Ermittle mit dieser Methode die Höhe eines geeigneten Objekts in deiner Umgebung.
Anwendungen aus der Vermessungskunde
85
4 Die Gruppen A, B und C der Klasse 9 a haben versucht, mit drei unterschiedlichen Methoden die Breite des Inns zu vermessen.
A
C
B
xm
Inn
·
xm
Inn
·
2m
3m
30 m
2m
25 m
14 m
·
xm
Inn
16m
14 m
·
75°
·
·
35 m
33,5 m
a) Beschreibe, wie die einzelnen Gruppen dabei vorgegangen sein könnten. Welche Messgeräte waren erforderlich? Welche Schwierigkeiten könnten aufgetreten sein?
b) Das Vermessungsamt hat an der Messstelle eine Flussbreite von 125 m ermittelt.
Welche Gruppe hat das beste Messergebnis?
c) Versucht die Breite eines Flusses in eurer Umgebung zu bestimmen.
Der griechische Mathematiker Thales
von Milet (ca. 640 – 550 v.Chr.) soll
ein Verfahren entwickelt haben zur
Messung der Höhe von ägyptischen
Pyramiden. Darüber schreibt Diogenes Laertius um 200 n. Chr.:
„Thales hat die Höhen der Pyramiden
mittels ihres Schattens gemessen, den
er genau zu dem Zeitpunkt abmaß, wo
unser Schatten und unser Leib die
gleiche Länge haben“.
Dieses beschriebene Verfahren wird
aber angezweifelt. Eher glaubwürdig
ist, dass Thales einen Stab lotrecht so
aufgestellt hat, dass das Ende seines
Schattens mit dem Ende des Schattens der Pyramide zusammenfiel.
Berechne mit den angegebenen Werten die Höhe der Cheopspyramide.
A 115 m
B 146 m
C 165 m
h
·
23
2m
5
0m
7m
31
6m
Ein Ausflugsschiff fährt auf dem Inn eine 3,6 km lange Strecke flussabwärts mit 12
Auf dem Rückweg flussaufwärts ist es mit 8 km
h unterwegs.
Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit für die Gesamtstrecke?
km
h .
86
Aufgaben aus der Geometrie
1 Berechne die Inhalte der farbig markierten Flächen, auf zwei Stellen nach dem Komma
gerundet (alle Angaben in cm).
a)
·
b)
3
6
α’
3,6
10
6
·
α
α = α’
·
3,6
Z
4
Z
2 Von einer Geraden g ist das blaue Steigungsdreieck gegeben.
6
5
a) Welche Länge hat im Steigungsdreieck PQR die Strecke [QR]? Der Punkt R ist in der
Abbildung nicht sichtbar.
b) Bestimme die Gleichung der Geraden
g, wenn gilt: P (5 | 4,5) g
c) Bestimme die Koordinaten der Punkte
P
Q
3
Q und R.
d) Begründe: Das blaue und das grüne
1,5
Steigungsdreieck sind ähnlich.
h
e) Berechne mithilfe von d) die Länge AB
1
und gib anschließend die Steigung m*
B
C ·
der Geraden h an.
–m
f) Wie kannst du die Steigung von h noch
g
A
berechnen?
g) Berechne die Gleichung von h.
3 Der Flächeninhalt A2 des Trapezes ACDB
beträgt das Achtfache des Flächeninhalts
A1 des Dreiecks ZAB.
Es gilt: AB = 6 cm; AZ = 15 cm
a) Begründe: Das Dreieck ZAB kann
durch zentrische Streckung auf das
Dreieck ZCD abgebildet werden.
[Teilergebnis: k = 3]
b) Berechne die Längen AC und CD.
L zu 1, 2 und 3:
y=–
2
3x
D
B
Z
A1
A2
·
A
2 3
3; 2;
30; 3; 18; 4,5; (8|9); (8 |5); (8|4,5); – 0,6; 28,26
+ 5,6; y = 1,5x – 3; y = – 3x + 1,5; 12,96; 30; 4,52; 4,67
4 a) Zeichne ein Trapez ABCD mit den Grundseiten [AB] und [CD].
Es gilt: a = 9 cm; c = 6 cm; h = 4 cm; a = 60°
b) Der Punkt T teilt die Strecke [AB] so, dass gilt: AT : TB = 2 : 1.
Zeichne den Punkt T und den Schnittpunkt Z der Diagonalen ein.
c) Die Halbgerade [TZ schneidet die Strecke [CD] im Punkt S.
Zeichne diesen Punkt S. Miss die Längen CS und SD. Was stellst du fest?
d) Begründe ohne Messung, dass gilt: AT : TB = CS : SD = 2 : 1.
·
C
Aufgaben aus der Geometrie
87
5 Gegeben ist das Quadrat ABCD. Zwei parallele Geraden g und h schneiden die Gerade
w = AC in den Punkten S1 und S2.
Es gilt: A (0 | 0); B (6 | 0); Q (6|3); g = DQ, h = PR; P
Q = 2 LE
a) Ermittle die Gleichungen der Geraden g, h und w.
b) Berechne die Koordinaten der Punkte S1 und S2.
c) Begründe: Die Dreiecke AS1R und
D
CS2Q sind ähnlich.
d) Das Dreieck AS1R kann durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z
und dem Streckungsfaktor k (k < 0) auf
II
das Dreieck CS2Q abgebildet werden.
R
Gib den Streckungsfaktor k an.
Ermittle durch Konstruktion das ZentS1
rum Z.
e) Berechne die Flächeninhalte der beiI
den Dreiecke AS1R und CS2Q.
f) Berechne die Flächeninhalte der beiden Trapeze ABPR und RS1S2D.
A
C
w
S2
Q
g
P
h
B
C
6 Der blaue und orange Kreis sind dem
Dreieck ABC einbeschrieben (siehe Abbildung). Die Radien der Kreise betragen
r1 = 3 cm und r2 = 5 cm.
a) Berechne die Länge der Strecke [CM1].
[Ergebnis: C
M1 = 12 cm]
b) Zeichne das Dreieck und die Kreise im
Maßstab 1: 2.
c) Die Basis [AB] des Dreiecks ABC ist
12,9 cm lang. Berechne wie viel Prozent der Dreiecksfläche nicht von
Kreisflächen bedeckt sind. Runde auf
ganze Prozent.
B1
B2
·
·
r1
M1
r2
M2
A
B
Die Abbildung zeigt : 64 cm2 = 65 cm2
3cm
8cm
5cm
8cm
5cm
5cm
Q
5cm
P
5cm
3cm
5cm
8cm
a) Zeichne das Quadrat auf kariertes Papier und zerschneide es in einzelne Teilflächen.
Lege diese wie in der Abbildung rechts. Was stellst du fest?
b) Wo steckt der Fehler? Lies dazu die Länge der Strecke [PQ] im Kästchengitter ab.
Ermittle anschließend die Länge PQ rechnerisch. Vergleiche beide Ergebnisse.
88
Einbeschreibungsaufgaben
1 Dem Dreieck ABC wird ein Rechteck PQRS so einbeschrieben, dass die Seite [PQ] auf
der Strecke [AB], der Punkt R auf [BC] und der Punkt S auf [AC] liegt. Die Seite [PQ]
des Rechtecks ist doppelt so lang wie die Seite [QR]. Es gilt: A(1|1), B (9|1), C(3 |6)
So kann man diese Aufgabe durch Zeichnung lösen:
A Notiere alle Bedingungen, die in dieser Aufgabe erfüllt werden müssen.
I
[PQ] [AB]
II
PQ : QR = 2 : 1
III R [BC]
IV S [AC]
B Probiere systematisch, d. h. zeichne
Rechtecke PnQnRnSn, die die Bedingungen I, II und III erfüllen.
C Aus der Zeichnung erkennt man:
Die Rechtecke P2Q2R2S2, P3Q3R3S3,
… erhält man durch zentrische
Streckung des Rechtecks P1Q1R1S1
mit dem Zentrum B. Somit liegen
alle Punkte Sn auf der Halbgeraden
[BS1.
y
C
6
5
4
S3
R3
3
S2
2
1
O
P3 A
P2
1
2
3
4
R2
S1
R1
Q2 Q1
Q3P1
5
6
7
8
B
9 x
y
C
6
5
4
S
R
3
D Der Eckpunkt S ergibt sich als
S1
Schnittpunkt von [BS1 mit [AC].
2
Durch Zeichnen entsprechender Par1
allelen zu den Seiten des Rechtecks
A P
P1 Q
P1Q1R1S1 erhält man die weiteren
O
1
2
3
4
5
6
7
Eckpunkte P, Q und R. Da alle
und Q
R wie 2 : 1.
Rechtecke ähnlich sind, verhalten sich die Längen PQ
R1
Q1
B
8
9 x
5–x
5
So kann man durch Rechnung die Längen PQ und QR ermitteln:
Bezeichne die Längenmaßzahlen von
PQ mit 2x und die von QR mit x.
Trage alle weiteren Maßzahlen, die du
mithilfe der Koordinaten der Eckpunkte A, B und C ermitteln kannst, in die
Zeichnung ein.
Die Dreiecke ABC und SRC sind ähnlich. Somit sind entsprechende Streckenverhältnisse gleich.
RS
Also gilt: h*
h = A
B
Für die Maßzahlen gilt: 5 –5 x = 2x
8
Übungen
9
–1
7
y
C
6
5
h
h*
4
R
2x
S
3
x
2
1
O
A
P
1
2
x
Q
3
4
5
6
B
7
8
9 x
PQ = 4,4 LE und QR = 2,2 LE
a) Löse die Verhältnisgleichung und zeige, dass gilt: PQ und QR.
b) Löse obige Aufgabe für A(0 |8); B(0 |0); C(6 |3) zeichnerisch. Berechne Einbeschreibungsaufgaben
89
2 Löse die Aufgabe 1 Seite 88 zeichnerisch. Erfülle zunächst folgende Bedingungen:
a) Bedingung I; II und IV.
b) Bedingung II; III; IV und [PnQn] || [AB].
3 Dem Dreieck ABS soll ein Rechteck PQRS einbeschrieben werden. Die Strecke [PQ] soll
8
–1
10
auf [AB], der Punkt R auf [BC] und der Punkt S auf [AC] liegen. Die Seite [PQ] soll dreimal so lang sein wie die Strecke [QR].
E gilt: A(0| 0); B (9| 0); C(5 |7); QR = x LE
a) Zeichne das Dreieck ABC und konstruiere das Rechteck PQRS.
b) Berechne die Seitenlängen des Rechtecks und dessen Flächeninhalt.
4 Dem Dreieck ABC soll ein Quadrat PQRS so einbeschrieben werden, dass die Strecke
8
–1
–1
11
[PQ] auf der Strecke [AB], der Punkt R auf [BC] und der Punkt S auf [AC] liegt.
Es gilt: A(0| 1); B(10 | 1); C(6| 7)
a) Zeichne das Dreieck ABC und konstruiere das Quadrat PQRS.
b) Berechne die Seitenlänge des Quadrats [Ergebnis: PQ = 3,75 LE]
c) Begründe, dass für den Punkt S gilt: S (xS |4,75).
d) Berechne die Gleichung der Geraden AC, die Koordinate xS und die Koordinaten der
Eckpunkte P, Q und R.
5 Dem Dreieck ABC soll ein gleichschenkliges Dreieck PQR so einbeschrieben werden,
9
–1
–1
11
dass folgende Bedingungen erfüllt sind: P [AC]; Q [AB]; R [BC]; [PR] || [AB]
PM = MR; PR : MQ = 4 : 1
M [PR]; Es gilt: A(0| 0); B(10| 0); C (0 |8)
a) Zeichne das Dreieck ABC und konstruiere das Dreieck PQR.
b) Berechne die Länge PR und anschließend die Koordinaten der Punkte P; Q und R.
6 Dem Drachenviereck ABCD werden Rechtecke PQRS so einbeschrieben, dass die Recht-
9
–5
–1
8
9
ecksseiten parallel zu den Diagonalen des Drachenvierecks verlaufen (siehe Abbildung).
Es gilt: A(0 | 0); B(8 | 4); C (0|8); D(– 4 |4); d(P; [AC]) = x LE
a) Zeichne mit einem Geometrieprogramm das Drachenviereck ABCD und ein Rechteck
PQRS (z. B. für x = 2).
b) Miss d (P; [AC]), d (R; [AC]) und den Flächeninhalt des Rechtecks PQRS. Verändere
mit dem Zugmodus das Rechteck PQRS. Was stellst du fest?
c) Bestimme die Steigungen der Geraden AB und AD.
Begründe anschließend: d (R; [AC]) = 0,5x LE
d) Zeige, dass mit PQ = y LE folgt: y = 8 – x
e) Berechne, die Belegung von x, für die eines der Rechtecke zugleich ein Quadrat ist.
Berechne den zugehörigen Flächeninhalt.
y
f) Stelle den Flächeninhalt der Rechtecke
9
PQRS in Abhängigkeit von x dar.
C
8
x LE
[Ergebnis: A(x) = (– 1,5x2 + 12x) FE]
Q
R 7
Berechne anschließend, um wie viel
6
Prozent der maximale Flächeninhalt
5
größer ist als der Flächeninhalt des
y LE
4
B
D
Quadrats in Aufgabe e).
3
g) Die Koordinaten eines Eckpunktes des
2
Drachenvierecks sollen so verändert
werden, dass die einbeschriebenen
S 1
P
Rechtecke symmetrisch zur y-Achse
O
A
–4 –3 –2 –1
1 2 3 4 5 6 7 8 x
sind.
90
Der Pantograf
1 1603 erfuhr Christoph Scheiner in Dillingen von einem Maler, dass dieser ein Gerät besitze, das jedes Bild genau nachzeichnen und zusätzlich sogar im Maßstab vergrößern oder
verkleinern könne. Wie das Gerät funktioniert, verriet der Maler nicht.
Dies veranlasste Scheiner selbst nach einer Lösung zu suchen. Er erfand den so genannten Pantograf1 oder „Storchenschnabel“.
Das Gerät besteht aus vier Holz- oder Metallstäben, die durch Gelenke zu einem veränderbaren Parallelogramm verbunden sind. Der so genannte Schwenkpunkt Z bleibt fest.
Mit dem Fahrstift P fährt man die Linien
einer Zeichnung nach. Der Zeichenstift Q
erstellt dann ein im Maßstab vergrößertes
Bild. Vertauscht man Fahrstift und Zeichenstift, kann man ein im Maßstab verkleinertes Bild zeichnen.
Z
Q
Pantografen werden immer noch von
P
technischen Zeichnern und Architekten
verwendet, sie werden eingesetzt in Graviermaschinen und in Pantografstickmaschinen für Buntstickereien.
a)
H’
H
Q
P
Z
Begründe: Die Punkte Z, P und Q müssen auf einer Geraden liegen
b) Bei dem mit einem Geometrieprogramm erstellten Pantografen im Bild oben beträgt
die Länge ZH das Dreifache der Länge ZH. Der Punkt P simuliert den Fahrstift.
Begründe, dass der Pantograf auf das Dreifache vergrößert, dass also gilt:
ZQ = 3 · ZP (Hinweis: Betrachte die Dreiecke ZPH und ZQH).
c) In welchem Maßstab vergrößert bzw. verkleinert der dargestellte Pantograf unten im
Bild, wenn der Fahrstift im Punkt P montiert ist?
I
II
III
Z
Z
P
Q
Q
P
Z
Q
P
d) Baue dir selbst einen Pantografen z.B. mithilfe von Metallbauteilen und Schrauben
oder festen Folienstreifen und Druckknöpfen.
e) Versuche mit einem Geometrieprogramm einen Pantografen zu konstruieren, der einen
gegebenen Kreis im Maßstab 1 : 3 verkleinert.
f) Nenne eine Maschine, bei der der eingebaute Pantograf im Maßstab 1 : 1 arbeitet.
1 Allesschreiber
Vom Bild zur Karte
91
1
N
N
Schrägluftbild
m Höhe.
Schrägluftbild
ausaus
400400
m Höhe
NN
N
Sportplatz
StrandbadWest
527
Fähranleger
Torhalle
Klosteranger
Turnhalle
Sportplatz
Kloster
Spielplatz
IrmengardBerufsschule
Senkrechtluftbild
aus 1000 m Höhe
Senkrechtluftbild aus 1000 m Höhe.
öffentliches
Gebäude
Fraueninsel
historisches
Gebäude
0
50
100
Maßstab 1 :
150
200
m
Gasthof, Café
527
geschlossene
Baumgruppe
Kirche
Grünfläche
mit Parkbäumen
Wohngebäude
(z. T. Geschäfte)
Friedhof
Höhe in Meter
über Normalnull
(NN)
Schifffahrtslinie
Sturmwarnsignal
Denkmal
3m
Tiefenlinie
a) Wo könnte beim Senkrechtluftbild das Zentrum einer zentrischen Streckung sein?
b) Die Fraueninsel hat ihre längste Ausdehnung in Nord-Südrichtung mit ca. 600 m. Auf
dem Bildschirm der Kamera erscheint davon ein Bild von 9,0 cm Länge.
Ermittle den Faktor k der zugehörigen zentrischen Streckung.
c) Ermittle den Maßstab der unteren Karte.
A 1 : 7500
B 1 : 10 000
C 1 : 25 000
92
Zentrische Streckung mithilfe von Vektoren
1 a) Der Punkt P(7 | 3) wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z(3 |1) und dem
5
–4
–3
Streckungsfaktor k = 1,5 (k = – 1,5) auf den Punkt P abgebildet.
ƒƒ©
ƒƒ©
Ermittle die Koordinaten der Pfeile ZP und ZP durch Zeichnung.
10
b)
Mit den ƒƒ©
Koordinaten des
Pfeils ZP sowie dem
Streckungsfaktor k müsste ƒƒ©
man doch
die Koordinaten des Pfeils ZP auch
durch Rechnung bestimmen
können.
Wie beurteilst du die Aussage von Sabrina?
c) Ergänze jeweils die Platzhalter in deinem Heft.
Z (4| 2) : k = 2
I P (6 | 3)
P(x|y)
∂ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ©
II P (6 | 3)
Z(4 | 2) : k = – 2
P(x|y)
∂ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ©
y
y
k >0
4
P’
k<0
4
P
P
1
2
Z
O
2
2
2
4
6
8
x
■
▼·■
■
ZP = (■
■ ); ZP = ▼ · (■) = (▼ · ■) = (■)
ƒƒ©
ƒƒ©
ƒƒ©
III PQ
Z (1 |1) : k = 2,5
∂ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ©
ƒƒƒ
ƒƒ©
2
O P’
2
ƒƒ©
6
8
x
ƒƒ©
IV PQ
Z (4 | 4) : k = – 0,5
∂ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ©
ƒƒƒ
ƒƒ©
PQ
Es gilt: P(3 |1); Q(– 1 |3)
Es gilt: P (2 | 2); Q(4| 3)
y
y
k >0
4
P’
6
P’
Q’
4
Z
Q
Q
1
P
2
k<0
Q’
6
2
2
2
–4
Z
O
4
■
▼·■
■
ZP = (■
■); ZP = ▼· (■ ) = (▼ · ■) = (■ )
ƒƒ©
PQ
1
Z
2
4
6
8
O
x
P
2
4
6
x
■
▼·■
■
■
■
▼·■
■
PQ = (■
■); PQ = ▼· (■) = (▼ · ■) = (■) PQ = (■); PQ =▼· (■ ) = (▼ · ■) = (■)
ƒƒ©
ƒƒƒ
ƒƒ©
ƒƒ©
ƒƒƒ
ƒƒ©
d) Wie erhält man die Koordinaten des Bildpfeils aus den Koordinaten des Urpfeils?
e) Welche Richtung haben Ur- und Bildpfeil für k 0 und für k 0?
Zentrische Streckung mithilfe von Vektoren
zentrische
Streckung
mithilfe eines
Vektors
Durch eine zentrische Streckung mit
dem Streckungsfaktor k wird der Pfeil
ƒƒ©
ƒƒƒ
ƒƒ©
v
PQ = ( vxy )auf den Bildpfeil PQ abgebildet. Die Koordinaten des Bildpfeils
erhält man durch Multiplikation der
Koordinaten des Urpfeils mit dem Faktor k.
ƒƒƒƒƒ©
ƒƒ©
PQ = k · PQ
93
y
Q’
4
v’
P’
v’x
Übungen
vx
P
O
ƒƒƒ
ƒƒ©
ĩ
Mit PQ ĩ
v und PQ v
folgt für die
zentrische Streckung eines Vektors ĩ
v:
ĩ
v
= k · ƒ©
v
Q
vy
v
1
( vvxy ) = k · ( vvxy ) = ( kk ·· vvxy )
ƒƒ©
v’y
3
x
1
–1
Z
2 Ermittle die fehlenden Koordinaten bzw. den fehlenden Wert für k in deinem Heft.
a) ( xy ) = 2 · ( –31 )
3 )
b) ( xy ) = – 1,5 · ( 2,5
x )
d) ( 6y ) = – 3 · ( 3,5
e)
c)
( –45 ) = k · ( 2y )
1
7,5 ) = – 0,5 · ( x )
( –2,1
y
x )=k·( 3 )
f) ( – 8,1
2,7
L – 2; – 2,5; – 4,5; – 1,6; 6; – 2; – 3,75; 15; – 4,2; – 1; – 3; – 10,5
3 Der Punkt P (– 3 |1) wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z(– 5 | – 2) und dem
Streckungsfaktor k = 1,5 auf den Punkt P(x |y) abgebildet. So kann man die Koordinaten von P berechnen.
y
2
P’ ( x’| y’)
P( – 3|1)
Berechnung
der
Koordinaten
von Punkten
–5
–4
–3
P(–3|1)
1
–2
–1
O
y
2
P’ ( x’| y’ )
x
–5
–4
–3
1
–2
–1
O
–1
Z( – 5 | – 2 )
Z ( – 5|– 2)
1. Möglichkeit: Pfeilkette
ƒƒƒ©
ƒƒ©
OP = OZ
ƒƒƒ©
ƒƒ©
–5
( x
y ) = ( – 2 )
1,5 ·
OP = OZ
–1
ƒƒƒ©
ZP
2. Möglichkeit: Abbildungsvorschrift
ƒƒƒ©
ƒƒ©
ZP = k · ZP
ƒƒ©
k · ZP
x = – 5 + 1,5 · 2
Ÿ y = – 2 + 1,5 · 3
( –13++25 )
–3 + 5
+5
( x
y + 2 ) = 1,5 · ( 1 + 2 )
x + 5 = 1,5 · 2
Ÿ y + 2 = 1,5 · 3
a) Zeige durch Rechnung, dass sich folgende Koordinaten für P ergeben: P(– 2 |2,5).
b) Berechne die Koordinaten von P für k = – 3; Z(0,5 | 1); P (– 1 |2).
94
Zentrische Streckung mithilfe von Vektoren
4 Der Punkt P wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem Faktor k auf
den Punkt P abgebildet. Berechne die fehlenden Werte in deinem Heft.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Z (xZ |yZ)
(1|1)
–
( 3| – 1)
(– 4|1)
(■ | ■)
(2|■)
(– 4|1)
(– 4|5)
k
2
–3
■
P(x| y)
(3| 0)
(■ |■)
(– 1| 2,5)
(0| 8)
(■ | – 2)
(– 1|2,5)
(■ | 3,5)
1
3
– 1,5
■
0,75
P (x| y)
(■ | ■)
–
( 6|0,5)
(0|3)
(6| 2)
(0,5|3)
(■ | 3)
(– 4| ■)
5 Die Strecken [ABn] werden durch zentrische Streckungen mit den Streckungszentren Zn
und dem Streckungsfaktor k (k 0) auf die Strecke [AB] abgebildet. Die Punkte
Bn (x | 3) liegen auf der Geraden g mit y = 3.
Es gilt: A(– 1 | 3); Bn (x | 3); A(1 | – 1); B (6 | – 1)
a) Zeichne mit einem Geometrieprogramm die Strecken [AB]; [AB1] und [AB2] für
x = 0 und für x = 2. Markiere die zugehörigen Zentren Z1 und Z2.
b) Berechne jeweils den Streckungsfaktor k in Aufgabe a) und die Koordinaten der
zugehörigen Zentren Z1 und Z2.
c) Stelle in deinem Heft den Streckungsy
x-Koordinate des Punktes B
faktor k in Abhängigkeit von x dar.
Aktueller Wert: 0,7408
10
–4
–2
7
[Ergebnis: k =
5
x +1]
d) Für zwei Belegungen von k lassen sich
keine zentrische Streckungen angeben.
Finde diese Werte mithilfe des Geometrieprogramms.
Begründe die gefundenen Werte.
e) Begründe: Die Zentren Zn liegen auf
einer Geraden h. Gib die Gleichung an.
f) Ermittle durch Zeichnung die x-Koordinate von B3 für Z3 (– 3 | 7) Berechne
anschließend den Wert von x und den
Streckungsfaktor k.
Streckungsfaktor k
Aktueller Wert: 2,872
Zn
A
Bn
1
–1 O
–1
x
1
A’
B’
Einer der vier Ganoven Atze, Bodenlos, Convex und Dodl hat einen Münzautomaten aufgebrochen und das Geld in seinen Hosentaschen versteckt. Deshalb hat er das größte
Gewicht. Wer ist es?
Abbildung einer Geraden durch zentrische Streckung
95
1 Die Gerade g mit der Gleichung y = 0,5x + 1 wird durch zentrische Streckung mit dem
Zentrum Z(2 | 1) und dem Streckungsfaktor k = 2,5 auf die Bildgerade g abgebildet. So
kann man die Gleichung von g berechnen.
Für alle Punkte P(x |y) auf der Geraden
g mit y = 0,5x + 1 gilt:
P(x |0,5x + 1)
Mit der Pfeilkette folgt:
y
P’ ( x’| y’ )
4
3
g
2
2
3
ƒƒ©
ƒƒƒ©
ƒƒ©
ƒƒƒ©
ƒƒ©
OP = OZ k · ZP
x–2
= 2
( x
y ) ( 1 ) 2,5 · ( 0,5x + 1 – 1 )
Z(2|1)
1
ƒƒƒ©
OP = OZ ZP
P ( x |0,5x + 1 )
1
O
g’
4
5
x
–1
x = 2 + 2,5x – 5
Ÿ y = 1 + 1,25x
x = 2,5x – 3
Ÿ y = 1,25x + 1
Das Ziel ist es, einen Zusammenhang zwischen den Koordinaten x und y der Punkte P(x| y) auf der Geraden g zu finden. Deshalb eliminiert (entfernt) man die Variable x aus dem Gleichungssystem.
x + 3
Dazu löst man eine Gleichung nach x
2,5 = x
auf.
+3
Den Term für x setzt man in die andere
Ÿ y = 1,25 · x2,5
+1
Gleichung ein.
y = 0,5(x + 3) + 1
y = 0,5x + 2,5
Lässt man die Apostrophen weg, dann
lautet die Gleichung der Bildgeraden:
g: y = 0,5x + 2,5
a) Vergleiche die Berechnung der Gleichung der Bildgeraden im grünen Kasten mit der
Berechnung in Aufgabe 4 Seite 74. Nenne die Unterschiede.
ƒƒƒ©
ƒƒ©
b) Berechne die Gleichung der Bildgeraden mithilfe der Vorschrift ZP = k · ZP .
Parameterverfahren
Übungen
2 Die Gerade g wird durch zentrische Streckung auf die Gerade g abgebildet. Zeichne die
Geraden g und g. Berechne die Gleichung der fehlenden Geraden.
a) g: y = x – 1; Z(0 | 1); k = – 2
b) g: y = x – 1; Z(0 |1); k = – 2
6
–3
–4
Durch ein Gleichungssystem mit der Variablen x und y und der weiteren Variablen
(dem Parameter) x kann man die Gleichung einer Bildgeraden ermitteln. Diese erhält
man durch Eliminieren des Parameters x aus dem Gleichungssystem. Ein solches
Verfahren nennt man Parameterverfahren.
7
c) g: y = 2x; Z(3 | 0); k = – 13
d) g: y = 2x; Z(3 |0); k = 13
e) g: y = – 0,5x + 1; Z(2 |3); k = 1,5
f) g: 4x – 2y + 5 = 0; Z(1 |2); k = – 0,5
L (nur y-Achsenabschnitte): – 0,5; 8; 5; – 1,25; 6; – 8; – 4
96
Teilpunkt einer Strecke
1 Der Punkt T soll die Strecke [AB] so teilen, dass gilt: AT : TB = 5 : 2
7
9
–2
Es gilt: A(2 | – 1); B(8,3 | 6,7)
a) Ermittle die Koordinaten des Teilpunktes T durch Zeichnung (siehe Aufgabe 2 S. 72).
b) Vergleiche die gefundenen Koordinaten von T mit denen deiner Nachbarn.
2 So kann man die Koordinaten des Teilpunktes T in Aufgabe 1 berechnen.
y
y
8
8
B ( 8,3 | 6,7 )
Te
ile
7
Te
ile
4
O
4
5
Te
ile
2
5
2
2
T(x|y)
2
T ( x |y )
4
Te
ile
B ( 8,3 | 6,7 )
6
Te
ile
6
6
8
10
– 2 A( 2|–1)
x
O
4
6
8
10
x
– 2 A ( 2 | –1 )
1. Möglichkeit
ƒƒ©
2. Möglichkeit:
ƒƒ©
Pfeilkette: OT = OA 5
7
ƒƒ©
· AB
8,3 – 2 )
( xy ) = ( –21 ) 57 · ( 6,7
+1
ƒƒ©
ƒƒ©
Abbildungsvorschrift: AT = 57 · AB
8,3 – 2 )
( yx +– 21 ) = 57 · ( 6,7
+1
a) Zeige, dass der Teilpunkt T folgende Koordinaten hat: T(6,5|4,5)
b) Gib weitere Möglichkeiten an, die Koordinaten des Teilpunktes T zu berechnen.
Übungen
8
–7
–4
11
nung die Werte der Platzhalter in deinem Heft.
a) A(– 6 |0,5); B(4 | 5,5); AT : TB = 2 : 3; T (■ | ■)
b) A(10 | 1); B (2 | 7); AT : TB = 5 : 3; T (■ |■)
AT : TB = ■ : ■; T (– 2,5 | – 1,75)
c) A(0 | – 3); B (– 4,5 | – 7,5); d) A(1| – 3); B (6 | 2); AT : TB = ■ : ■; T (4,5 |■)
e) A(– 5 | 3); B (1 | 6); AT : TB = ■ : ■; T (■ | 3,5)
4 Gegeben sind eine Gerade g, eine Gerade h und ein Punkt Z.
9
–4
–3
3 Der Punkt T ist Teilpunkt der Strecke [AB]. Ermittle durch Zeichnung und durch Rech-
7
Es gilt: Z(2 | 2); g: y = 0,5x – 2; h: y = – 0,5x + 8
a) Zeichne den Punkt Z sowie die Geraden g und h.
b) Die Punkte Pn (x | 0,5x – 2) auf der Geraden g sind Endpunkte von Strecken [PnQn],
für die gilt: PnZ : ZQn = 2 : 3.
Zeichne die Strecken [P1Q1] für x = 4 und [P2Q2] für x = 6.
c) Begründe: Die Punkte Qn liegen auf einer Geraden g. Ermittle ihre Gleichung.
[Ergebnis: g : y = 0,5x + 3]
d) Es gibt eine Strecke [P0Q0] bei der der Punkt Q0 zusätzlich auf der Geraden h liegt.
Berechne die Koordinaten dieses Punktes.
Pn Z : ZQn = 3 : 2.
e) Löse die Aufgaben a) bis d) für Schwerpunkt eines Dreiecks
97
1
a) Schneide aus Pappe ein Dreieck ABC
aus. Finde einen Punkt S so, dass das
Dreieck im Gleichgewicht ist, wenn du
es mit einem Bleistift in diesem Punkt
unterstützt. Einen solchen Punkt nennt
man Schwerpunkt.
b) Zeichne die Halbgeraden [AS, [BS
und [CS. Diese schneiden die Dreiecksseiten in besonderen Punkten.
Welche Eigenschaften haben diese?
Schwerpunkt
Ich finde
den Schwerpunkt so.
c) Jede Dreieckfläche kann man durch
eine Summe vieler Rechtecksflächen
annähern. Die Schwerpunkte der Rechtecksflächen kann man leicht finden.
Begründe, dass der Schwerpunkt des
Dreiecks ABC auf der Strecke [CMc],
der so genannten Seitenhalbierenden
sc, liegen muss. Der Punkt Mc ist Mittelpunkt der Strecke [AB].
d) Stelle Überlegungen an, auf welchen
weiteren Strecken der Schwerpunkt
noch liegen muss.
C
S2
S1
A
B
Mc
C
1,8 cm
Mb
2 a) Zeichne mit einem Geometrieprogramm
ein Dreieck ABC und die drei Seitenhalbierenden.
b) Übertrage die Tabelle in dein Heft und
ergänze sie. Was stellst du fest?
Ma
S
3 cm
A
1,5 cm
B
Mc
SA
in cm
SMa
in cm
SB
in cm
SMb
in cm
SC
in cm
SMc
in cm
SA
S
Ma
SB
S
Mb
SC
S
Mc
■
■
■
■
■
■
■
■
■
3 Die Punkte Ma und Mb sind Mittelpunkte der Seiten [BC] und [AC] eines Dreiecks ABC.
a) Begründe: Das Dreieck MbMaC
kann durch zentrische Streckung mit
dem Zentrum C und k = 2 auf das
Dreieck ABC abgebildet werden.
b) Begründe mithilfe von a), dass gilt:
[MbMa] [AB] und MbMa = 0,5 · AB
b) Begründe mithilfe von b):
Das Dreieck MaMbS kann durch
zentrische Streckung mit dem Zentrum S und dem Faktor k* auf das
Dreieck ABS abgebildet werden.
Gib k* an.
d) Begründe mithilfe von b), dass gilt:
SA
S
Ma
2
SB
2
= 1 und SMb = 1
C
Mb
Ma
S
A
B
Mb
Ma
S
A
B
98
Schwerpunkt eines Dreiecks
4 Die Punkte Mb und Mc sind Mittelpunkte der Seiten [AC] und [AB] des Dreiecks ABC.
a) Zeige wie in Aufgabe 3 Seite 97,
dass gilt:
S*B
S
*Mb
= 21
b) Begründe, dass aus a) und aus Aufgabe 3d Seite 97 folgt: S = S*
Seitenhalbierende
Schwerpunkt
Übungen
–3
9
Mb
S
A
B
Mc
C
sb
S
sa
Ma
sc
A
Mc
B
5 Zeichne das Dreieck ABC und konstruiere den Schwerpunkt.
b) b = 6,4 cm; c = 7 cm; a = 60°
d) A(4 | 0); B (8 | 3); C(5,5 | 6)
6 Der Punkt S ist Schwerpunkt des Dreiecks ABC. Ermittle durch Zeichnung die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte bzw. des fehlenden Schwerpunktes.
a) A(0 | – 4); B(6 | – 2); S(3 |0)
b) A(– 4 |1); C (0 |6); S(– 1 |2,5)
–
–
–
–
–
–
c) A( 4 | 4); M[AB] ( 1 | 5); S ( 1 | 3)
d) A(2,5 | 2); M[AC] (4 |5); S(5,5 |4)
9
–5
–6
Die Verbindungsstrecken der Seitenmittelpunkte mit den gegenüberliegenden Dreiecksseiten bezeichnet man
als Seitenhalbierende (Schwerlinien).
Diese schneiden sich in einem Punkt,
dem Schwerpunkt S. Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1.
a) a = 6 cm; b = 5 cm; c = 8 cm
c) A(1 | – 2); B (7 | 0); C (5 | 5)
7
C
9
11
10
7 Die Punkte An, Bn und Cn sind Eckpunkte von gleichseitigen Dreiecken AnBnCn. Die Punkte An (x | 1) liegen auf der Geraden g mit y = 1. Die Punkte Mn (x|3x + 1) auf der Geraden
g mit y = 3x + 1 sind Mittelpunkte der Dreiecksseiten [BnCn]. Sie haben die gleiche Abszisse x wie die Punkte An.
y
a) Zeichne für x = 1 und x = 2 die
Mn
Bn
Cn
zugehörigen Dreiecke A1B1C1 und
5
A2B2C2. Zeichne die zugehörigen
Schwerpunkte S1 und S2 ein. Berechne
4
Sn
ihre Koordinaten.
b) Für welche Belegungen von x gibt es
3
Dreiecke AnBnCn mit dem Umlaufssinn entgegen dem Uhrzeiger?
2
c) Zeige, dass für die Koordinaten der
Schwerpunkte gilt: Sn (x|2x + 1).
1
An
Verwende zur Berechnung die Pfeilkette
ƒƒƒ©
ƒƒƒ©
ƒƒƒ©
OSn = OAn ASn .
O
x
2
3
4
1
–2
–1
d) Gib die Gleichung des Graphen s an,
auf dem die Schwerpunkte Sn liegen.
Zeichne den Graphen s ein.
Koordinaten des Schwerpunkts eines Dreiecks
1 a) Zeichne mit einem Geometrieprogramm ein Dreieck ABC und den
zugehörigen Schwerpunkt S.
Es gilt: A(1 | 2); B (10|0); C (4|7).
Vergleiche die Koordinaten von S mit
den Koordinaten der Eckpunkte.
b) Lass die Koordinaten der Eckpunkte
und des Schwerpunktes S anzeigen.
Hebe die Fixierung z. B. des Eckpunktes C an das Gitter auf und verändere
mit dem Zugmodus dessen Lage. Beobachte wieder die angezeigten Koordinaten der Eckpunkte und die des
Schwerpunktes S. Was stellst du fest?
99
y
9
x - Koordinate von A
Aktueller Wert: 1
x - Koordinate von B
Aktueller Wert: 10
8
x - Koordinate von C
Aktueller Wert: 5,2
x - Koordinate von S
Aktueller Wert: 5,4
7
C
6
5
4
M
S
3
2
1
A( 1 | 2 )
O
B( 10 | 0 )
2
1
3
4
5
6
7
8
9 10 x
2 So kann man die Koordinaten des Schwerpunktes S (xs |ys) eines Dreiecks ABC in Abhängigkeit von den drei Eckpunktskoordinaten berechnen.
y
9
Für den Mittelpunkt M (xM |yM) der
Strecke [BC] gilt:
8
M(
7
C ( xC | yC )
5
ƒƒ©
A ( xA |yA )
S
(
M
1
2
3
4
5
6
–2
Koordinaten
des Schwerpunktes eines
Dreiecks
Übung
ƒƒƒ©
xB + xC
– xs
2
xS – xA = 2 ·
–
yS yA
yB + yC
–
xA + xB + xC
3
7
8 x
B( xB | yB )
|
yA + yB + yC
3
(
)
)
2
)
3xs = xA + xB + xC
Ÿ 3yS = yA + yB + yC
xS =
xA + xB + xC
;
3
Für die Koordinaten des Schwerpunktes S (xS | yS) eines Dreiecks ABC gilt:
S(
)
ys
xS – xA = xB + xC – 2xS | + 2xS + xA
Ÿ yS – yA = yB + yC – 2yS | + 2yS + yA
1
–1 O
–1
yB + yC
2
Es gilt: AS = 2 · SM
4
2
|
Der Schwerpunkt S teilt die Strecke
[AM] im Verhältnis 2:1
6
3
xB + xC
2
yS =
yA + yB + yC
3
y
2 S( xS | yS )
A( xA | yA )
C ( xC | yC )
1
–2 –1 O
B( xB | yB )
1
2
3
4
5
6
7 x
3 Der Punkt S ist Schwerpunkt des Dreiecks ABC. Berechne die fehlenden Koordinaten.
a) A(– 3 | 1); B (– 0,5 | 2); C(– 1 |4,5); S (xS |yS)
b) A(2,5| 2); B(5 | 4); C(0 |9); S(xS |yS)
c) A(– 5 | – 3); B (– 2 | 1); C (– 1,5| xC); S (xS |1)
d) A(0,5| 1); B(xB | 3); C (3 |5); S (1 | yS)
100
Vermischte Übungen
1 Im Dreieck ABC mit dem Schwerpunkt S gilt: A(1 |2); B (10 | – 1); S (5 |3)
9
–2
11
2 Das Dreieck ABC wird durch zentrische Streckungen mit den Streckungszentrum Z1 und
9
–8
–5
a) Zeichne das Dreieck ABC.
b) Berechne die Koordinaten des Eckpunktes C.
c) Berechne die Koordinaten der Mittelpunkte Ma, Mb und Mc der Seiten des Dreiecks.
d) Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Dreiecks MaMbMc am
Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
5
dem Streckungsfaktor k1 auf das Dreieck A*B*C* abgebildet.
Es gilt: A(1 | 2); B(3 | 0,5); C(4 |3); k1 = 2
a) Zeichne das Dreieck ABC und das Dreieck A*B*C*. Berechne die Koordinaten der
Bildpunkte A*, B* und C*.
Z2 (– 2 | 3);k2 = – 0,75
b) DA*B*C* ∂ƒƒƒƒƒƒƒƒ
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ© DABC.
Berechne die Koordinaten der Bildpunkte A, B und C.
[Ergebnis: A (– 2 | 6); B (– 5 |8,25); C(– 6,5 |4,5)]
c) Das Dreieck ABC lässt sich mit einem Zentrum Z und einem Streckungsfaktor k direkt
auf das Dreieck ABC abbilden. Ermittle durch Zeichnung die Koordinaten von Z.
d) Berechne den Streckungsfaktor k und vergleiche mit den Faktoren k1 und k2. Was stellst
du fest?
e) Berechne die Koordinaten von Z.
f) Ermittle Beziehungen zwischen den Flächeninhalten der drei Dreiecke ABC, A*B*C*
und ABC.
3 Die Punkte Cn von gleichschenkligen Dreiecken ABnCn mit der Basis [ABn] liegen auf der
7
13
–7
Geraden g mit y = 6. Die Dreiecke ABnCn werden durch zentrische Streckung auf Dreiecke ABnCn abgebildet. Es gilt: A(0|0); Bn (x |0); Z(6 | – 3); k = – 13 .
a) Zeichne für x = 6 und für x = 9 die Dreiecke AB1C1 und AB2C2 und die zugehörigen
Bilddreiecke. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte.
b) Stelle die Koordinaten der Bildpunkte Bn und Cn in Abhängigkeit von x dar.
c) Zeichne in den Dreiecken aus Aufgabe a) die Schwerpunkte ein und berechne deren
Koordinaten. Gib die Gleichungen der Geraden an, auf denen die Schwerpunkte Sn bzw.
die Schwerpunkte Sn liegen.
d) Berechne die Koordinaten des Umkreismittelpunktes M1 des Dreiecks AB1C1 und des
Dreiecks AB1C1.
e)
Für x = 12 haben Ur- und
Bilddreieck eine ganz besondere Form!
4 Gegeben ist das Geradenbüschel g(m) mit y = m(x – 3) + 2.
9
–6
–5
6
a) Gib die Koordinaten des Büschelpunktes B an.
b) Überprüfe durch Rechnung, ob die Gerade g1 mit y = – 2x + 8 Element des Büschels
ist. Zeichne den Punkt B und die Gerade g1.
c) Der Punkt B und das Geradenbüschel g(m) werden durch zentrische Streckung abgebildet. Die Gerade g1 ist Element des Büschels g(m). Zeichne die Gerade g1 und den
Punkt B. Es gilt: Z(2 | 1); k = – 3.
d) Berechne die Koordinaten von B und die Gleichung von g1.
e) Gib die Gleichung des Geradenbüschels g(m) an.
f) Überprüfe, ob die Gerade g2 mit y = 0,5x – 1,5 Element des Büschels g (m) ist.
g) Zeichne die Gerade g2. Gib die Gleichung von g2 an. Was stellst du fest?
Kollisionsgefahr auf See
101
1 Nicht nur auf den engen Wasserstraßen in Küstennähe, sondern auch auf den riesigen Weiten der offenen See kann es zu Kollisionen zwischen Schiffen kommen.
a) Nenne mögliche Gründe.
b) Das geradlinig nach Osten fahrende Schiff A peilt ein Schiff B an. Der Radarschirm
zeigt die Entfernung der beiden Schiffe und den Winkel zwischen Fahrtrichtung und
Peilung an. Die Ergebnisse von drei Peilvorgängen sind – anders als in Wirklichkeit –
ĩ
ĩ
3,6 sm Ost ), v
1,6 sm Ost
0,8 sm Ost
durch die drei Vektoren vĩ1 = ( 12,6
2 = ( 5,6 sm Süd ) und v3 = ( 2,8 sm Süd )
sm Süd
dargestellt.
Ein Zusammenstoß droht dann, wenn die Peilung „steht“ ist, d.h. der Winkel zwischen
den Fahrtrichtungen der beiden Schiffe immer gleich bleibt. Ist dies für die Schiffe A
und B der Fall? Begründe.
α
β
ĩ
v1
ĩ
v2
γ
vĩ3
2 Die beiden Schiffe Pommern (P) und Bavaria (B) sind in der Ostsee unterwegs. Das Schiff
9
Pommern befindet sich um 10:00 Uhr in Position P(20|15). Dessen Kurs beträgt konstant:
8
ĩ
v1 =
1 sm
(Seemeile)
≈ 1,9 km
1 Knoten = 1 sm
h
(
10 sm Ost
h
7,5 sm Nord
h
)
Das Schiff Bavaria hat um 11:00 Uhr die Position B (30 |75). Es fährt mit konstanter
Geschwindigkeit Richtung Südost.
a) Zeichne die Positionen der beiden Schiffe um 10:00 Uhr und deren Kursrichtung in ein
Koordinatensystem ein (für die Zeichnung: 10 sm 1 cm; y-Achse zeigt nach Norden).
b) Ermittle durch Zeichnung und Rechnung die Position des Schiffes Pommern um 12:00
Uhr. Ermittle mithilfe der Maße in der Zeichnung die Geschwindigkeit in Knoten.
c) Ermittle durch Zeichnung und durch Rechnung die Koordinaten des möglichen Kollisionspunktes S, wenn beide Schiffe ihre Fahrtrichtung konstant beibehalten.
[Ergebnis: S (60 | 45)]
d) Warum muss es nicht zum Zusammenstoß kommen?
e) Um 12:00 Uhr führt das Schiff Pommern eine Peilung durch. Es ortet das Schiff Bavaria
sm Ost ).
in Richtung des Vektors ĩ
v2 = ( 305 sm
Nord
Ermittle mithilfe der Maße in der Zeichnung die Geschwindigkeit der Bavaria in Knoten.
f) Kommt es zum Zusammenstoß der beiden Schiffe, wenn sie jeweils ihren Kurs und ihre
Geschwindigkeit beibehalten? Begründe.