1. Eine Metallkugel wird in einen tiefen Schacht fallen
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1. Eine Metallkugel wird in einen tiefen Schacht fallen gelassen, um seine Tiefe zu bestimmen. Nach einer gewissen Zeit hört man, dass sie auf dem Grund aufgeprallt ist. 8 Punkte (a) Zeichnen Sie (quantitativ korrekt) direkt in das untenstehende s-t-Diagramm die Bewegung der Kugel ein, die zur Zeit t = 0 s losgelassen wird. Vernachlässigen Sie die Reibung und nehmen Sie an, dass der Schacht beliebig tief ist. (b) Zeichnen Sie (quantitativ korrekt) direkt in das untenstehende s-t-Diagramm die Schallbewegung des Aufprallknalls zurück zur Abwurfstelle der Kugel auf. Von ihr wissen Sie, dass sie sich gleichförmig mit Schallgeschwindigkeit (u = 344 m s−1 ) ausbreitet und 5.10 s nach dem Loslassen der Kugel oben ankommt. (c) Bestimmen Sie jetzt aus Ihrer Grafik möglichst genau die Tiefe des Schachtes. s [m] 1 3 2 4 steigender Schall 5 t [s] 0 −50 −100 -112 Schachttiefe = 112 m fallender Stein Lösung (a) Fallender Stein: sStein (t) = − 12 gt2 4 Punkte (b) Steigender Schall: sSchall (t) = u(t − 5.1) 3 Punkte (c) Schachttiefe: Schnittpunkt ablesen 1 Punkt 1 2. In einer Gasse hängt an einem Tragseil, das zwischen zwei Hauswänden gespannt ist, genau in der Mitte eine Strassenlampe der Masse m = 7.25 kg. Für die weiteren Berechnungen nehmen wir an, dass das Tragseil unelastisch, masselos und auf beiden Seiten in gleicher Höhe über der Gasse befestigt ist. ~r F ~g F 4.23 m ~l F 4.00 m (a) Zeichnen Sie direkt in die Figur die auf den Aufhängepunkt der Lampe wirkenden Kräfte ein und benennen Sie sie. (b) Berechnen Sie die Kraft, die die Seilbefestigung in der Hauswand mindestens aushalten muss, damit das Tragseil diese Befestigung nicht aus der Wand reisst. (c) Bei einem Unfall reisst das Tragseil unmittelbar rechts von der Lampe. Mit welcher Geschwindigkeit prallt sie gegen die linke Hauswand? Nehmen Sie bei der Berechnung an, dass die gesamte Masse der Lampe im Aufhängepunkt sitzt. 8 Punkte 5.28 m Lösung (a) Fl Fr Fg Seilkraft links Seilkraft rechts Schwerkraft 2 Punkte (b) Nützliche Grösse: Halbe Seillänge l l= Fl 1 2 Fg = r 1 2 2 · 5.28 + (4.23 − 4.00)2 = 2.65 m l 4.23 − 4.00 ⇒ Fl = 1 2 ·m·g· 2.65 = 410 N 0.23 3 Punkte (c) Energieerhaltung: Epot = Ekin m · g · ∆h = 1 2 · m · v2 v= ⇒ p 2 · g · ∆h Mit hoben = 4.00 m und hunten = 4.23 m − 2.65 m = 1.58 m folgt: v= p √ 2 · 9.81 · (hoben − hunten ) = 2 · 9.81 · 2.42 = 6.89 m s−1 3 Punkte 2 3. Für eine Feder wurde der Zusammenhang zwischen der auf sie wirkenden Kraft FF und ihrer Ausdehnung x gemessen und grafisch dargestellt. (a) Bestimmen Sie aus dieser Grafik so genau wie möglich die Federkonstante der Feder. 8 Punkte FF [N] 140 120 (b) Berechnen Sie, wie stark sich die Feder ausdehnt, wenn man einen 1.8 kg schweren Eisenklotz anhängt? (c) Berechnen Sie, wie stark sich die Feder ausdehnt, wenn der Eisenklotz aus obiger Teilaufgabe vollständig in Wasser eingetaucht wird? 100 80 ∆F = 137 N 60 40 20 ∆x = 0.4 m 0.1 0.2 x [m] 0.3 0.4 Lösung (a) Federkonstante D: ∆FF = D · ∆x D= ⇒ ∆FF 137 = = 342 N m−1 ∆x 0.4 2 Punkte (b) Eisenklotz: FF = F g D · ∆x = m · g ⇒ ∆x = m · g 1.8 · 9.81 = = 5.1 cm D 342 2 Punkte (c) Eisenklotz in Wasser: Eisenvolumen VE = 1.8 kg m = = 2.29 · 10−4 m3 %E 7.86 · 103 kg m−3 FF + FA = F g D · ∆x + %W · VE · g = m · g m · g − %W · VE · g ⇒ ∆x = D 1.8 · 9.81 − 998 · 2.29 · 10−4 · 9.81 = = 4.5 cm 342 4 Punkte 3 4. In einem Schwimmbecken ist auf der linken Seite auf dem Grund eine Spotlampe montiert, die einen Lichtkegel schräg hoch zur Wasseroberfläche wirft. (a) Zeichnen Sie in der Figur den weiteren Verlauf des unteren und des oberen Strahls – ohne Konstruktion aber qualitativ richtig und unter Berücksichtigung allfälliger Totalreflexion – des Lichtkegels ein. ∆h αL 1.6 m (b) Berechnen Sie den Ort, wo der obere Strahl des Lichtkegels auf die Wand trifft? 8 Punkte ∆l αw 45◦ 30◦ 8.6 m Lösung (a) (Nicht explizit verlangte) Grenzwinkelbestimmung: αG = arcsin falls nL 1 = 48.6◦ > αW = arcsin nW 1.333 ⇒ Totalreflexion 3 Punkte (b) Lichtbrechung an der Wasseroberfläche: sin(αL ) nW = sin(αW ) nL ∆h tan(90◦ − αL ) = ∆l ⇒ 1.333 αL = arcsin sin(45◦ ) · = 70.49◦ 1 ⇒ ∆h = (8.6 m − 1.6 m) · tan(90◦ − 70.49◦ ) = 2.5 m 5 Punkte 4 5. Gegeben ist der untenstehende Stromkreis. 10 Punkte (a) Berechnen Sie den Ersatzwiderstand dieses Stromkreises. (b) Berechnen Sie die Stromstärken durch die einzelnen Widerstände. 4Ω 12 Ω (c) Berechnen Sie die Spannung über dem 3 Ω-Widerstand. (d) Berechnen Sie die elektrische Leistung beim 4 Ω-Widerstand. 3Ω 24 V 2Ω 1Ω Lösung (a) Ersatzwiderstand: 1 Ω und 3 Ω seriell: 4 Ω und R1 parallel: 2 Ω und R2 seriell: 12 Ω und R3 parallel: R1 1 R2 R3 1 RE = 1Ω + 3Ω 1 1 2 = + = 4Ω 4Ω 4Ω = 2Ω + 2Ω 1 1 4 = + = 12 Ω 4 Ω 12 Ω ⇒ R1 = 4 Ω ⇒ R2 = 2 Ω ⇒ R3 = 4 Ω ⇒ RE = 3 Ω 4 Punkte (b) Stromstärken: Itotal : I12 Ω : 24 V = RE · Itotal = 3 Ω · Itotal 24 V = 12 Ω · I12 Ω ⇒ Itotal = 8 A ⇒ I12 Ω = 2 A I2 Ω : I2 Ω + I12 Ω = Itotal ⇒ I2 Ω = 6 A I4 Ω : Da R1 auch 4 Ω ist, folgt I4 Ω = ⇒ I4 Ω = 3 A I1 Ω : ⇒ I1 Ω = 3 A I3 Ω : ⇒ I3 Ω = 3 A (c) Spannung über dem 3 Ω-Widerstand: (d) Leistung beim 4 Ω-Widerstand: 1 2 · I2 Ω U3 Ω = 3 Ω · I3 Ω = 9 V P4 Ω = U4 Ω · I4 Ω = R4 Ω · I42 Ω = 36 W 5 4 Punkte 1 Punkt 1 Punkt 6. In einem Atelier möchte ein Künstler zufällige Bleifiguren herstellen, indem er frisch geschmolzenes Blei in ein Wasserbad giesst. Dabei verfestigt sich das flüssige Blei schockartig und wird am Ende die gleiche Temperatur haben wie das Wasser. Beurteilen Sie aufgrund einer Rechnung, ob 10 Liter Wasser von 20 ◦C genügen, um 3 kg Blei so zu Figuren zu verarbeiten. 6 Punkte Lösung Blei verfestigen: Blei auf 100 ◦C abkühlen: → Total Blei: Wasser auf 100 ◦C aufheizen: Q f,B = mB · L f,B = 3 · 0.23 · 105 QB = mB · cB · ∆TB = 3 · 129 · (327.4 − 100) QW = mW · cW · ∆TW = 69 000 J = 88 004 J = 157 004 J = 10 · 4182 · (100 − 20) = 3 345 600 J Resultat: 10 Liter Wasser von 20 ◦C genügen bei Weitem. (Nebenbei: Im Wortsinne der Aufgabe genügt es zu zeigen, dass die 69 000 J Erstarrungswärme des Bleis vom Wasser aufgenommen werden können. Z.B. ist schon die Verdampfungswärme des Wassers weit grösser als diese Erstarrungswärme.) 6 5 Punkte 1 Punkt 7. Kurzaufgaben: Begründen Sie jeweils in wenigen Sätzen Ihre Antwort. 8 Punkte (a) Richtig oder falsch: „Wenn keine resultierende Kraft auf einen Körper wirkt, so bewegt er sich auch nicht.“ (b) Eine quadratische Silberplatte hat in der Mitte ein kreisrundes Loch, durch welches eine Kupferkugel genau hindurch passt. Platte und Kugel werden zusammen um 80 ◦C erwärmt. Passt die Kugel immer noch durch das Loch? (c) Zwei elektrische Ladungen ziehen sich im Abstand von 4 cm mit einer Kraft von 9 N an. Mit welcher Kraft ziehen sie sich an, wenn man ihren Abstand auf 2 cm verändert? (d) Richtig oder falsch: „Ein Fisch, der 30 cm unter der Wasseroberfläche schwimmt, kann einen Fischer, der 5 m entfernt am Ufer sitzt, wegen der Totalreflexion nicht sehen.“ Lösung (a) Falsch. Der Körper könnte sich nach Newton I auch gleichförmig bewegen. 2 Punkte (b) Ja. Silber dehnt sich stärker aus als Kupfer: αAg = 19.7 · 10−7 K−1 > 16.8 · 10−7 K−1 = αCu . 2 Punkte (c) 36 N. Coulomb: FC ∼ 1 . r2 Bei Halbierung des Abstandes wird die Kraft vervierfacht. (d) Falsch. Licht vom Fischer wird immer ins Wasser eintreten und zum Fisch gelangen. 7 2 Punkte 2 Punkte
