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2.16 Drehmoment
lap5/eig/latex/mewae/akt_scr/kap2_16s1_05_11_14
bisher:
F → a beim Massenpunkt.
Starrer (ausgedehnter) Körper: kennt auch Rotation.
z.B. ausgedehnter Körper in Achse A gelagert, F greift
außerhalb der Achse im Abstand r von A an , wobei F r)
(Skizze)
F in Komponente parallel zur Verbindungslinie der
Angriffspunkte der Kräfte (am starren Körper entlang ihrer
Wirkungslinie verschiebbar!) F und senkrecht dazu F ⊥ zerlegt,
wegen .F r ist dann F ⊥ ≠ 0
F wird durch Gegenkraft in A kompensiert, .
Nur F ⊥ dreht!
Aufgabe jetzt:
Quantifizierung des Zusammenhangs zwischen F und Drehung:
, hat Drehsinn (Richtung) und Betrag
Drehung dω
dt
Einfache Frage: Drehsinn: ist bei 1 Kraft (einarmiger Hebel) klar.
Zweiarmiger Hebel:
F i , r i gegeben (i = 1, 2): welches F i bestimmt den
Drehsinn, wie rotiert der Körper?
Wann rotiert er nicht?
(Skizze)
Resultierende von F 1,2 bilden, Lage des Angriffspunktes P der resultierenden Kraft relativ zu A
bestimmt dann die Drehung . Zweiarmiger Hebel wird auf einarmigen reduziert!!
(Diese Methode ist also auf beliebig viele angreifende Kräfte anwendbar, die zukkzessive durch Bildung
der Resultierenden auf die Wirkung einer Kraft reduziert werden)
Spezialfall bei i = 2:
s 1 = r 1 (und damit notwendig: s 2 = r 2 ): keine Rotat.
d.h.
r 1 F 1⊥ = s 1 F 1⊥ = s 2 F 2⊥ = r 2 F 2⊥
ist aber z.B.:
r 1 F 1⊥ < s 1 F 1⊥ = s 2 F 2⊥ < r 2 F 2⊥ : d.h. r 1 F 1⊥ < r 2 F 2⊥ : resultierende Kraft liegt also auf Seite von F 2
relativ zur Achse, Drehung erfolgt in diesem Falle im Uhrzeigersinn (so wie F 2 alleine den Körper drehen
würde, also allgemeiner und genauer: im nach der RSR durch r 2 × F 2 definierten Drehsinn, und umgekehrt.
F i , für die r i F ⊥i = |r i × F i | größer ist, bestimmt die Drehrichtung.
Also ist offensichtlich die Größe r × F die für die Rotation eines Körpers unter der Wirkung einer Kraft
ausschlaggebende Größe, wobei weiter gilt:
|r × F| = r F ⊥ = r F sin α(r, F)
zweckmäßig, eine neue Größe, den Vektor des Drehmoments M einzuführen:
M := r × F
|M| = r F sin α(r, F) (*)
Richtung: RSR: 1.Vektor auf kurzem Wege in 2. Vektor hineingedreht oder auch
formal, je nachdem ob |M| 0 nach (*)
sin α > 0 r Fsin α > 0 Gegenuhrzeigersinn
also für 0 < α < π
sin α < 0 r Fsin α < 0 Uhrzeigersinn
also für π < α < 2π
Erste Folgerung:
Hebel ist im Gleichgewicht (dreht sich nicht) wenn
Mi = 0
M ist offensichtlich die Ursache einer Rotation (Winkelbeschl.) so wie F die Ursache einer
Bewegungsänderung (Beschleunigung) ist. Analoge Beziehung zu a = mF dω
für die Rotation zu
dr
dω
erwarten: dr = f(m, Gestalt, ...)·M
Dieser Zusammenhang zwischen F und Rotation kann folgendermassen veranschaulicht werden: Ausged.
Körper: als m i mit r i dargestellt.
F wirkt tangential auf drehbar gelagerten Körper (= Summe von Massenpunkten) entlang einer Strecke
ds = rdϕ, verrichtet also dabei die Arbeit dW aussen = |F|ds = Frdϕ
(Skizze)
Aus dem Satz von der Erhaltung der Energie folgt: diese Arbeit dW aussen der äußeren Kraft muss gleich sein
der bei der Rotation an den Massenpunkten des Körpers verrichteten Beschleunigungsarbeit
dW Beschl. = F 1 ds 1 + F 2 ds 2 = m i a i ds i = m i a i ρi dϕ i = m i a i ρi dϕ = m i ρi ωρi dϕ
dabei wurde verwendet:
ρi = |r i × e ω | Abstand der m i von der Drehachse,
dϕ i = dϕ , daher auch ωi = ω am starren Körper,
ρ dϕ
i
= ρi ω
v i = dsdti = idt = ρi ω, a i = dvdti = ρi dω
dt
dW aussen = Frdϕ = |M|dϕ = dW Beschl. = m i ρ2i ωdϕ
|M| = M =
m i ρ2i
dω
dt
und daraus schliesslich:
|M|
dω =
dt
( m i ρ2i )
= M
J
J
die Größe J = m i ρ2i = m i |r(m) × e ω | 2 nennt man das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich einer
Rotation um e ω . und stellt also - analog zur trägen Masse bei der Beschleunigung unter der Einwirkung
einer Kraft - den Widerstand eines Körpers gegen eine Winkelbeschleunigung unter der Einwirkung eines
Drehmomentes dar. Neben der Masse selbst spielt auch ihre Verteilung im Körper eine besondere Rolle.
Für einen massiven Körper geht diese Summe in ein entsprechendes Integral über
J = ρ2 (m)dm = |r(m) × e ω | 2 dm
Beispiel:
Trägheitsmoment eines Zylinders mit der Massendichte ρ bezüglich seiner Längsachse:
Polarkoordinaten gewählt, dann wird: |r(m) × e ω | = r
(Skizze)
dm = 2rπρhdr,
J = 2πρh
R
0
4
r 3 dr = 2πρh R4 =
1
2
πR 2 ρhR 2 =
1
2
MR 2
mit R 2 πhρ = M Masse des Zylinders
Und jetzt noch zur kinetischen Energie bei der Rotation eines Systems von Teilchen, wegen v i =:ρi ω ist:
W kin =
1
2
m i v 2i =
1
2
m i ρ2i ω2 =
1
2
Jω2
Ganz allgemein üernimmt also das Trägheitsmoment bei der Rotation die Rolle der Masse bei der
Translation, damit bekommen viele Formeln die gleiche Gestalt für Rotation und Translation.
Weitere Beispiele?