mathematik basics mathematik basics

reichen zu Beginn der beruflichen Grundbildung vorausgesetzt
wird.
Die Reihe Mathematik Basics bietet in zehn Bänden eine systematische, übersichtliche Einführung in die wichtigsten Gebiete
der Mathematik.
Sie richtet sich vor allem an die folgenden Zielgruppen:
− Schulabgängerinnen und Schulabgänger der Volksschule,
insbesondere 10. Schuljahr / Brückenangebote
− Lernende zu Beginn der beruflichen Grundbildung
– Lernende in Förderkursen
– Erwachsene in der beruflichen Weiterbildung, die sich
mathe­matisches Basis­wissen aneignen wollen.
Der vorliegende Band behandelt das Thema Arithmetik und
Algebra. Zunächst werden die Grundlagen der ersten und
zweiten Operationsstufe in der Arithmetik erarbeitet. In einem
zweiten Teil werden die neu erworbenen Kenntnisse in der
Gleichungslehre angewendet. Gezielte Übungen ergänzen den
programmierten Unterricht.
www.hep-verlag.ch/mathe-basics-arithmetik-algebra
MATHEMATIK BASICS
ziellen Kompetenz, welche in den verschiedensten Berufsbe-
MATHEMATIK BASICS
Mathematisches Grundwissen zählt heutzutage zu einer essen-
Marc Peter, Rainer Hofer, Jean-Louis D’Alpaos
Arithmetik und Algebra
Vorwort
Zu Beginn der beruflichen Grundbildung haben 20 bis 30 Prozent aller Jugendlichen
Schwierigkeiten, dem Unterricht im Fachrechnen zu folgen. Oft gehen Lernende,
Eltern, Berufsbildende oder Lehrpersonen davon aus, dass sich diese Probleme im
Fachrechnen während des regulären Unterrichts von selbst lösen. Die Erfahrungen
zeigen aber mehrheitlich in die andere Richtung: Wer mit mangelnden Kompetenzen
in die Sekundarstufe II startet, wird mit fortdauernder Ausbildung immer mehr Mühe
bekunden, dem Unterricht zu folgen. Deshalb sind Standortbestimmungen im
3. Schuljahr der Sekundarstufe I oder zu Beginn der beruflichen Grundbildung
unabdingbar, um fehlende Kompetenzen zu erkennen und die Lernenden ab dem
1. Semester gezielt zu fördern.
Dieses Lehrmittel, welches ich gemeinsam mit Marc Peter (1959–2011) erarbeitete,
ist ein Produkt unserer langjährigen Erfahrung als Lehrer im Bereich Pädagogische
Fördermassnahmen (PFM) an Berufsfachschulen. Es ist systematisch aufgebaut und
ermöglicht einen handlungs- und ressourcenorientierten Unterricht im Umfang von
zirka 20 Lektionen. Ergänzend können auf der Webseite des Verlags ein ausgefülltes
Exemplar für Lehrpersonen sowie Lernkontrollen freigeschaltet und bezogen werden.
Meine didaktischen Empfehlungen:
Rechenarten und Operationen werden erläutert und wenn möglich bildlich dargestellt
und einige Übungen werden im Plenum gelöst. Danach arbeiten die Lernenden
individuell an den Übungen. Als Lehrperson unterstützen Sie sie bei Bedarf
ressourcenorientiert, mehrheitlich fragend. Mit den Lernkontrollen erfolgt die
Ergebnissicherung.
Das Lehrmittel Arithmetik und Algebra ist bewusst Teil der Reihe Mathematik Basic,
weil es zusammen mit anderen Lehrmitteln die Grundlage fürs fachkundliche
Rechnen bildet. Dieses Lehrmittel kann als Repetitorium in der Sekundarstufe I, in
der beruflichen Grundbildung und in Förderkursen an der Berufsfachschule
eingesetzt werden.
Mein grosser Dank gilt Marc Peter (1959–2011). Gemeinsam haben wir dieses
Lehrmittel erarbeitet und erstellt. Neu wird Jean-Louis D’Alpaos mein BrainstormingPartner sein und mich bei der Weiterentwicklung des Lehrmittels unterstützen.
Rainer Hofer, Berufsfachschullehrer und Lehrperson für Förderangebote Inhaltsverzeichnis
1
1.1
Rechenarten, Grundsätzliches zum Rechnen mit Variablen
Repetition: Das Rechnen mit Brüchen
Seite
Seite
6
8
2
2.1
2.2
Operation 1. Stufe: Addition und Subtraktion
Addition und Subtraktion mit verschiedenen Vorzeichen
Das Rechnen mit Klammern
Seite
Seite
Seite
13
15
16
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Multiplikation
Definition und Eigenschaften
Multiplikation «Zahl mal Klammer»
Multiplikation «Klammer mal Klammer»
Die drei binomischen Formeln
Ausklammern oder Vorklammern
Anwendung Faktorzerlegung: Das Kürzen von Brüchen
Seite
Seite
Seite
Seite
Seite
Seite
Seite
18
18
20
21
23
25
28
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Division
Definition und Eigenschaften
Dividieren mit algebraischen Summen
Erweitern von Brüchen
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Multiplizieren von Brüchen
Dividieren von Brüchen
Seite
Seite
Seite
Seite
Seite
Seite
Seite
Seite
30
30
32
34
35
37
41
42
5
5.1
5.2
Algebra: Die Lehre von den Gleichungen
Zahlengleichungen
Formeln umstellen
Seite
Seite
Seite
46
46
56
Seite
61
Lösungen zu den Übungen
1
Rechenarten, Grundsätzliches zum Rechnen mit Variablen
Unter Arithmetik versteht man das Rechnen mit Zahlen oder Variablen.
2 + 4,8 − 6 = ?
4⋅3
− 3 = ?
2
2 (3 a − 8 ) + 7 a = ?
ab − a = ?
2ab
Es gibt drei Operationsstufen:
•
Addieren
2 a + 3b + 6 c + b = ?
•
Subtrahieren
4r − 6 − 3r = ?
•
Multiplizieren
4b ⋅ (2a − 3 ab) = ?
•
Dividieren
24 ab − b = ?
ab
•
Potenzieren
(2 xy) 3
•
Radizieren
3
•
Logarithmieren
lg 5 + lg 2 = ?
Operation 1. Stufe
Operation 2. Stufe
Operation 3. Stufe
Arithmetik und Algebra
= ?
x5 = ?
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Variablen sind Stellvertreter für bestimmte Zahlen oder Grössen (z.B. Fläche A).
Damit können mathematische Gesetzmässigkeiten ganz allgemein als Rechenregel
oder als Formel ausgedrückt werden. Bei der Rechenregel stehen die Variablen an
Stelle von Zahlen, bei Formeln an Stelle von Grössen.
Rechenregel
(a + b)2
Formel
= a2 + 2ab + b2
A =
a + c
⋅ h
2
Kommt die gleiche Variable bei einer bestimmten Rechenregel oder Formel mehrmals vor, so ist sie Stellvertreter für stets die gleiche Zahl oder Grösse. Hier einige
grundsätzliche Vereinbarungen und Begriffe, die das Rechnen mit den Variablen betreffen:
•
Bei den + und − Zeichen unterscheidet man zwischen Operationszeichen und Vorzeichen.
Vorzeichen werden in Klammern
geschrieben (ausser am Anfang).
Vorzeichen
.................................................................................
Operationszeichen
•
•
Es gilt die Regel, dass positive
Vorzeichen nicht geschrieben werden.
Ein Malzeichen zwischen Beizahl
und Variable oder auch zwischen
den Variablen lässt man weg.
.................................................................................
.................................................................................
Beizahl
•
Ist die Beizahl 1 oder −1, so wird sie
nicht geschrieben.
.................................................................................
.................................................................................
Die Beizahlen können auch Bruchzahlen sein. Deshalb folgt eine kurze Repetition
des Bruchrechnens mit natürlichen Zahlen.
Arithmetik und Algebra
Seite 7
1.1 Repetition: Das Rechnen mit Brüchen
y
Brüche auf dem Zahlenstrahl, unechte Brüche, gemischte Zahlen
Die Brüche haben auf dem Zahlenstrahl wie folgt ihren Platz:
Brüche, bei denen der Zähler
kleiner ist als der Nenner,
nennt man:
.......................................................................
Brüche, bei denen der Zähler
grösser ist als der Nenner,
nennt man:
.......................................................................
Brüche mit gleichem Zähler
und Nenner sind immer 1.
Arithmetik und Algebra
Seite 8
Die unechten Brüche lassen sich in ............................................................................... verwandeln,
eine Addition aus einer ganzen Zahl und einem Bruch:
28
=
3
69
=
11
...................................................................
...................................................................
Man kann auch jede gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln:
3
7
=
8
28
...................................................................
5
=
8
...................................................................
Übung 1 Verwandeln Sie die folgenden gemischten Zahlen in unechte Brüche oder
umgekehrt.
a) 5
y
7
8
b) 4
4
5
c) 11
11
12
d)
23
5
e)
77
8
f)
83
2
Erweitern und Kürzen von Brüchen
Erweitern heisst, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren. Der
Wert des Bruches ändert sich dadurch nicht.
Erweitern Sie den ersten Bruch mit 7, den zweiten mit 15 und den dritten mit 200:
5
=
9
...........................................
7
=
20
...........................................
2
=
7
.......................................................
Kürzen heisst, Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl zu dividieren. Der Wert
des Bruches ändert sich dadurch nicht.
Kürzen Sie folgende Brüche:
6
=
14
...........................................
Arithmetik und Algebra
3
=
21
...........................................
28
=
40
...............................................
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