Vorwort - hep Verlag

Vorwort
Das mathematische Grundwissen in der Arithmetik – dem «Rechnen» – kommt in
vielen Berufen zur Anwendung. Dieser Band aus der Reihe «Mathematik Basics»
bietet Ihnen die Möglichkeit, in Form eines programmierten Unterrichts in ca. 20 Lektionen die wichtigsten Regeln der Arithmetik der 1. und 2. Stufe gezielt zu lernen und
mit Hilfe von Beispielen einzuüben. Sie werden dabei lernen, wie man mit Variablen
addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Mit Hilfe der Lösungen am Schluss dieses Lernprogramms können Sie Ihre Resultate kontrollieren.
Eventuell haben Sie die vier Grundoperationen vor längerer Zeit in Ihrer Schullaufbahn schon gelernt. Für diesen Fall bietet Ihnen dieses Lernprogramm die Möglichkeit, vielleicht etwas vergessene Kenntnisse aufzufrischen.
Eines der wichtigsten Anwendungsgebiete der Arithmetik ist die Algebra, die Lehre
von den Gleichungen. Es ist deshalb sehr empfehlenswert, die erworbenen Kenntnisse der Arithmetik gleichzeitig in der Algebra anzuwenden. Eine Einführung in die
Algebra im zweiten Teil dieses Lernprogramms vermittelt Ihnen die nötigen Kenntnisse für das Lösen einfacher Gleichungen. Beispiele helfen Ihnen auch hier, das
Gelernte zu üben.
Für eine vertiefte Beschäftigung mit der Algebra bieten sich die Bände «Formeln umstellen» und «Algebra – rechnerische und graphische Lösungen von Gleichungen»
aus der Reihe «Mathematik Basics» an.
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg.
Marc Peter, Rainer Hofer
Berufsschullehrer und Lehrpersonen für Förderangebote
Inhaltsverzeichnis
1
1.1
Rechenarten, Grundsätzliches zum Rechnen mit Variablen
Repetition: Das Rechnen mit Brüchen
Seite
Seite
6
8
2
2.1
2.2
Operation 1. Stufe: Addition und Subtraktion
Addition und Subtraktion mit verschiedenen Vorzeichen
Das Rechnen mit Klammern
Seite
Seite
Seite
13
15
16
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Multiplikation
Definition und Eigenschaften
Multiplikation «Zahl mal Klammer»
Multiplikation «Klammer mal Klammer»
Die drei binomischen Formeln
Ausklammern oder Vorklammern
Anwendung Faktorzerlegung: Das Kürzen von Brüchen
Seite
Seite
Seite
Seite
Seite
Seite
Seite
18
18
20
21
23
25
28
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Division
Definition und Eigenschaften
Dividieren mit algebraischen Summen
Erweitern von Brüchen
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Multiplizieren von Brüchen
Dividieren von Brüchen
Seite
Seite
Seite
Seite
Seite
Seite
Seite
Seite
30
30
32
34
35
37
41
42
5
5.1
5.2
Algebra: Die Lehre von den Gleichungen
Zahlengleichungen
Formeln umstellen
Seite
Seite
Seite
46
46
56
Seite
61
Lösungen zu den Übungen
1
Rechenarten, Grundsätzliches zum Rechnen mit Variablen
Unter Arithmetik versteht man das Rechnen mit Zahlen oder Variablen.
2 + 4,8 − 6 = ?
4⋅3
− 3 = ?
2
2 (3 a − 8 ) + 7 a = ?
ab − a = ?
2ab
Es gibt drei Operationsstufen:
•
Addieren
2 a + 3b + 6 c + b = ?
•
Subtrahieren
4r − 6 − 3r = ?
•
Multiplizieren
4b ⋅ (2a − 3 ab) = ?
•
Dividieren
24 ab − b = ?
ab
•
Potenzieren
(2 xy) 3
•
Radizieren
3
•
Logarithmieren
lg 5 + lg 2 = ?
Operation 1. Stufe
Operation 2. Stufe
Operation 3. Stufe
Arithmetik und Algebra
= ?
x5 = ?
Seite 6
Variablen sind Stellvertreter für bestimmte Zahlen oder Grössen (z.B. Fläche A).
Damit können mathematische Gesetzmässigkeiten ganz allgemein als Rechenregel
oder als Formel ausgedrückt werden. Bei der Rechenregel stehen die Variablen an
Stelle von Zahlen, bei Formeln an Stelle von Grössen.
Rechenregel
(a + b)2
Formel
= a2 + 2ab + b2
A =
a + c
⋅ h
2
Kommt die gleiche Variable bei einer bestimmten Rechenregel oder Formel mehrmals vor, so ist sie Stellvertreter für stets die gleiche Zahl oder Grösse. Hier einige
grundsätzliche Vereinbarungen und Begriffe, die das Rechnen mit den Variablen betreffen:
•
Bei den + und − Zeichen unterscheidet man zwischen Operationszeichen und Vorzeichen.
Vorzeichen werden in Klammern
geschrieben (ausser am Anfang).
Vorzeichen
.................................................................................
Operationszeichen
•
•
Es gilt die Regel, dass positive
Vorzeichen nicht geschrieben werden.
Ein Malzeichen zwischen Beizahl
und Variable oder auch zwischen
den Variablen lässt man weg.
.................................................................................
.................................................................................
Beizahl
•
Ist die Beizahl 1 oder −1, so wird sie
nicht geschrieben.
.................................................................................
.................................................................................
Die Beizahlen können auch Bruchzahlen sein. Deshalb folgt eine kurze Repetition
des Bruchrechnens mit natürlichen Zahlen.
Arithmetik und Algebra
Seite 7
1.1 Repetition: Das Rechnen mit Brüchen
y
Brüche auf dem Zahlenstrahl, unechte Brüche, gemischte Zahlen
Die Brüche haben auf dem Zahlenstrahl wie folgt ihren Platz:
Brüche, bei denen der Zähler
kleiner ist als der Nenner,
nennt man:
.......................................................................
Brüche, bei denen der Zähler
grösser ist als der Nenner,
nennt man:
.......................................................................
Brüche mit gleichem Zähler
und Nenner sind immer 1.
Arithmetik und Algebra
Seite 8
Die unechten Brüche lassen sich in ............................................................................... verwandeln,
eine Addition aus einer ganzen Zahl und einem Bruch:
28
=
3
69
=
11
...................................................................
...................................................................
Man kann auch jede gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln:
3
7
=
8
28
...................................................................
5
=
8
...................................................................
Übung 1 Verwandeln Sie die folgenden gemischten Zahlen in unechte Brüche oder
umgekehrt.
a) 5
y
7
8
b) 4
4
5
c) 11
11
12
d)
23
5
e)
77
8
f)
83
2
Erweitern und Kürzen von Brüchen
Erweitern heisst, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren. Der
Wert des Bruches ändert sich dadurch nicht.
Erweitern Sie den ersten Bruch mit 7, den zweiten mit 15 und den dritten mit 200:
5
=
9
...........................................
7
=
20
...........................................
2
=
7
.......................................................
Kürzen heisst, Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl zu dividieren. Der Wert
des Bruches ändert sich dadurch nicht.
Kürzen Sie folgende Brüche:
6
=
14
...........................................
Arithmetik und Algebra
3
=
21
...........................................
28
=
40
...............................................
Seite 9