Blatt 5

1
UniBwM, Fakultät EIT
Neubiberg, 11.2.08
Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie, Blatt 5
Aufgabe 1
Sei (S, A , P) ein W-Raum und seien A, B 0 A Ereignisse mit
P(A) = 1/3, P(A c B) = 5/6 und P(B | A) = 2/3.
Berechnen Sie P(A 1 B), P(B), P(B | Ac) und P(A | Bc).
Aufgabe 2
In einen Kreisverkehr münden drei Straßen. 20 % aller Fahrzeuge gelangen über die erste, 60 %
über die zweite in den Kreisverkehr. Von denjenigen Fahrzeugen, die über die erste
reinkommen, verlassen ihn 30 % über die dritte und ebenfalls jeweils 30 % sowohl von den über
die zweite als auch von den über die dritte Straße ankommenden Fahrzeugen fahren über die
erste raus. Außerdem verläßt kein Fahrzeug den Kreisverkehr über dieselbe Straße, auf welcher
es hineingelangt ist.
Seien Ai bzw. Bi die Ereignisse, daß ein Fahrzeug über die i-te Straße in den Kreisverkehr
kommt, bzw. ihn verläßt.
Entnehmen Sie den obigen Informationen die Werte für die Wahrscheinlichkeiten P(Ai) sowie
die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(Bi | Aj) für i, j = 1,2,3, und berechnen Sie daraus die
Wahrscheinlichkeiten P(Bi) für i = 1,2,3.
Berechnen Sie ferner die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A1 | B2).
Aufgabe 3
Ein Schnelltest, der klären soll, ob der Alkoholgehalt im Blut einer Person mindestens oder
weniger als 0.5 Promille ist, hat folgende Eigenschaften: sein Ergebnis ist mit einer
Wahrscheinlichkeit von 90 % positiv, wenn der Alkoholgehalt mindestens 0.5 Promille ist, und
ebenfalls mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % negativ, wenn der Alkoholgehalt geringer ist.
Die (unbedingte) Wahrscheinlichkeit, daß der Alkoholgehalt einer Fahrers bei einer Kontrolle
mindestens 0.5 Promille ist, sei 5 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
a) der Test positiv ausgeht?
b) eine getestete Person weniger als 0.5 Promille Alkohol im Blut hat, wenn der Test positiv
ausging?
c) eine getestete Person mindestens 0.5 Promille Alkohol im Blut hat, wenn der Test negativ
ausging?
Aufgabe 4
Sei (S, A , P) ein W-Raum und sei A0 A . Weisen Sie folgende Äquivalenz nach:
Für alle B0 A sind A und B unabhängig ] P(A)0{0,1}.
Aufgabe 5
Seien A und B Ereignisse in einem W-Raum (S, A , P), wobei P(A) > 0 und P(B) > 0.
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
2
(i) Sind A und B disjunkt, so sind A und B unabhängig.
(ii) Sind A und B unabhängig, so sind A und B nicht disjunkt.
Aufgabe 6
Geben Sie für das Zufallsexperiment "zweimal faire Münze werfen (Kopf oder Zahl)" einen
geeigneten W-Raum an.
Betrachten Sie die drei Ereignisse A = "Zahl im ersten Wurf"; B = "Zahl im zweiten Wurf";
C = "gleiches Ergebnis in beiden Würfen".
Sind die drei Ereignisse A, B, C unabhängig?
Aufgabe 7
Ein Moorhuhn wird von n Schützen gleichzeitig beschossen. Jeder Schütze schießt einmal und
trifft mit Wahrscheinlichkeit 0.8. Wie groß muß n gewählt werden, damit das Moorhuhn mit
einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 99% von mindestens einem Schützen getroffen wird?
Aufgabe 8
Seien A1, ..., An unabhängige Ereignisse in einem W-Raum (S, A , P) und sei für i=1,...,n
pi = P(Ai); ferner sei q die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, daß keines der Ereignisse
A1, ..., An eintritt.Geben Sie eine Formel zur Berechnung von q mit Hilfe der p1, ..., pn an.
n
Zeigen Sie auch, daß die folgende Abschätzung gilt: q ≤ exp( − ∑ pi ) .
i =1
Hinweise
A2 und A3: 3.1.3
A6: Sind alle vier Bedingungen in 3.2.3 erfüllt?
A7: Für i=1,...,n sei Ai das Ereignis "der i-te Schütze trifft". Die Ereignisse A1, ..., An können als
unabhängig angenommen werden. Man beachte auch die Folgerung zu 3.4.3.
A8: Wegen der Folgerung zu 3.4.3 sind die Ereignisse A1c, ..., Anc unabhängig. Ferner ist für
0 # x # 1: 1 - x # e -x.