n ∈IR

Vektorrechnung und Analytische Geometrie :
Punkt, Gerade, Ebene, Projektionen und Schnitte
Siehe : de.wikipedia.org, dort insbes.:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Geradengleichung
http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorrechnung
http://de.wikipedia.org/wiki/Analytische_Geometrie
n
IR : n-dimensionaler Raum mit („orthogonalem“) rechtwinkligem Koordinatensystem. Die

p1
„Punkte“ P werden durch n-Tupel reeller Zahlen ("Koordinaten") dargestellt:
P= . ..
pn
∈IR
n
mit p1,...pn ∈ IR. Die Vektorrechnung verzichtet prinzipiell auf geometrische Bedeutungen!

Vektor a : Klasse paralleler, gleichlanger und gleichgerichteter Pfeile, d.h. eine Vektor beschreibt
n
eine Länge und eine Richtung im n-dimensionalen Raum IR . Vektoren bleiben bei
Parallelverschiebung erhalten!
a =
P1 P 2 : Vektor als Punkt-verbindender Pfeil.

("Komponenten").
 a1 

 
a =  ...  Spaltenvektor reeller Koordinaten
a 
 n

p1

a = OP= . .. , O ist der feste Ursprung. Jeder Vektor hat genau einen
Ortsvektor eines Punktes P: 
pn
repräsentierenden Ortsvektor, daher die Isomorphie (Strukturgleichheit) zwischen dem Raum der
n
Punkte und dem „Vektor“-raum IR .

Vektorbetrag/-länge : | a |=
Koordinatensystem.

Einheitsvektoren: a = 1
2
2
2
a1 + a 2 + a 3
3
im IR , sonst analog im rechtwinkligen
Nullvektor:

0
mit

0 =0

hat keine Richtung!

Vektoraddition: Geometrisch durch Aneinanderreihen der Pfeile a + b = P1P2 + P2 P3 = P1P3 ,
arithmetisch durch Addition der Koordinaten:
 a1 
 
 ... 
a 
 n
 b1   a1 + b1 
  

+  ...  = 
... 
b  a + b 
 n  n n
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar: gleiche Richtung , jedoch veränderte Länge,
evtl. entgegengerichtet für s<0:
 a1   s ⋅ a1 
  

s ⋅  ...  =  ... 
 a   s⋅ a 
 n 
n
 a1   b1 
   
Vektorprodukt:  a 2  ×  b 2 
a  b 
 3  3
s∈IR.
=
 a 2 ⋅ b3 −

 a 3 ⋅ b1 −
 a ⋅b −
 1 2
a3 ⋅ b2 

a1 ⋅ b 3 
a 2 ⋅ b1 
3
nur im IR !
a  
   1 
a ⋅ b =  a2  ⋅ 
a  
 3 
Skalarprodukt:
b1 

b 2  = a1 ⋅ b1 + a 2 ⋅ b 2 + a 3 ⋅ b 3
b 3 
3
Koordinatenschreibweise im IR
n
im IR sinnvoll mit dem Summenzeichen schreibbar:
  
a1 b1

a⋅b= ⋮ ⋅ ⋮ =a 1⋅b 1a 2⋅b 2⋯a n⋅b n=
a n bn

 

a ⋅ b = | a | ⋅ | b | ⋅ cos(α )
n
∑
i=1
a i⋅b i
Koordinatenschreibweise im IR n
n
koordinatenfreie Darstellung auch im IR ,
 
α ist der von a , b eingeschlossene Winkel (α ∈ [0°;180°] ).
Orthogonalität ⇔ α=90°.
n
Lineare Abhängigkeit: k Vektoren des IR sind linear abhängig, wenn es reelle Zahlen s1,...,sk ∈IR
gibt mit:

2
2
⋅ s1 ⋅ a1 + ... + s k ⋅ a k = 0 und gleichzeitig s1 +...+sk ≠ 0.
n
Lineare Unabhängigkeit: k Vektoren des IR sind linear unabhängig, wenn es keine derartigen Zahlen
gibt.
Praktisch : Man versucht den obigen Ansatz und stellt („etwas verwundert“) fest : s1=s2=...=sk=0
(notwendige Bed.).
n
Im IR gibt es maximal n linear unabhängige Vektoren und es gibt immer z.B. diese n linear
 1
 0
 0
 
 
 
 0
 1
 ... 
unabhängigen Koordinaten-Einheitsvektoren: e1 =   , e 2 =   , ..., e n =  
...
...
0
 
 
 
 0
 0
 1
 
 
 
 
Komponentenzerlegung von Vektoren: Wenn a , b linear unabhängig



a
sind und x = m1 ⋅ a + m 2 ⋅ b , 


a die Komponente von x
so heißt m1⋅
in Richtung a usw.
b
m1⋅a
m2⋅b
x
Senkrechte Projektion eines Vektors auf eine Richtung (auf einen zweiten
Vektor; Zusammenhang mit Geometrie) : nur in diesem Fall
a
(rechtwinkliges Dreieck) ist
∣m2⋅b∣ und auch = x⋅b
cos(α) =
∣ x ∣
∣ x ∣⋅∣ b ∣
b
x⋅b
⋅
Setzt man m 2 = 2
m2⋅b α
∣b∣
x
x⋅b 

⋅b
so ist die Projektion von x auf 
b : m2⋅b=
2
∣b∣
diese Formel auch dann richtig, wenn x und 
b einen Winkel größer
90° einschließen.
Hinweis: die obige Zerlegung in zwei Richtungen ist komplizierter und über ein LGS bestimmbar.
 
Analytische Geometrie: geometrische Gebilde wie Gerade, Ebene, Kreis, Parabel, Kegel etc. werden als
Punktemengen aufgefasst und durch Gleichungen beschrieben. Die Punktkoordinaten beziehen sich
immer auf ein genau definiertes Koordinatensystem. Vektoren beschreiben gerichtete Strecken.
n
Gerade im IR :
Punkt-Richungsform:
(explizite Koordinatenform) 2-Punkte-Form:
3


g: x = 0P1 + λ ⋅ a für λ∈IR .

g: x = 0P1 + λ ⋅ 0P2 − 0P1 für λ∈IR .
(
)
Gerade im IR :
 
Normalform (implizite Form):
"g" ist Lösungsmenge der Gleichung: n ⋅ x − 0P1 = 0

wenn n ein zur Geradenrichtung orthogonaler Vektor und 0P1 ein Punkt von g ist.
(
)
Hessesche Normalform : "g" ist Lösungsmenge der Gleichung: n o ⋅ (x − 0P1 ) = 0
wenn n o ein zur Geradenrichtung orthogonaler
Einheitsvektor und 0P1 ein Punkt von g ist.
n o ⋅ 0P1 = Abstand des Ursprungs zur Gerade, >0, wenn
g
⋅
n
o
0
no

no von 0 aus in Richtung g zeigt (0 auf der Seite der
Geraden liegt, in die 
no nicht zeigt).
P1
no
: "Normaleneinheitsvektor" ist immer bis auf die Orientierung
eindeutig bestimmt bei einer Geraden im IR2 .
o
n ⋅ 
0P−
0P1 ∣
Abstand eines Punktes P2 von einer Geraden: d =∣
Hinweis: ohne Betragszeichen mit Zusatzinformation der „Seite“ der Geraden.
r F eines Lotes von einem Punkt P2 ( r2 ) auf eine Gerade g: r1λ v :
Fußpunkt 
 r − r ⋅v
r F = r1 2 21 ⋅

v
(vergl. senkrechte Projektion oben)
∣v∣
Das Lot selber ist l =
FP 2=
r2 – 
rF
Schnittpunkt S zweier Geraden : g1 :
r =r1λ v
g2 : r = r2µ w

rS =r1λ v = r2µ w
 .
erfüllt beide Gleichungen, also LGS für λ, µ :
3
Keine Lösung: ⇒ parallele oder (im IR ) windschiefe Geraden.
Abstand paralleler Geraden im IR2 : v und w
 zeigen in die gleiche
Richtung, sind linear abhängig: v = µ w
 . Man nimmt
dann einen bel. Punkt auf g2 und bestimmt seinen Abstand
von g1 (g1 in Hesse Normalenform). Odre allgemeine Formel:
Abstand windschiefer Geraden (im IR2 oder im IR3): Das gemeinsame Lot
l steht senkrecht sowohl auf g1 als auch auf g2: für die
Richtungsvektoren von Lot und Geraden gilt somit:
l⋅v =0
l⋅
und
w =0 .
Aus der Skizze erkennt man:
r1λ v l = r2µ w
 für
bestimmte Werte von λ, µ.
l
r1
0
w
v
r2
≈-1,5⋅
Mit l = r2− r1µ w
 −λ v hat das LGS l⋅v =0 und l⋅
w =0 für λ, µ genau
eine Lösung, wenn die Geraden nicht parallel aber windschief sind (also v und
w
 linear unabhängig sind) und unendlich viele Lösungen, wenn die Geraden auch
im IR3 parallel sind.
3
Ebene im IR : Nebenstehende Darstellung aus
Wikipedia
für
Man erkennt deutlich die Schnitte mit den
„Koordinatenflächen“ x=0 bzw. y=0 . Das blaue
Gitter soll ein affines Koordinatensytem in der
Ebene andeuten (alle ganzzahligen Vielfachen von
u 3⋅v der
u und v . So ist z.B. rq= r02⋅

Ortsvektor von Q∈E .
(http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterdarstellung)
Punkt und 2 Richtungen:
(Vektor-Parameterform, konstruktiv))
0P1 λ⋅a μ⋅
b für λ,µ∈IR ,
E: x =

wenn 
a , b linear unabh.
3-Punkte-Form:
0P1 λ⋅ 
0P2 −
0P 1  μ⋅ 
0P 3−
0P1 
E: x =
für λ,µ∈IR , wenn P1,P2,P3 nicht auf einer Geraden liegen.
Normalform: (Skalar- oder Koordinatenform, analytisch) "E" ist Lösungsmenge der Gleichung:
n⋅ x −
0P1  =0
0P1 ein Punkt von E ist.
wenn n ein zur Ebene orthogonaler Vektor und 
no⋅ x−
0P1  =0
Hessesche Normalform : "E" ist Lösungsmenge der Gleichung: 
0P1 ein Punkt von E ist.
wenn 
no ein zur Ebene orthogonaler Einheitsvektor und 
o 

n ⋅0P1 = Abstand des Ursprungs zur Ebene; >0, wenn 0 und 
no auf einer Seite der Ebene liegen.

no ist aus den anderen Formen leicht als Vektorprodukt der beiden Ebenenrichtungen 
a , b
a ×b

3
2
no =
berechenbar : 
. Dies ist nur im IR (und durch Ergänzung von z=0 im IR ) so einfach.
∣
a ×b∣
Hinweis: Alle Formen sind leicht ineinander umrechenbar (üben)!
Die Normalformen sind Implizite Koordinatengleichung: Ein von den Koordinaten (x, y, ...) abhängiger
Rechenausdruck wird gleich 0 gesetzt. Beispiel (Gerade der Zeichenebene): 2x - 3y + 7 = 0
Explizite Koordinatengleichung: Eine der Koordinaten wird durch die anderen ausgedrückt.
Beispiel (Ebene im Raum): z = 2x -5y + 3
(Anm.: mehr Nach- als Vorteile !)
Hyperebene : Verallgemeinerung. Ein affiner Unterraum der Dimension (n-1) im n-dimensionalen
Raum. Hat genau einen orthogonalen Einheitsvektor (und die Gegenrichtung
0P1 λ1⋅
a1 λ2⋅
a 2... λn−1⋅
a n−1
x =
natürlich) : H :
¿
3
2
Normalform und Hessesche Normalform wie bei Ebene im IR und Gerade im IR
0P1  =0 !
H : n⋅ x −
3
2
Abstand Punkt zu Hyperebene: (gilt also auch für Ebene im IR und Gerade im IR )
P0 beliebiger Punkt, P1 Punkt der Hyperebene mit Normaleneinheitsvektor: 
no :
d =∣
n o⋅ 
0P 0−
0P1 ∣
3
Ebenenschnitt im IR : Ebenen können
n1
⋅
n2
⋅⋅
a) parallel sein (linear abhängige Normalenvektoren)
⇒ E1∩E2=∅ oder:
b) identisch sein (parallel mit einem gemeinsamen
Punkt)
⇒ E1∩E2=E1=E2
c) sich in einer Geraden schneiden (nicht parallele
Ebenen)
Bei c) ist E1∩E2=g .
Rechenweg 1: Richtungsvektor n von g orthogonal zu
n1 , 
n 2 der Ebenen : z.B.
beiden Normalenvektoren 
n1 ×
n 2 . Wenn dann noch ein gemeinsamer Punkt
n=
von E1, E2 bekannt ist, ist die Normalform anwendbar (vergl. Papula S. 125).
Rechenweg 2 : Gleichsetzen der beiden parametrischen Ebenenformulierungen:
x =
0P1 λ1⋅
a 1 μ 1⋅b1 =
0P2 λ 2⋅
a 2  μ2⋅
b 2 für bestimmte λ1,µ1,λ2,µ2∈IR .
Dieses LGS für λ1,µ1,λ2,µ2 hat genau den Rang 3 (genau drei linear unabhängige
Gleichungen) , eine der Variablen (z.B. λ1) bestimmt also alle drei anderen und
0P3 λ1⋅
a3
damit hat x eine Darstellung als Gerade : z.B. x =
Schnittwinkel sich schneidender Ebenen : ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren!


Gerade schneidet Ebene: am besten g in Parameterform g: x = 0P1 + λ ⋅ a ,
0P1  =0 .
E in Normalform E: n⋅ x −
n
Einfach die Formel für x in die NF einsetzen, LGS
für λ lösen!
g
Lös. in x einsetzen ergibt Durchstoßpunkt.
⋅
r F ) des Lotes von einem Punkte P2 ( r2 ) auf eine Ebene E : 
n⋅r – d =0
Fußpunkt F ( 
d
−
n
⋅
r



2
rF = 

r F =r2
⋅
n
2
∣n∣
der zweite Term steht für das Lot (von P2 in Richtung F orientiert, vergleiche den
Zähler mit dem Punkt-Ebenenabstand).
Spiegelpunkt P2' eines Punktes P2 an einer Ebene: verdopple obiges Lot !