Übungen zur Physik II PHY 121, FS 2017

Übungen zur Physik II PHY 121, FS 2017
Abgabe: Dienstag, 25. April 1200
Serie 7
Kennlinie = characteristic (curve, line)
Strom = (electric) current
Der Widerstand = the resistor
Knotenregel = current law
Halbleiter = semiconductor
Driftgeschwindigkeit = drift speed/velocity
Spannung = voltage
Stromstärke = current, amperage
Widerstand(-wert) = resistance (value)
Maschenregel = voltage law
Isolator = insulator
Leitfähigkeit = conductivity
Allgemeine Fragen
1. Was besagt das Ohm’sche Gesetz und für welche Materialien gilt es nicht? Zeichne die Kennlinie V (I) für
einen Ohm’schen und für einen nicht Ohm’schen Widerstand.
Antwort:
Georg Simon Ohm fand für viele Leiter einen linearen Zusammenhang zwischen Strom I und Spannung
V : I ∝ V oder als Ohm’sches Gesetz
V = R · I.
(0.1)
Das Ohm’sche Gesetz ist zwar gut erfüllt für Metalle und Elektrolyte bei konstanter Temperatur, jedoch in
den meisten Fällen stellt es nur einen, wenn auch bedeutenden, Spezialfall dar und gilt nicht für Elemente
mit nichtlinearer Strom-Spannungs-Kennlinie. Diese Kennlinie stellt den Zusammenhang zwischen der
Spannung als Ursache für den Ladungstransport und der Stromstärke als Wirkung dar und ist in Abbildung
1 für einige elektronische Elemente dargestellt. Dabei folgen nur die ersten zwei Kennlinien dem Ohm’schen
Gesetz.
Abbildung 1: Kennlinien verschiedener elektronischer Bauteile (aus Wikipedia).
2. Vergleiche die Definition der elektrischen Stromstärke I und der Stromdichte j~e mit den entsprechenden
Definitionen aus der Hydrodynamik.
Antwort:
Die Definition der Stromstärke und der Stromdichte lautet:
Z
dQ
~
I=
=
j~e · dA.
dt
A
(0.2)
Der elektrische Strom kann als bewegte Ladung gesehen werden. Im Vergleich zum Teilchenstrom:
Z
dN
~
=
j~T · dA.
(0.3)
dt
A
1
3. Was besagt das Kirchhoff’sche Gesetz und wie wird es angewendet?
Antwort:
Knotenpunktsatz (Knotenregel) In einem Knotenpunkt eines elektrischen Netzwerkes ist die Summe
der zufliessenden Ströme gleich der Summe der abfliessenden Ströme. Es herrscht also Ladungserhaltung
in einem Knoten.
n
X
Ik = 0.
(0.4)
k=1
Abbildung 2: Knotenregel: die Summe der
Ströme I1 bis I6 ergibt 0 (Achtung, Vorzeichen beachten).
Maschensatz (Maschenregel) Alle Teilspannungen eines Umlaufs bzw. einer Masche in einem elektrischen Netzwerk addieren sich zu null. Wir haben also Energieerhaltung.
n
X
Vk = 0.
(0.5)
Abbildung 3: Maschenregel: die Summe der
Spannungen V0 bis V5 ergibt 0 (Achtung,
Vorzeichen beachten). Die Maschenrichtung
sollte immer miteingezeichnet werden, damit
die Vorzeichen der Spannungen richtig gewählt werden. Dabei ist es egal, in welche
Richtung die Maschen aufaddiert werden.
k=1
4. Versuche mikroskopisch zu erklären, wie Joule’sche Wärme zustande kommt.
Antwort:
Freie Ladungen im Leiter werden beschleunigt, wenn eine Spannung angelegt wird. In einem vereinfachten
Bild betrachtet bewegt sich die Ladungen gegen eine Reibungskraft, welche proportional zu ihrer Geschwindigkeit ist. Sie stossen dabei gegen andere Ladungen und gegen Atomrümpfe (Random Walk) und
werden gebremst, was als Reibungskraft gesehen werden kann. Dabei wird kinetische Energie übertragen,
die Joule’sche Wärme. Sie ist sozusagen der Verlust an kinetischer Energie der Elektronen, welche mittels
Energieerhaltung berechnet werden kann:
1
2
QJ = q · V − mq vD
.
2
2
(0.6)
5. Wie gross ist die Joule’sche Wärmeleistung in einem gegebenen Widerstand R, ausgedrückt nur in Funktion des Stromes, bzw. nur in Funktion der Spannung?
Antwort:
P = V · I = I 2R =
V2
R
(0.7)
6. Was passiert mit den freien Elektronen in einem Leiter wenn eine Spannung angelegt wird? Wieso werden
die Ladungsträger im elektrischen Feld nicht auf beliebig hohe Geschwindigkeiten beschleunigt?
Antwort:
Auf freie Elektronen in einem Leiter wirkt, wenn eine Spannung angelegt wird, eine Kraft und damit eine
Beschleunigung:
~
−e∇V
.
(0.8)
~a =
me
Die Geschwindigkeit der Elektronen ist durch die Spannung begrenzt, was mittels Energieerhaltungssatz
leicht nachvollziehbar ist:
r
2eV
.
(0.9)
v=
me
Zusätzlich werden die Elektronen durch den Widerstand gebremst. Ähnlich wie bei der Reibungskraft, ist
die Kraft des Widerstandes proportional zur Geschwindigkeit. Im Gleichgewicht der Kräfte bewegen sich
die Elektronen mit der Driftgeschwindigkeit vD ' O(mm/s).
7. Diskutiere die Leitfähigkeit und ihre Temperaturabhängigkeit von Metallen, Halbleitern, Isolatoren und
Supraleitern.
Antwort:
- Metalle gehören zur Gruppe der Kaltleiter. Ihr Widerstand erhöht sich bei hohen Temperaturen.
- Die elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern ist auch stark temperaturabhängig. In der Nähe des absoluten Temperaturnullpunkts sind Halbleiter Isolatoren. Die elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern nimmt
mit steigender Temperatur zu, sie gehören damit zu den Heissleitern.
-Isolatoren leiten im Allgemeinen nicht. Erst bei sehr hohen Temperaturen ist der Widerstand gering genug, damit Strom fliessen kann.
- Supraleiter sind Materialien, deren elektrischer Widerstand beim Unterschreiten der sogenannten Sprungtemperatur auf Null abfällt. Sie gehören damit zu der Klasse der Kaltleiter. Hochtemperatur Supraleiter
haben eine Sprungtemperatur von bis zu 133 K (der momentane Rekordhalter bei 133 K und Normaldruck
wurde 1993 von Andreas Schilling et al. (http://dx.doi.org/10.1038/363056a0 ) entdeckt).
8. Vergleiche die Leitungsmechanismen in Metallen und die Ionenleitung in Flüssigkeiten. Wie unterscheiden
sie sich? Wie hängen die Leitfähigkeiten in beiden Fällen von der Temperatur ab?
Antwort:
In Metallen tragen die freien Elektronen zum Strom bei. Wie schon erwähnt, gehören Metalle zu den Kaltleitern. In Flüssigkeiten tragen alle geladenen Teilchen, auch die positiven, zur Leitfähigkeit bei. Dabei
tragen positive und negative Ladungen im Allgemeinen unterschiedlich zur Leitfähigkeit bei (Grössenunterschied der Ionen). In Gasen, Lösungen und Elektrolyten ist der Widerstand stark temperaturabhängig,
da dort die Beweglichkeit der Ionen und die Anzahl der Ladungsträger mit steigender Temperatur stark
zunimmt. In der Regel steigt die Ladungsträgerbeweglichkeit wegen der Abnahme der Viskosität des
Lösungsmittels mit der Temperatur (Leitfähigkeit ist proportional zur Ladungsbeweglichkeit). Der Widerstand wird kleiner weil die thermische Energie der Ionen bei steigender Temperatur zunimmt und es
weniger zusätzliche Energie braucht um die Ionen räumlich zu trennen.
3
Aufgaben
1 Ladung der Erde [1P]
Die Erde ist bei wolkenlosem Himmel nahe ihrer Oberfläche von einem elektrischen Feld der Grösse E ≈ 150 V/m
umgeben, das an jedem Punkt nach innen zeigt (Durchschlagsfestigkeit von Luft ist 3 kV/mm). Bei Gewitter
entstehen aufgrund der Ladungstrennung in den Wolken höhere Felder bis 35 kV/m. Wie gross ist die gesamte
Ladung auf der Erde bei wolkenlosem Himmel und bei Gewitter (Annahme: es herrsche auf der ganzen Erde
blauer Himmel oder Gewitter)? Antwort als Formel und in Zahlen.
Lösung
Wir lösen die Aufgabe mit dem Satz von Gauß.
I
Z
Z
~ · dA
~=
~ ·E
~ dV 0 =
E
∇
S
V
V
P
Q
ρ
dV 0 =
ε0
ε0
(1.1)
mit S als geschlossene Kugelfläche. Diese Wahl führt aus Symmetriegründen einerseits dazu, dass das elektrische
~ verläuft und andererseits, dass
Feld senkrecht zur Kugelschale, aber antiparallel zum Flächenelementsvektor dA,
die Feldstärke konstant über S ist. Somit folgt:
I
2
−E · ε0 ·
dA = −E · ε0 · 4π · RErde
=Q
(1.2)
S
Das negative Vorzeichen kommt durch die Antiparallelität zustande. Mittels Einsetzen der Variablen (RErde =
60 3780 195 m) erhalten wir:
Qwolkenlos = −6.78 · 105 C,
QGewitter = −1.58 · 108 C.
Die Erde hat somit nahe der Oberfläche gemäss dieser Betrachtung eine negative Netto-Ladung.
Die Erde verfügt über einen gigantischen Vorrat an leicht beweglichen Elektronen. Dadurch wird jeder Ladungsunterschied unmittelbar ausgeglichen und ein elektrisches Aufladen der Erde, selbst bei Kontakt mit grösseren
Ladungsmengen, ist unmessbar klein. Die Erde kann daher stets als elektrisch neutral betrachtet werden.
2 Potentielle Energie im Plattenkondensator [2P]
Leiten Sie die potentielle Energie, die in einem mit Q0 geladenen Plattenkondensator gespeichert ist, als Funktion
von Q0 und der Kapazität C her. Berechnen Sie zuerst die notwendige Energie um eine kleine Ladung dQ vom
einen Pol zum anderen “hinaufzustossen”. Setzen Sie dabei das elektrische Feld E in Funktion der Gesamtladung
Q ein. Integrieren Sie dann das Resultat von Q = 0 bis Q = Q0 .
Lösung
Das elektrische Feld eines Plattenkondensators ist E = Vd , wobei V die Spannung und d der Abstand zwischen
den beiden Platten ist. Laut Definition gilt für die Kapazität eines Plattenkondensators C = VQ . Dies ergibt für
das elektrische Feld und die Kraft auf eine Testladung q:
E=
Q
C ·d
(2.1)
q·Q
.
(2.2)
C ·d
Da nun aber die Testladung q genau die Ladung ist, die von einer Platte zur anderen geschoben wird, gilt
q ≡ dQ. Für die Arbeit wissen wir, dass dW = F~ · d~s gilt. Der zurückgelegte Weg der Ladung ist der Abstand
d zwischen den beiden Kondensatorplatten. Also ist
F =q·E =
Wq=dQ = F · d =
4
Q
· dQ.
C
(2.3)
Dies ist aber erst die gespeicherte Energie für EINE Teilladung dQ. Wollen wir die gesamte Ladung berücksichtigen, müssen wir die Arbeit noch über die gesamte Ladung integrieren und erhalten wie erwartet:
Z Q0
1 Q2
Q
· dQ = · 0 .
(2.4)
Epot = W =
C
2 C
0
3 Batterie [2P]
(a) [1P] Wie lange brauchen die Elektronen, um von einer Autobatterie zum Motoranlasser zu kommen und
welcher Elektronen-Driftgeschwindigkeit entspricht dies? Wir nehmen an, dass der Anlasserstrom I =
300 A beträgt und die Elektronen durch eine Kupferleitung (Dichte ρCu = 8.9 g/cm3 , Molmasse MCu
= 63.54 g/mol, spez. Widerstand ρspez = 1.6 · 10−8 Ωm) mit Querschnitt A = 0.21 cm2 und Länge
x = 0.85 m fliessen. Weiter nehmen wir an, dass jedes Kupferatom ein freies Elektron besitzt, das zur
elektrischen Leitung beiträgt.
(b) [1P] Wie gross ist der Betrag der Feldstärke E entlang des Drahtes? Wieviel Energie wird innerhalb eines
Startvorganges von t = 5 s Dauer in thermische Energie Etherm umgewandelt?
Lösung
(a) Wir verwenden die Formel 0.2 um einen Ausdruck für die Zeit zu bekommen, welche die Elektronen
brauchen:
dQ
.
(3.1)
I=
dt
Daraus folgt:
Q
n·e·x·A
t=
=
.
(3.2)
I
I
Wobei n die Ladungsträgerdichte ist. Mit der Annahme, dass jedes Kupferatom ein freies Elektron besitzt,
wird die Ladungsträgerdichte wie folgt berechnet:
ρCu
· NA .
(3.3)
n=
MCu
Eingesetzt in Formel 3.2 ergibt sich:
t=
ρCu · NA · e · x · A
n·e·x·A
=
= 804 s.
I
MCu I
(3.4)
Ein Elektron braucht also über 13 Minuten um von einem Ende des Kabels zum anderen Ende zu gelangen.
Natürlich braucht der Einschaltvorgang nicht so lange (siehe auch allgemeine Frage 6.).
Die Driftgeschwindigkeit ergibt sich zu:
x
≈ 1 mm/s,
t
was mit der Angabe in den allgemeinen Fragen übereinstimmt.
vD =
(b) Das elektrische Feld kann aus dem Gradienten des Potentials bestimmt werden
~ = −∇V
~ = −∇(RI)
~
~ ρspez x I .
E
= −∇
A
Daraus lässt sich der Betrag des elektrischen Feldes bestimmen:
ρspez I
= 0.23 V/m.
A
Die Energie kann aus der Leistung während den 5 s bestimmt werden:
ρspez x
Etherm = P · t = I 2 R · t = I 2
· t = 291.5 J.
A
~ =
|E|
5
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
4 Der Akkumulator [2P]
Beim Entladen eines Akkus (wiederaufladbare Batterie) ist die Klemmspannung Vk kleiner als die Leerlaufspannung V0 , beim Aufladen muss sie grösser sein.
(a) [0.5P] Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild eines Akkumulators.
(b) [0.5P] Wie gross sind Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung V0 eines Akkus, der bei einer Stromentnahme von I1 = 1 A eine Klemmspannung Vk,1 = 5.8 V zeigt, bei I2 = 3 A noch Vk,2 = 5.2 V? Wie gross
ist in beiden Fällen der angeschlossene Lastwiderstand Ra und welcher Bruchteil der vom Akku abgegebenen
Leistung wird zu dessen Erwärmung verbraucht?
(c) [0.5P] Wie gross ist der Kurzschlussstrom Ik ?
(d) [0.5P] Wie gross muss der Widerstand Ra eines an den Akku angeschlossenen Gerätes sein, damit seine
aufgenommene Leistung maximal wird? Wie gross sind dann die Entladungsstromstärke I, die Klemmspannung
Vk und die vom Gerät aufgenommene Leistung Pa ?
Lösung
(a)
Abbildung 4: Akkumulator mit Leerlaufspannung V0 und Innenwiderstand Ri . Der angeschlossene Verbraucher
Ra ’sieht’ die Klemmspannung Vk = V0 − VRi und gehört nicht mehr zum Akkumulator.
(b) Man benutze die Kirchhoffschen Regeln und erhält:
V0 = Ri I1 + Vk,1
(4.1)
V0 = Ri I2 + Vk,2 .
(4.2)
Man erhält z.B. durch Einsetzen:
Vk,1 − Vk,2
= 0.3 Ω
I2 − I1
V0 = 6.1 V.
Ri =
(4.3)
(4.4)
Die Lastwiderstände errechnen sich zu:
Vk,1
= 5.8 Ω
I1
Vk,2
=
= 1.73 Ω.
I2
Ra,1 =
(4.5)
Ra,2
(4.6)
6
Der Akkumulator wird über die im Innenwiderstand dissipierte Leistung aufgeheizt:
Bei I1 = 1 A :
Bei I2 = 3 A :
PA,1
PA,1+a,1
=
1
Ri I1 2
= 4.9%
2 =
R
(Ri + Ra,1 )I1
1 + Ra,1
i
(4.7)
PA,2
1
= 14.8%.
=
R
PA,2+a,2
1 + Ra,2
i
(c) Bei einem Kurzschluss ist der Lastwiderstand 0 Ω. Somit ist der Kurzschlussstrom Ik =
(4.8)
V0
Ri
= 20.3 A.
(d) Die dissipierte Leistung im Lastwiderstand ist Pa = Ra I 2 mit I = V0 /(Ri + Ra ). Also:
Ra V02
(Ri + Ra )2
dPa
Ri − Ra !
⇒
= V0 2
=0
dRa
(Ri + Ra )3
⇒Ra = Ri .
Pa =
(4.9)
(4.10)
(4.11)
Wird der Lastwiderstand gleich gewählt wie der Innenwiderstand (Ri = Ra ), nennt man dies Leistungsanpassung. Andere Anpassungen sind die Spannungsanpassung (Ri Ra ) und die Stromanpassung (Ri Ra ).
Wir erhalten:
Entladestromstärke
Klemmspannung
Leistung
I = V0 /(2Ri ) = 10.2 A,
1
Vk = V0 = 3.05 V,
2
Pa = V0 2 /(4Ri ) = 31.0 W.
(4.12)
(4.13)
(4.14)
5 Motoren [1P]
Betrachte zwei identische Elektromotoren, die in ein Elektroauto für den Antrieb der Vorderräder eingebaut
werden sollen. Die beiden Motoren sind mechanisch in Serie geschaltet (beide Motoren greifen auf die gleiche
Achse). Wie können sie elektrisch beschaltet werden, um möglichst viele verschiedene Antriebsleistungen zu
erhalten? Welche elektrische Gesamtleistung wird bei den unterschiedlichen Beschaltungen verbraucht (wir vernachlässigen jegliche mechanische Verluste sowie den Innenwiderstand der Batterie)? Berechne die Verhältnisse
zwischen den einzelnen Leistungsschritten. Der ohmsche Widerstand eines Motors sei RM .
Lösung
Die beiden Motoren können in vier verschiedene Schaltungen beschaltet werden:
- kein Motor angeschlossen: kein Antrieb (Leerlauf), P0 = 0
- Serieschaltung der Motoren: Leistung P1
- nur ein Motor angeschlossen: Leistung P2
- Parallelschaltung der Motoren: Leistung P3
Die entsprechende Leistungen berechnen sich wie folgt:
V2
2RM
V2
P2 =
RM
V2
P3 = 1
.
2 RM
P1 =
7
(5.1)
(5.2)
(5.3)
Die Verhältnisse sind dann:
P2 : P1 = 2
(5.4)
P3 : P2 = 2.
(5.5)
Die Umschaltung von Serienschaltung zu Einzelantrieb zu Parallelschaltung ergibt jeweils eine Leistungssteigerung um den Faktor 2.
Früher wurde bei elektrischen Gleichstromtrams die Leistung der beiden Fahrmotoren unter anderem dadurch
reguliert, indem man die Motoren entweder parallel oder in Serie an die Fahrspannung schalten konnte.
6 Taschenlampe [1P]
Eine Taschenlampe wird von einer Batterie betrieben. Nach einiger Zeit zeigt die Batterie Verbrauchserscheinungen, und die ursprüngliche Spannung ist um 20% abgefallen. Wie stark werden Strom und Leistung in der
Lampe reduziert (Annahme: Widerstand der Lampe = konstant).
Lösung
Die Spannung V ist um 20% kleiner als V0 :
V0 = I0 R ⇒ 0.8 · V0 = IR ⇒ I = 0.8 · I0 .
(6.1)
P0 = V0 I0 ⇒ P = 0.8 · V0 · 0.8 · I0 = 0.64 P0 .
(6.2)
Der Strom fällt also auch um 20% ab, während die Leistung um 36% abfällt.
7 Widerstand I [3P]
Jeder in der nachfolgenden Schaltung gezeichnete Widerstand hat 1 Ω. Ein Strom von 1 A fliesst durch den
letzten Widerstand in der Widerstandskette.
(a) [1P] Wie gross ist die Spannung V an der Spannungsquelle?
(b) [1P] Wie gross ist der Ersatzwiderstand der Schaltung?
(c) [1P] Wie ändert sich der Ersatzwiderstand, wenn ein bzw. zwei weitere Widerstandselemente dazuaddiert
werden? Wie gross wäre der Ersatzwiderstand, wenn die Widerstandskette “unendlich” lang wird?
Bemerkung: Beachte Gesetzmässigkeiten (⇒ Folgen).
Lösung
(a) Betrachte ein Widerstandselement (siehe Bild) mit Eingansspannung Vn+1 :
8
Vn In
In-1
Vn-1
Für die Spannungsabfälle gilt nach der Maschenregel:
Vn+1 = Vn + Vn−1 , n > 0.
(7.1)
Analog gilt für die Ströme durch die einzelnen Widerstände, da R = 1 Ω immer gleich ist:
In+1 = In + In−1 , n > 0
(7.2)
mit I0 = 1 A und V0 = I0 R = 1 V. Die Folgen Vn und In nehmen also die Werte der Fibonacci-Folge an:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Die Spannung an der Spannungsquelle ergibt sich demnach aus V = V7 + V6 = V8 = 34 V.
(b) Der Strom I, den die Quelle liefert, ist gleich dem Strom durch Widerstand R7 , somit ist der Ersatzwiderstand für die gesamte Schaltung:
RG = V /I = V8 /I7 = 1.619 Ω.
(7.3)
(c) Fügt man einen zusätzlichen Widerstand R0−1 hinzu, hat man eine Parallelschaltung aus RG und R0−1
und der neue Ersatzwiderstand ist:
−1
1
1
RG,+1 =
+
= 0.63 Ω.
(7.4)
RG
R0−1
Fügt man noch einen weiteren Widerstand R0−2 dazu, bekommt man analog zu (b):
RG,+2 = V0 /I0−2 = 1.6182 Ω.
(7.5)
Allgemeiner: das (n + 1)te Glied dividiert durch das nte Glied einer Fibonacci-Folge ist im Limes für
unendlich grosse n gleich dem goldenen Schnitt. Somit gilt für eine gerade Anzahl Widerstände:
√
Vn+1
1+ 5
Ω.
(7.6)
RG,∞ = lim
=
n→∞ In
2
√
Für eine ungerade Anzahl Widerstände wird das Ergebnis von RG,∞ gerade zum Kehrwert 2/(1 + 5) Ω.
10. April 2017
9