p Zusammenfassung IC Il Corso Comune I. Geometrische Flächen 1

Zusammenfassung IC
Il Corso Comune
I. Geometrische Flächen
1. Das Dreieck
• Das Schönste, seit es zweidimensionale Flächen gibt!
In jedem Dreieck
– ergeben die Winkel zusammen 180◦
– schneiden sich die Seitenhalbierenden, Winkelhalbierenden und Höhen (auch Transversalen genannt) jeweils in einem
Punkt
– ist der Flächeninhalt A∆ =
1
2
· c · hc (analog für a und b).
B
a
c
C
b
A
• Mit Hilfe von Koordinaten können wir das für beliebige Dreiecke im Raum berechnen!
1. Die Winkel ergeben sich aus der Winkelberechnung zwischen den Vektoren, die die jeweiligen Punkte verbinden
2. Für die Seitenhalbierenden können Geradengleichungen angeben, indem wir den Ortsvektor zu dem Mittelpunkt einer
Strecke berechnen und dann als Richtungsvektor den Vektor zwischen diesem Punkt und dem gegenüberliegenden Punkt
des Dreiecks nehmen.
3. Die Länge der Höhe ist nichts anderes als der Abstand Punkt-Gerade: Eine Dreiecksseite als Gerade angeben und den
Abstand zu dem Punkt des Dreiecks, der nicht auf dieser Geraden liegt nach Schema F berechnen (Hilfsebene und so,
siehe IB, S.5 oben. Achtung: Schreibfehler in der Überschrift!).
4. Mit der Höhe und dem Abstand zwischen den zwei Punkten des Dreiecks ( Grundseite“), können wir dann den Flä”
cheninhalt angeben. Für den Flächeninhalt im allgemeinen Dreieck gibt es aber auch schnellere Methoden:
(a)
Habe ich zwei Seiten (z.B. |a| und |b|) und den eingeschlossenen Winkel (hier
also γ), kann ich den Sinussatz anwenden:
A∆ =
Das gilt, weil ha = |b| · sinγ = |b| ·
1
· |a| · |b| · sinγ
2
ha
|
b|
= ha .
B
c
D
ha
a
A
gamma
b
1
C
(b)
Eine weitere Möglichkeit ist, das
A∆ als die halbe Fläche eines
Parallelogramms zu interpretieren (siehe nächste Seite).
– sind alle Seiten gleich lang
– gibt es einen rechten Winkel
– sind zwei Seiten gleich lang
– alle Winkel gleich groß
– die Transversalen und deren Schnittpunkte identisch
– drei Transversalen identisch (und die drei Schnittpunkte auf einer Linie)
– der Flächeninhalt gaaanz einfach zu
berechen:
Eine Seitenlänge |a| ausrechnen
(sind ja alle gleich). Die Höhe ist
dannmit Pythagoras
√
2
h = |a|2 − |a| = 3 · |a|
4
– gilt der Satz des Pythagoras (könnt
ihr, nech?)
– zwei Winkel gleich groß
– gilt der Höhensatz (können wir noch
machen)
– gilt der Thalessatz
– der Flächeninhalt auch
gaaanz einfach zu berechen
(könnt ihr auch selber).
2
– der Flächeninhalt ist noch viel viel
einfacher (einfach ein halbes Rechteck)
B
B
E
B
c
c
F
c
a
D
A
E
C
A
b
A
a
D
F
C
b
a
D
C
b
2. Das Parallelogramm
• Das zweitschönste seit es zweidimensionale Flächen gibt!
In jedem Parallelogramm
– sind die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang (jedes Quadrat, jedes Rechteck und jede Raute ist also ein
Parallelogramm und jedes Parallelogramm ist auch ein Trapez!)
– sind die gegenüberliegenden Winkel gleich groß
– schneiden sich die Diagonalen genau auf der Hälfte
– ergeben die Winkel zusammen (wie in allen Vierecken) 360◦
– ist der Flächeninhalt A♦ = c · h (analog für die anderen Seiten).
D
C
b h
A
c
B
E
• Wie beim Dreieck geht das auch hier alles im Raum.
1. Winkel(-Summe), Seitenlängen und Geradengleichungen für die Diagonalen könnt ihr.
2. Mit dem Flächeninhalt ist es folgendermaßen: Klar können wir wieder (mit Abstand Punkt-Gerade) die Höhe ausrechenen, aber es geht schneller und zwar so
2
A♦ = a2 · b − (a · b)2
2
=
=
|a|2 · |b|2 · sin2 γ
|a|2 · |b|2 · (1 − cos2 γ)
|a|2 · |b|2 − |a|2 · |b|2 · cos2 γ
2
= a2 · b − (a · b)2
=
Benutzt haben wir sinγ =
h
|
b|
und die Kosinusformel a · b = |a| · |b| · cosγ.
Gleichzeitig haben wir damit eine dritte und sehr einfache Möglichkeit A∆ auszurechnen:
2
1
A∆ = · a2 · b − (a · b)2
für das ∆(ABC)
2
Warum? Jedes Parallelogramm enthält zwei kongruente Dreiecke.
3. Das Trapez
• Das (höchstens) drittschönste zweidimensionale Flächen.
In jedem Trapez
– sind zwei gegenüberliegende Seiten parallel
– gilt, dass die Seite, die genau auf der Hälfte zwischen den beiden parallelen Seiten liegt, die Länge
|CD|
C
|CD|+|AB|
2
hat.
D
h
Die Hälfte von |CD|+|AB|
B
|AB|
E
A
Der Flächeninhalt von dem Ding brechnet sich dann:
A = |EC| ·
|CD| + |AB|
2
oder vektoriell:
−−→
−−→
−−→ |CD| + |AB|
A = |EC| ·
2
Warum? Man klappe das Trapez entlang der Strecke auf halber Höhe zusammen. Wenn man anschließend die kleinen Dreiecke an
und die Breite |EC|
den Seiten einklappt erhalten wir ein Rechteck! Dieses Rechteck hat die Grundseite |CD|+|AB|
2
2 . Um daraus den
Flächeninhalt für unser Trapez zu berechnen müssen wir den Flächinhalt des Rechtecks nur doppelt nehmen. Also
A = 2 ·
|EC| |CD| + |AB|
·
2
2
Das ergibt aber - durch kürzen mit 2 - gerade die obige Formel.
Wie komme ich auf die Höhe, also in unserem Fall die Strecke |EC|?
|EC| is doch auch gleichzeitig die Höhe im ∆ACB. Kenne ich also die Seite |AC| und den Winkel bei A (nennen wir einfach α),
ergibt sich:
|EC|
sinα =
und umgestellt: |EC| = |AC| · sinα
|AC|
3
Jedes Prisma besteht aus
Jede Pyramide besteht aus
• einer Grund- und Deckelfläche, die beide kongruent und
parallel sind.
Sonderform: Kreis als Grundfläche → Zylinder.
• einer Grundfläche, meistens Drei- oder Vierecke.
Sonderform: Kreis als Grundfläche → Kegel.
• einer Spitze und einer Mantelfläche.
Die ist entweder in Einzelflächen (Dreiecke) unterteilt,
oder - beim Kegel - eine ganze Fläche.
• einer Mantelfläche drumrum.
Die ist entweder in Einzelflächen (Parallelogramme) unterteilt, oder - beim Zylinder - eine ganze Fläche (ein
großes Rechteck).
Das Volumen berechnet sich aus Ein Drittel mal Grundfläche
”
mal Höhe“.
Das Volumen berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe“.
”
Die Höhe ist dabei als Abstand Punkt-Ebene anzusehen.
Die Oberfläche aus Grundfläche plus Mantelfläche“.
”
Die Oberfläche aus Zweimal Grundfläche plus Mantelfläche“.
”
E
Deckelfläche
Höhe
E
Höhe
D
B
D
B
Grundfläche
Grundfläche
A
A
C
C
4