1. Zahlenbereiche - Fakultät für Mathematik

Universität Regensburg
Naturwissenschaftliche Fakultät I – Didaktik der Mathematik
Dr. Günter Rothmeier
WS 2008/09
51 722 Elementarmathematik (LH)
1.
Private Vorlesungsaufzeichnungen
Kein Anspruch auf Vollständigkeit
und Fehlerfreiheit
Zahlenbereiche
1.3.1. Die rationalen Zahlen
1.3.2. Definition
Die Definition der rationalen Zahlen erfolgt hier innermathematisch ebenfalls wie diejenige der ganzen Zahlen über eine Äquivalenzklasse.
Wir betrachten die Menge IN × IN aller Paare natürlicher Zahlen und definieren folgende
Äquivalenzrelation:
(a, b) ~ (c, d) falls a ⋅ d = c ⋅ b
mit a, b, c, d ∈ IN
2 4
=
3 6
Die Zahlenpaare (2; 6) und (3, 4) definieren also die Eigenschaft einer Äquivalenzklasse. Alle Zah2
lenpaare mit dieser Eigenschaft legen eine Äquivalenzklasse fest, hier die Zahl .
3
(2, 6) ~ (3, 4) da 2 ⋅ 6 = 4 ⋅ 3
⇔
2
4 6 8
={ ; ;
; . . .}
3
6 9 12
Auf diese Weise erhalten wir beliebig viele neue Zahlen. Wir bezeichnen sie als rationale Zahlen
und schreiben Q
I .
2
4 6 8
heißt Bruchzahl, ; ;
; . . . sind Brüche.
3
6 9 12
Im Bereich der Schulmathematik wird die Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung meist mit
der Nichtabgeschlossenheit der Division in IN begründet.
5
8
Ein Bruch ist also eine Schreibfigur, d. h. eine andere Darstellung eines Quotienten.
Beispiel: 5 : 8 =
1.3.3.
Arten von Brüchen
a)
Stammbruch:
Bruch mit dem Zähler 1
b)
abgeleiteter Bruch:
alle Nichtstammbrüche
c)
echter Bruch:
d)
unechter Bruch:
e)
Scheinbruch:
f)
g)
h)
endlicher Bruch
reinperiodische Bruch
gemischtperiodischer Bruch
i)
Kehrbruch:
Es gilt
b a
⋅
= 1.
a b
a
mit a < b
b
a
mit a > b
b
a
mit b = n ⋅ a
b
b
a
heißt Kehrbruch von .
a
b
a, b ∈ IN
1
;
2
2
;
3
1
;...
3
4
;...
6
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Kein Anspruch auf Vollständigkeit
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Fachsprachliche Anmerkungen zu Q
I
1.3.4.
1.3.5.
und Fehlerfreiheit
Kulturhistorische Anmerkungen
Brüche bei den Ägyptern
Die Ägypter verwendeten für die Stufenzahlen besondere Zeichen.
1
10
100
Mit diesen Zeichen und
mit Hilfe der Hieroglyphe
"Mund" stellten sie Brüche
dar.
Reichte der Platz unter dem Zeichen "Mund" nicht aus, so wurden
die restlichen Zeichen daneben geschrieben.
Die Ägypter kannten nur Stammbrüche.
7
zerlegten sie deshalb in die Stammbrüche
12
1
und
und schrieben
.
3
1
4
7
1
1
=
+
12
4
3
Brüche im Mittelalter
Im 16. Jahrhundert suchte man die
Mathematik durch die Einführung von
Symbolen zu vereinfachen. Man hatte
erkannt, dass die Beschreibung mathematischer Sachverhalte durch Worte sehr schwerfällig war und den Fortschritt der Mathematik behinderte.
Aus dem Rechenbuch von Adam Riese
So festigte sich in dieser Zeit erst die Verwendung des Bruchsymbols mit Bruchstrich, Zähler und
Nenner.
1.3.6.
a)
Rechnen in Q
I
Kürzen
c)
a⋅n
a
(a*, b* ∈ IN) in der Form
= (a, b, n ∈ IN), so nennen wir
b⋅n
b
b*
diese Umwandlung „Kürzen“. Der umgekehrte Vorgang heißt „erweitern“.
Addition und Subtraktion
Es gelten die Regeln der Addition und Subtraktion in ZZ in analoger Weise. Insbesondere
können alle rationalen Zahlen ebenfalls als Pfeile dargestellt werden.
Multiplikation in Q
I
ca)
Bruch mal ganze Zahl
Lässt sich ein Bruch
b)
a*
Wir veranschaulichen die Multiplikation
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
2
⋅ 4.
3
1
3
1
3
1
3
1
3
4
=
=
8
Man multipliziert den Zähler mit der ganzen Zahl und behält den Nenner bei.
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cb)
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Bruch mal Bruch
2
1 2
berechnen. Dies entspricht der Multiplikation
⋅ . Wir ver4
3 4
anschaulichen diese Multiplikation so:
Wir wollen ein Drittel von
2
von 12
4
1
von 12
3
2
2
1
von
=
4
12
3
1 2
1⋅ 2
2
⋅
=
=
3 4
3⋅4
12
Man multipliziert Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner und bildet den Bruch aus Zählerprodukt und Nennerprodukt.
d)
da)
Division
Bruch durch natürliche Zahl
9
:3.
5
Bei der Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl sind zwei Fälle zu unterscheiden.
Wir veranschaulichen die Division
1. Der Divisor ist Teiler des Zählers
1
5
1
5
Man dividiert den Zähler durch die Zahl und behält
den Nenner bei.
9
3
2. Der Divisor ist kein Teiler des Zählers
Der Bruch muss so erweitert werden, dass der Divisor ein T5
eiler des Zählers wird. Man5verwendet den Divisor als Erweiterungszahl.
27
27 ⋅ 5
135 : 5 27
:5=
=
:5 =
8 ⋅5
40
40
8
3
oder
=
27
27
:5 =
8
8 ⋅5
Man multipliziert den Nenner mit der Zahl und behält den Zähler bei.
db)
Bruch durch Bruch
Um den Wert des Quotienten der Brüche
genschaft
b a
⋅
= 1 des Kehrbruchs.
a b
Wir suchen eine Zahl x, für die gilt:
Wegen
2
5
und
zu bestimmen, verwenden wir die Ei3
7
b a
⋅
= 1 gilt auch:
a b
Multiplikation mit 1:
Vereinfacht können wir schreiben:
5
⋅x=1
⇔
7
5 7
=1
⋅
7 5
2 5 2
5
:
= ⋅1:
7
3 7 3
x=1:
x=
5
7
7
5
2 5
2 7
:
=
⋅
3 7
3 5
Statt durch einen Bruch zu dividieren, multipliziert man mit dem Kehrbruch. Gemischte Zahlen werden bei der Division in unechte Brüche umgewandelt.
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und Fehlerfreiheit
1.3.7. Übungsblatt: Rationale Zahlen
Aufagbe 1
1 Klassifizieren Sie folgende Brüche.
2
5
9
1
;
;
;
;
5
7
3
11
12
;
6
8
;
5
9
;
14
Aufgabe 2
2 „Die Periode eines Bruchs mit dem Nenner n kann höchstens n – 1 Stellen haben.“
Begründen Sie diesen Satz elementarmathematisch.
Aufgabe 3
3
Wann entsteht keine Periode. Stellen Sie zur Begründung den Dezimalbruch 0,24679 als summe von Brüchen mit Zehnerpotenzen als Nenner dar.
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Lösungen zu Übungsblatt 1.3
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Rationale Zahlen
Zu Aufgabe 1
2
= 0, 6
3
echter Bruch
rein per.
5
= 0, 45
11
echter Bruch
rein per.
9
= 1, 285714
7
unechter Bruch
rein per.
12
;
6
Scheinruch
8
;
5
unechter Bruch
endlich
9
;
14
unechter Bruch
gemischt per.
1
= 0,2
5
echter Bruch
endlich
Zu Aufgabe 2
Es bleiben für die Zahl ∈ IN die Reste 1, 2, 3, 4 bis „Nenner minus 1“.
Zu Aufgabe 3
Die Zahl 0,24679 kann man in Brüchen so schreiben:
2
4
6
7
9
+
+
+
+
0,24679 =
10 100 1000 10 000 100 000
Alle Brüche, deren Nenner eine Potenz von 10 (1, 10, 100, 1000, ...) sind, haben keine Periode.
Folgerung:
Nur Brüche, deren Nenner (im vollständig gekürzten Zustand) keine anderen Primfaktoren als Vielfache von 2 und/oder 5 besitzen, ergeben einen nichtperiodischen
Dezimalbruch, der eine endliche Zahl an Kommastellen besitzt.