Vorbereitung e/m Bestimmung

Vorbereitung e/m Bestimmung
Marc Ganzhorn
In diesem Versuch soll das Verhalten von Elektronen in Magnet und elektrischen
Feldern beobachtet werden. Ziel ist es die spezifische Ladung des Elektrons mit zwei
verschiedenen Methoden zu bestimmen.
I Grundlagen
¾ Elektronen erfahren in einem elektrischen Feld eine Beschleunigung proportional zu
ihrer Ladung:
ma = eE
Wird das Feld durch einen Kondensator erzeugt gilt folgende Beziehung:
U
ma = eE = e
d
wobei U die Spannung am Kondensator und d der Plattenabstand ist.
Für die kinetische Energie ergibt sich dann folgende Beziehung:
1 2
mv = eU
2
und folglich eine Formel für die Geschwindigkeit des Elektrons:
2eU
v=
(1)
m
¾ Werden nun bewegte Elektronen in ein Magnetfeld gesetzt erfahren sie wiederrum
eine Kraft. Diese Kraft ist die Lorentzkraft und verläuft senkrecht zur
Bewegungsrichtung und dem B-Feld. Allgemein gilt für die Lorentzkraft:
G
G G G
F = q( E + v × B)
In unserem Fall gibt es jedoch kein E-Feld. Daher gilt nun mit q=e:
G
G G
FL = e ⋅ v × B ⇔ FL = evB
da die Bewegungsrichtung senkrecht zum B-Feld verläuft.
Dadurch wird das Elektron in eine Kreisbahn gezwungen deren Radius und
Umlaufzeit man mit Hilfe der Zentrifugalkraft berechnen wiefolgt kann:
mv 2
mv
FL = FZ ⇔ evB =
⇔r=
(2)
r
eB
T=
2π r 2π m
=
v
eB
¾ Zur Messung von Magnetfeldern benutzt man eine Hallsonde. Diese besteht aus einem
dünnen, stromdurchflossenen Plättchen. Wird nun die Hallsonde in ein Magnetfeld
eingeführt erfahren die durch den Strom bewegten Elektronen eine Ablenkung durch
die Lorentzkraft. Dadurch entsteht eine Potentialdifferenz an beiden Enden der Platte,
die gemessen werden kann. Diese Potentialdifferenz wird Hallspannung genannt und
ist wiefolgt definiert:
IB
UH =
nde
wobei n die Ladungsträgerdichte und d die Dicke des Plättchens ist.
II Fadenstrahlrohr
1. Messung der Hallspannung der Spulenanordnung
Das Fadenstrahlrohr und ihre Helmholtzspulenanordnung befinden sich zur Sicherheit
hinter einer Plexiglasscheibe. Jedoch braucht man die Abhängigkeit des B-Feldes vom Strom
und Hallspannung für folgenden Versuche.
Daher wird eine identische Spulenanordnung ausserhalb des Kastens gebaut, an der
die Hallspannung in Abhängigkeit verschiedener Spulenströme an verschiedenen Stellen
zwischen den beiden Spulen (Mittenfeld) gemessen werden kann.
2. Eichung der Hallsonde
Durch die Eichung der Hallsonde erhält man eine Abhängigkeit der Magnetfeldstärke
von der Hallspannung. Hierzu wird eine langen Spule verwendet für die folgende Formel des
B- Feldes gilt:
N
B = μ r μ0 I
L
wobei N die Anzahl der Windungen und L die Länge der Spule ist.
Man soll nun bei verschiedenen Spulenströmen die Hallspannung messen. Über die obige
Formel folgt aus den Spulenströmen die Feldstärke die nun gegen die Hallspannung
aufgetragen werden kann. Die Geradensteigung liefert die Eichung der Hallsonde.
B = constU H
3. Homogenitätsbereich der Spule
Man vergleicht nun die in Aufgabe 1.1 gemessenen Magnetfeldstärken ( B = constU H )
mit den theoretischen Wert der aus folgender Formel folgt (unter Voraussetzung Spulenradius
= Spulenabstand = R):
I
B = 0, 7155 ⋅ μ0 n
(3)
R
Aus den Ergebnissen kann der Homogenitätsbereich bestimmt werden in dem im folgenden
gemessen wird.
4. Messung der Kreisbahnen im Fadenstrahlrohr
Dies ist nun der eigentliche Versuch. Die Elektronen werden durch die Anode im
Fadenstrahlrohr gebündelt und beschleunigt und durch die Spulenanordnung auf eine
Kreisbahn gezwungen. Der Durchmesser der Kreisbahn kann durch verschiedene Marker
parallaxenfrei auf einer Spiegelskala gemessen werden bei:
¾ Zwei festen Spulenströmen und ansteigenden Anodenspannungen
¾ Zwei festen Anodenspannungen bei verschiedenen Strömen
Setzt man Gleichung (1) in Gleichung (2) ein ergibt sich folgendes:
2mU
r2 =
eB 2
Bei konstanten Strömen gilt nach Gleichung (3) konstante Feldstärke und somit:
r 2 = const ⋅ U
Bei konstanter Anodenspannung gilt:
1
r 2 = const ⋅ 2
B
Aus beiden Darstellung kann aus der Geradensteigung die e/m Konstante bestimmt werden
III Methode von Busch
Bei dieser Methode wird eine Kathodenstrahlröhre benutzt.
Diese besteht aus einer Röhre die von einer Spule umgeben ist. In der Röhre werden
die Elektronen an der Kathode emittiert und durch eine Kondensatoranordnung fokussiert. Es
entsteht ein Elektronenstrahl der nun mit bestimmter Geschwindigkeit v parallel zur
Magnetfeldrichtung der Spule verläuft und somit auch keine Lorentzkraft erfährt.
Der Strahl wird wiederrum durch einen Kondensator geschickt. Dieser Kondensator
wird mit Wechselspannung betrieben. Das bedeutet das sich das elektrische Feld laufend
ändert und somit auch der Ablenkwinkel θ der Elektronen. Durch die Ablenkung ist das
Magnetfeld nicht mehr parallel zur Ausbreitungsrichtung und die Elektronen erfahren eine
Lorentzkraft die sie auf Kreisbahnen zwingt. Die Elektronen haben nun ein parallele
v p = v cos θ und senkrechte vs = v sin θ Geschwindigkeitskomponente zum Magnetfeld.
Durch Überlagerung der Kreisbewegung und Translationbewegung durch die Röhre entstehen
„Schraubenbahnen“.
Ist nun die Kreisumlaufzeit des Elektrons ein vielfaches der Laufzeit durch die Röhre
zum Schirm, treffen alle Elektronen dort in einem Punkt zusammen. Andernfalls kommen auf
dem Schirm andere Bilder zustande, bei ausgeschaltetem Magnetfeld sogar nur ein Strich.
Daraus kann dann eine Formel für den e/m Wert ermittelt werden:
Für die Kreisumlaufzeit gilt:
2π r 2π m
=
TK =
v
eB
Bei kleinen Winkeln θ ist v ≈ v p , dh für die Laufzeit durch die Röhre gilt:
l
l
l
= =
vp v
2e U
m
wobei U die Beschleunigungsspannung ist.
TL =
daraus folgt:
e 8π 2U
=
m B 2l 2
(4)
Vorbereitend auf den eigentlichen Versuch sollen nun die Fokuskondensatoren so
eingestellt werden das ein scharfes Bild auf dem Schirm entsteht.
Ferner soll der Spulenstrom variiert werden und die Veränderungen auf dem Schirm
beobachtet werden.
Gleichung (4) lässt sich dann umformen
e l2 2
U=
B
m 8π 2
Da es sich hier nicht um eine lange Spule handelt gilt für die Feldstärke:
⎞
μ nI ⎛
a
l−a
⎟
+
B= 0 ⎜
2l ⎜⎝ R 2 + a 2
R 2 + (l − a ) 2 ⎟⎠
wobei R der Radius der Spule und a der Abstand zu einem Spulenende ist.
Die Feldstärke kann dann an verschiedenen Stellen in der Spule gemessen werden und
gemittelt werden. Betrachtet man diesen Mittelwert so kann das Magnetfeld der Spule als
homogen betrachtet werden und es gilt analog zu 1.3 B = const ⋅ I für den ganzen
Innenbereich der Spule.
Für die Beschleunigungsspannung U gilt dann schlussendlich.
e l 2 μ0 2 n 2 c 2 2 e μ0 2 n 2 c 2 2
U=
I =
I
m 8π 2 4l 2
m 36π 2
⎛
a
l −a
+
wobei c = ⎜
⎜ R2 + a2
R 2 + (l − a ) 2
⎝
⎞
⎟ gilt
⎟
⎠
Im Versuch sollen dann für verschiedene Beschleunigungsspannung U der
Spulenstrom I ermittelt werden für den die Elektronen im selben Punkt auftreffen. Aus der
Geradensteigung kann dann der Wert von e/m bestimmt werden.