Statistik -¨Ubungen WS 2015

Statistik - Übungen WS 2015
Blatt 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Die nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon de Laplace benannten LaplaceExperimente beruhen auf der Annahme, dass bei einem derartigen Zufallsexperiment nur
endlich viele Ausgänge möglich sind, die alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten.
Spricht man im Falle eines Würfels von einem fairen, idealen oder Laplace-Würfel, so
nimmt man an, dass bei einem Wurf die sechs Seitenflächen des Würfels – 1, 2, 3, 4, 5,
1
6 – jeweils mit der Wahrscheinlichkeit auftreten. Es wird nun mit einem fairen Würfel
6
gewürfelt. Man betrachtet die folgenden Ereignisse:
A= „Zahl kleiner gleich vier“
D = {1, 3, 4, 6}
B = „ungerade Zahl“
C = „Zahl größer als drei“
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse A, B, C und D
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (A fi C), P (B fl D)
P
P
c) Zeigen Sie: die bedingte Wahrscheinlichkeit P (B | A) ist gleich P (B)
d) Sind B und A abhängig?
2. Eine Münze wird zweimal geworfen. „Kopf“ und „Zahl“ sind gleich wahrscheinlich, allerdings bleibt die (ziemlich dicke) Münze mit einer WK von 0,4 Prozent auf der Kante
stehen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man nun bei zweimaligem Werfen dieser
Münze
a) kein einziges Mal Kopf
b) genau zweimal Zahl?
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3. Ein zweistufiges Experiment wird wie folgt durchgeführt: Zuerst wird ein fairer Würfel
einmal geworfen. Dann werden so viele Münzwürfe mit einer ebenfalls fairen Münze (Kopf
oder Zahl treten mit jeweils 50 % Wahrscheinlichkeit auf) durchgeführt, wie die Augenzahl
ergab, höchstens aber drei Würfe.
a) Stellen Sie dieses Experiment durch einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsbaum dar
und geben Sie für alle möglichen Ergebnisse bzw. Abläufe deren Wahrscheinlichkeiten
an!
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man dann insgesamt genau zweimal „Kopf“?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man, nachdem eine Zahl größer als zwei geworfen wurde, genau zweimal „Kopf“?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Münze genau zweimal geworfen und ergibt
zweimal „Kopf“?
4. Man würfelt hintereinander mit zwei fairen regelmäßigen Würfeln. Folgende Ereignisse
werden betrachtet:
A: Die Augensumme ist gerade
B: Die erste gewürfelte Zahl ist gerade
C: Die Augensumme beträgt acht
D: Es ist keine gerade Zahl dabei
Die folgende Tabelle zeigt alle 36 möglichen Ergebnisse des Experimentes:
(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)
(5, 1)
(6, 1)
(1, 2)
(2, 2)
(3, 2)
(4, 2)
(5, 2)
(6, 2)
(1, 3)
(2, 3)
(3, 3)
(4, 3)
(5, 3)
(6, 3)
(1, 4)
(2, 4)
(3, 4)
(4, 4)
(5, 4)
(6, 4)
(1, 5)
(2, 5)
(3, 5)
(4, 5)
(5, 5)
(6, 5)
(1, 6)
(2, 6)
(3, 6)
(4, 6)
(5, 6)
(6, 6)
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse A, B, C und D an!
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten: P (C fl D) und P (C | D).
P
P
c) Ändert das Ergebnis (B oder nicht B) des ersten Wurfes die Wahrscheinlichkeit für
A?
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5. Nach der letzten Wahl in einer steirischen Gemeinde wurde die Wahlbeteiligung analysiert.
Dabei wurde die wahlberechtigte Bevölkerung in drei Gruppen eingeteilt:
Gruppe 1
Gruppe 2
Gruppe 3
Wahlberechtigte unter 35 Jahre
Wahlberechtigte von 35 bis 65 Jahre
Wahlberechtigte über 65 Jahre
30% der Wahlberechtigten
45% der Wahlberechtigten
25% der Wahlberechtigten
Die Wahlbeteiligung betrug in Gruppe 1: 87%, in Gruppe 2: 82%. Insgesamt beteiligten
sich 79,25%.
a) Wie groß war die Wahlbeteiligung in Gruppe 3?
b) Wie groß ist der Prozentsatz der Wahlberechtigten, die unter 35 Jahre alt sind und
nicht zur Wahl gingen?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammte ein abgegebener Stimmzettel von einer mindestens 35 Jahre alten Person?
6. Ein Geldautomat in einem Einkaufszentrum wird an einem Samstag besonders stark frequentiert. Die Zufallsgröße X zählt die in der Warteschlange vor dem Automaten stehenden Kunden. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Kunden warten, kann der folgenden
Tabelle entnommen werden:
k
P (X = k)
0
1
2
3
0,3
0,4
0,2
0,1
a) Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Zufallsvariablen X
P
b) Skizzieren Sie den Verlauf der Verteilungsfunktion
P
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein Kunde vor dem Geldautomaten
wartet?
P
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7. Die folgenden Graphen stellen Dichtefunktionen zweier Zufallsgrößen dar.
f(x)
c
0
i)
1
2
3
4
5
6
x
1
2
3
4
5
6
x
P
f(x)
2c
c
ii)
0
a) Ermitteln Sie aus beiden Zeichnungen die Wahrscheinlichkeiten für die Intervalle:
[1; 2, 5], ]≠Œ ; 3] und [4 ; 6]. Hinweis: c ermitteln!
b) Skizzieren Sie jeweils den ungefähren Verlauf der Verteilungsfunktion
8. In einer Schachtel befinden sich 12 Kugeln, 4 davon sind rot, 8 sind schwarz. Es werden
zufällig 3 Kugeln entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig genau 0, 1, 2
oder 3 rote Kugeln zu ziehen, wenn jede gezogene Kugel zurückgelegt und sofort wieder
untergemischt wird?
P
9. In einer Schachtel befinden sich 12 Kugeln, 4 davon sind rot, 8 sind schwarz. Es werden
zufällig 3 Kugeln entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig genau 0, 1, 2
oder 3 rote Kugeln zu ziehen, wenn jede gezogene Kugel nicht mehr zurückgelegt wird?
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10. Bestimmen Sie für eine Zufallsgröße X, die folgenden Verteilungen genügt, jeweils den
Erwartungswert und die Wahrscheinlichkeiten:
P (X = 3)
P (X > 2)
P (X œ {2, 3, 4})
a) Binomialverteilt B(5, 0.4)
b) Hypergeometrisch verteilt H(8, 4, 4)
P
11. Bestimmen Sie die WK dafür, beim Lotto „6 aus 49“ (Hinweis: Verteilung ermitteln!)
P
a) einen Sechser,
b) einen Fünfer,
c) einen Vierer,
d) keine richtige Zahl zu tippen!
12. In einem Casino befinden sich 20 Spielautomaten. Jeder ist auf eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 20% eingestellt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit an einem dieser Automaten bei den nächsten
fünf Spielen nie zu gewinnen?
P
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man an einem Automaten mehr als zwei der
nächsten fünf Spiele?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man an mindestens drei der 20 Automaten
mehr als zwei der nächsten fünf Spiele, wenn an jedem genau fünf Spiele gespielt
werden?
13. Um teure Rückrufaktionen von produzierten Mobiltelefonen zu vermeiden, werden von
einem Hersteller Akkus, die von einem Zulieferer hergestellt werden, einer Abnahmekontrolle unterzogen.
Dabei werden zehn Akkus aus einer eingegangenen Lieferung entnommen und auf Funktionsfähigkeit geprüft. Sind alle zehn Akkus in Ordnung, wird die Lieferung angenommen.
Sind jedoch zwei oder mehr defekt, wird die gesamte Lieferung zurück geschickt. Ist jedoch nur ein Stück fehlerhaft, wird eine weitere Stichprobe von 20 Stück entnommen. Nur
dann, wenn in dieser zweiten Stichprobe alle Akkus einwandfrei sind, wird die Lieferung
angenommen, andernfalls zurückgeschickt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lieferung angenommen wird, in der 30%
der Akkus fehlerhaft sind? Gehen Sie dabei der Einfachheit halber davon aus, dass die
Stichproben mit Zurücklegen durchgeführt werden.
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14. Eine Prüfung wird als Multiple-Choice-Test abgehalten. Es werden 5 Multiple-ChoiceFragen mit jeweils 6 möglichen Antworten vorgelegt, von denen jeweils genau eine Antwort
richtig ist.
P
a) Sie haben keine Ahnung von dem abgefragten Stoff und kreuzen bei jeder Frage jeweils eine Antwort rein zufällig an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben Sie danach
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Fragen richtig beantwortet?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beantworten Sie mit dieser Strategie mindestens drei
Fragen richtig?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit beantworten Sie mit dieser Strategie mindestens
zwei Fragen richtig, wenn Sie ganz sicher bei jeder Frage 3 Antwortmöglichkeiten
ausschließen können und zwischen den verbleibenden beiden Antwortmöglichkeiten
zufällig wählen?
15. Ein Angestellter geht so lange zu seinem Chef, bis er endlich eine Gehaltserhöhung bekommt. Die Zufallsgröße X sei die Anzahl der Versuche, bis die Gehaltserhöhung (zum
ersten Mal) gewährt wird.
a) Stellen Sie die Verteilung dieser Zufallsgröße soweit wie möglich in einer Tabelle dar,
wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit gleichbleibend immer dreißig Prozent beträgt.
b) Von seinen Kollegen weiß er, dass er nicht öfter als vier Mal hingehen kann. Mit
welcher WK bekommt er eine Gehaltserhöhung? Hinweis: Man zeichne ein Baumdiagramm!
16. Eine statistische Analyse der Konsultationen, die im Rahmen der wöchentlich angebotenen Sprechstunden von Studierenden wahrgenommenen wurden, ergab, dass es ein vergleichsweise seltenes Ereignis ist, dass ein Student zur Sprechstunde erscheint. Die Anzahl
X der Studierenden, die im Verlauf einer Sprechstunde zu einer Konsultation erscheinen,
kann hinreichend genau mit Hilfe einer Poissonverteilung mit Erwartungswert 1 beschrieben werden.
a) Erstellen Sie eine Tabelle für die Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 2 zur Sprechstunde
erscheinenden Studierenden!
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden im Verlauf einer Sprechstunde zwei oder
mehr Studierende erscheinen?
c) Interpretieren Sie den Verteilungsparameter ⁄.
d) An wie vielen der 18 Sprechstunden eines Semesters ist daher kein Studierender in
der Sprechstunde zu erwarten?
17. Eine Zufallsgröße X ist stetig gleichverteilt über dem Intervall [a, b]. Man weiß: P (X <
40) = 0, 2 und P (X > 50) = 0, 4. Bestimmen Sie a und b!
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18. Angenommen die Zeit, die ein Student von der Uni zu seinem Zuhause benötigt, ist
gleichverteilt zwischen 20 und 30 Minuten.
a) Wie viel Zeit nimmt sein Heimweg im Durchschnitt in Anspruch?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Student zwischen 26 und 28 Minuten
benötigt?
19. Die in Minuten gemessene Wartezeit an einer Theaterkasse kann als eine exponentialverteilte Zufallsgröße aufgefasst werden. Es wird angenommen, dass die durchschnittliche
Wartezeit 12,5 Minuten beträgt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wartet ein Theaterbesucher länger als zehn Minuten,
aber höchstens eine viertel Stunde?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wartet ein Theaterbesucher genau zehn Minuten?
20. Nachstehend finden Sie Dichtefunktion und Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsgröße.
Kennzeichnen Sie in diesen beiden Zeichnungen und bestimmen Sie mit Hilfe von Tabellen:
a) die Werte
(1, 5),
(≠1)
b) P (X œ ]≠Œ; 1]), P (X > 0, 5)
c) P (X œ [≠1, 5 ; 1])
P
d) den Wert u0,8
e) den Wert u0,15
P
f) einen Wert c, für den gilt: P (X < c) = 0, 9.
P
21. Eine Zufallsgröße unterliegt einer Normalverteilung N(2, 3)
a) Bestimmen Sie dafür die Wahrscheinlichkeit des Intervalls ]≠1; 3].
b) Bestimmen Sie zu dieser Verteilung das 0,2 - Quantil und das 0,9 - Quantil.
c) Bestimmen Sie die Zahl d derart, dass P (X > d) = 0, 3
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22. Eine weitere Zufallsgröße X ist N(2, 4)-verteilt.
P
a) Bestimmen Sie dafür die Wahrscheinlichkeit des Intervalls ]2; 8].
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt diese Zufallsgröße einen Wert unter 8 an?
c) Bestimmen Sie die Zahl c derart, dass P (X œ [2 ≠ c ; 2 + c]) = 0, 9.
Veranschaulichen Sie Ihre Berechnungen anhand an einer Skizze!
23. In einer Winzerei werden Weinflaschen mit einem Sollinhalt von 1,5 l bei einer Standardabweichung von 0,05 l abgefüllt. Wie groß ist unter Annahme der Normalverteilung und
Unabhängigkeit der Flascheninhalte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde, der 4
Flaschen kauft, wenigstens 5,95 l erhält?
24. Eine Zufallsgröße X ist N(25, 15)-verteilt.
P
a) Wie ist der Mittelwert X von hundert derartigen unabhängigen Zufallsgrößen verteilt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt dieser Mittelwert über 27?
25. Darf man die Binomialverteilungen B(40; 0,8) bzw. B(40; 0,4) durch eine Normalverteilung approximieren? Führen Sie, falls erlaubt, diese Approximation durch und berechnen
Sie sowohl exakt als auch unter Verwendung der Approximation die Wahrscheinlichkeit
P (X œ {14, 15, 16}). Argumentieren Sie die Notwendigkeit der Stetigkeitskorrektur!
26. Der Chevalier de Méré (1607 - 1684), ein französischer Edelmann im Zeitalter des Barocks,
behauptete, dass die Augensummen 11 und 12 beim dreifachen Würfelwurf gleichwahrscheinlich sind. Er argumentierte, dass es für die Augensumme 11 sechs verschiedene
Möglichkeiten gibt, nämlich
{1, 4, 6} , {1, 5, 5} , {2, 3, 6} , {2, 4, 5} , {3, 3, 5} , {3, 4, 4}
und für die Augensumme 12 ebenso sechs verschiedene Möglichkeiten, nämlich
{1, 5, 6} , {2, 4, 6} , {2, 5, 5} , {3, 3, 6} , {3, 4, 5} , {4, 4, 4}
In der Spielpraxis beobachtete er jedoch die Augensumme 11 häufiger als die Augensumme
12. Das stimmte mit seinen theoretischen Überlegungen, dass es für beide Augensummen
gleich viele Möglichkeiten gäbe, aber nicht überein. Worin lag sein Irrtum? Bestimmen
Sie die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 11, sowie die Augensumme 12.
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27. Das Gewicht von Flugzeugpassagieren setzt sich zusammen aus dem Körpergewicht und
dem Gewicht des Gepäcks. Das Körpergewicht eines Passagiers besitzt einen Erwartungswert von 65 kg, das Gewicht eines Gepäckstücks einen Erwartungswert von 15 kg. Die
beiden Standardabweichungen betragen 8 kg für das Körpergewicht und 3,2 kg für das
Gewicht eines Gepäckstücks. Es wird die Unabhängigkeit aller Zufallsgrößen vorausgesetzt!
a) Wie ist das Gesamtgewicht (Körpergewicht + Gepäck) von 180 Passagieren einer
Boeing 737-800 verteilt? Bestimmen Sie die Parameter dieser Verteilung!
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt dieses Gesamtgewicht über 14500 kg?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht dieses Gesamtgewicht um höchstens 1% vom
Erwartungswert ab?
Die mit P gekennzeichneten Beispiele sind von den Studierenden vorzubereiten und nach
Aufruf durch den/die Lehrveranstaltungsleiter/in an der Tafel zu präsentieren!
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