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Prof. U. Stephan
Wi-Ing 1.1
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Hinweise zum Gebiet "Komplexe Zahlen".
•
In den klassischen Zahlenbereichen  (natürliche Zahlen),  (ganze Zahlen),  (rationale Zahlen
= Brüche) und  (reelle Zahlen) gelten gewisse Rechenregeln. Darunter sind
a+b=b+a
.
Addition ist kommutativ
.
a b=b a
Multiplikation ist kommutativ
(a + b) + c = a + (b + c)
.
.
.
.
(a b) c = a (b c)
.
.
Multiplikation ist assoziativ
.
a (b + c) = a b + a c
•
ist stets lösbar.
a.x=b
ist lösbar für a ≠ 0
In den reellen Zahlen  ist für a ≥ 0 die Quadratwurzel eindeutig definiert.
Es gelten Wurzelgesetze wie
•
Distributivgesetz
In den reellen Zahlen  sind folgende Gleichungen lösbar:
a+x=b
•
Addition ist assoziativ
a ⋅b = a ⋅ b
In den reellen Zahlen  ist die Gleichung x = −1 nicht lösbar.
2
Ohne Beweis:
Man kann (als Mathematiker) eine Menge  (komplexe Zahlen) konstruieren, die folgende Eigenschaften hat:
•
Sie enthält alle reellen Zahlen, ist also eine Erweiterung von .
•
Sie enthält eine Zahl, deren Quadrat gleich –1 ist.
o
Diese Zahl heißt in der Mathematik i
:
i² = -1
o
In der Elektrotechnik heißt diese Zahl j :
j² = -1
.
•
Alle Elemente von  haben die Form a + b j mit a, b ∈ . Die reellen Zahlen haben also die Form
a + 0.j
.
•
Es gelten alle "üblichen" Rechengesetze mit der Ausnahme, dass man keine Quadratwurzel definieren kann, dass es also auch keine Wurzelgesetze gibt.
Die vier Grundrechenarten in den komplexen Zahlen:
•
Addition, Subtraktion und Multiplikation werden wie üblich ausgeführt.
•
Bei der Division durch eine komplexe Zahl erweitert man den Bruch mit der konjugiert komplexen
Zahl des Nenners (ist z = a + b ⋅ j , so ist z = a − b ⋅ j die zu z konjugiert komplexe Zahl).
Beispiel:
2 − 3 j (2 − 3 j ) ⋅ (3 − 4 j ) 6 − 8 j − 9 j − 12
6 17
=
=
=− −
j
3 + 4 j (3 + 4 j ) ⋅ (3 − 4 j )
25
25 25
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Geometrische Darstellung von reellen und komplexen Zahlen:
Für die geometrische Darstellung reeller Zahlen benutzt man den Zahlenstrahl:
0
1
Für die geometrische Darstellung komplexer Zahlen benutzt man die Gauß'sche Zahlenebene:
ℑ
z = a + b.j
b
r

a
ℜ
•
Die Achsen heißen reelle Achse ℜ und imaginäre Achse ℑ .
•
Die Beschreibung von z durch Realteil a und Imaginärteil bj heißt kartesische Darstellung.
•
Der Abstand von z zum Punkt 0 = 0 + 0.j wird als Betrag von z, also als |z| definiert. In der Zeichnung ist |z| als r bezeichnet.
•
Die Zahl z kann in der Gauß'schen Zahlenebene aber auch durch den Abstand zu 0 (also durch r
oder |z|) und durch den Winkel  beschrieben werden, den r mit der reellen Achse bildet. r und 
sind die Polarkoordinaten von z.  ist dabei nur bis auf Vielfache von 360° bestimmt.
•
Die reelle Achse hat also die Richtung 0°, und positive Winkel werden (wie in der Mathematik
üblich) gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
Zusammenhänge:
a = r ⋅ cos ϕ
b = r ⋅ sin ϕ
r 2 = z ⋅ z = a2 + b2
tan ϕ =
b
a
Die letzte Beziehung gilt natürlich nur für a ≠ 0 .
Schreibweise:
jϕ
= r ⋅ (cos ϕ + j sin ϕ )
Man schreibt die komplexe Zahl z auch als z = r ⋅ e
Diese Form heißt Exponentialschreibweise. e ist dabei die Eulersche Konstante (Wert:
2.718281828459......).
Ohne Beweis:
Bei der Exponentialschreibweise handelt es sich wirklich um Potenzen. Man darf also damit rechnen,
und die von den reellen Zahlen her bekannten Potenzgesetze anwenden.
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z1 = r1 ⋅ e jϕ1
Sei
z 2 = r2 ⋅ e jϕ 2
und
Dann gilt:
z1 ⋅ z 2 = r1 ⋅ r2 ⋅ e j (ϕ1 +ϕ 2 )
Aufgaben rechnen:
•
Umrechnung von Exponentialform in kartesische Form::
Sind r und  gegeben, so berechnet man einfach a = r ⋅ cos ϕ
b = r ⋅ sin ϕ und er-
hält z = r ⋅ (cos ϕ + j sin ϕ ) = a + b ⋅ j
•
Umrechnung von kartesischer Form in Exponentialform:
Man bestimmt r aus r = z ⋅ z = a + b
2
2
2
(Pythagoras).
Die Bestimmung von  erfordert etwas mehr Aufwand:
o
Ist a = 0, so überlegt man sich direkt die Position in der Gauß'schen Zahlenebene und
bestimmt daraus  (das dann einen Wert wie 90° oder –90°  270° hat).
o
Ist a ungleich Null, so bestimmt man mit dem TR aus tan ϕ =
ϕ * = arctan
b
einen Wert
a
b
*
. Dieses ϕ liegt immer zwischen –90° und +90° .
a
Ist a > 0 (liegt z also rechts von der imaginären Achse), so ist ϕ bereits das gesuchte
ϕ . Hat man einen negativen Wert und hätte gerne einen positiven Wert, so addiert
man dazu 360° .
*
Ist a < 0, so gilt
ϕ = ϕ * + 180° .
Beispiele:
1 1
2 ⋅ e j⋅60° = 2 ⋅ (cos 60° + j sin 60°) = 2 ⋅ ( +
3 j) = 1 + 3 j
2 2
4e j⋅210° = 4 ⋅ (cos 210° + j sin 210°) = 4 ⋅ (− cos 30° − j sin 30°) = 4 ⋅ (−
1
1
3 − j ) = −2 3 − 2 j
2
2
(Bei der 2. Formel sollten Sie erkennen, dass 210° = 180° (halber Kreis) + 30° ist und dass 30° zu den
Werten gehört, deren sin/cos-Werte wir exakt angeben können).
4 (eine rein reelle Zahl) = 4 + 0.j =
1 + 1 ⋅ j = 2 ⋅ e j⋅45°
z = 3 + 4 .j
:
4 ⋅ e j ⋅0 °
(Anschauung und Pythagoras)
es folgt r² = 9 + 16 und r = 5.
Aus tan  = 4/3 folgt * = 53,13°
. Da z rechts von der imaginären Achse liegt, folgt
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3 + 4 j = 5 ⋅ e j⋅53,13°
5 j = 5 ⋅ e j ⋅90°
(Anschauung)
− 2 j = 2e j⋅270°
(Anschauung)
z = -12 + 5.j
Problem: tan ϕ =
:
aus r² = 144 + 25 = 169 folgt r = 13
5
−5
hat die gleiche Lösung wie tan ϕ =
, d.h. zu zwei verschiedenen komple− 12
12
xen Zahlen liefert diese Beziehung zuerst einmal den gleichen Wert für  . Deshalb haben wir diesen
errechneten Wert erst einmal * genannt.
Hier liefert der TR * = -22,62° . Die Anschauung der Gauß'schen Zahlenebene zeigt aber, dass der
Winkel irgendwo zwischen 90° und 180° liegen muss. Deshalb folgt  = * + 180° = 157,38°, also
− 12 + 5 j = 13 ⋅ e j ⋅157 ,38°
Die Exponentialschreibweise eignet sich hervorragend, Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen
zu berechnen.
Beispiel:
6
 2j 
 2 j 1+

 = 
⋅
1− j 
1− j 1+
Beispiel:
6
6
j
−2+2j
6
 = 
 = (− 1 + j ) =
2
j


(
2 ⋅ e j⋅135°
Gesucht sind die (komplexen) Lösungen von
) = ( 2) ⋅e
6
6
j ⋅810°
= 2 3 ⋅ e j⋅90° = 8 j
zn = 1
Diese Lösungen heißen die "n-ten Einheitswurzeln". Das Wort "Wurzel" wird hier im Sinne von "Lösung einer Gleichung" benutzt und darf nicht mit dem Begriff "Wurzel" der reellen Zahlen verwechselt
werden.
Für die Lösung solcher Gleichungen vom Typ zn = w gibt es ein standardisiertes Verfahren. Wir führen
es für w = 1 vor.
Ansatz:
z = r ⋅ e j ⋅ϕ
Obige Gleichung lautet jetzt also
ergibt
z n = r n ⋅ e j ⋅ nϕ
r n ⋅ e j ⋅ n ϕ = 1 = 1 ⋅ e j ⋅0 °
Da r und rn positive reelle Zahlen sind, folgt aus rn = 1 sofort r = 1. Alle Lösungen liegen also auf dem
Einheitskreis (Kreis mit Radius 1 um den Punkt 0 = 0+0.j).
Beim Vergleich der Potenzen von e muss man aber beachten, dass die Winkel nie eindeutig gegeben
sind, man kann stets beliebige Vielfache von 360° dazuaddieren. Die 1 lässt sich in Exponentialform
auch so darstellen:
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1 = 1 ⋅ e j⋅0° = 1 ⋅ e j ⋅360° = 1 ⋅ e j ⋅720° = ...
Damit erhalten wir folgende Lösungen für :
Nr. der Lösung
Winkel α in
1 = 1⋅ e
jα
Wert für  = n. α
0
0°
0°
1
360°
60°
2
2.360° = 720°
120°
3
3.360° = 1080°
180°
4
4.360° = 1440°
240°
5
5.360° = 1800°°
300°
6
6.360° = 2160°
360°
Wir bemerken, dass Lösung Nr. 6 identisch ist mit Lösung Nr. 0. Eine Gleichung der Form zn = w hat
im Komplexen immer genau n Lösungen (ohne Beweis).
Aufgabe: Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung z = −32 . Geben Sie die Lösungen (als Näherungswerte) in kartesischer Form an und zeichnen Sie sie in der Gauß'schen Zahlenebene.
5