Trainingsblatt 1 - Prof. Dr. Bernd Hartke

Mathematik für Chemiker I • Prof. Dr. B. Hartke, Universität Kiel, [email protected]
Trainingsblatt 1
30.10.2012
1) Beweisen Sie den folgenden Satz mit abstrakten Vektoren (ohne Bezug auf konkrete
Komponenten), deren Addition bzw. Subtraktion und Multiplikation mit Skalaren:
In jedem beliebigen Viereck halbieren sich die Strecken, die gegenüberliegende
Seitenmitten verbinden.
2) Finden Sie einen Vektor senkrecht zu ~a und ~b,
a) wenn ~a = ı̂ − 3̂ + 2k̂ und ~b = 5ı̂ − ̂ + 4k̂;
b) wenn ~a = ı̂ + ̂ und ~b = ı̂ − 2k̂.
3) (ohne Bezug auf Komponenten:)
a) Zeigen Sie, daß die Vektoren ~x = |~b|~a + |~a|~b und ~y = |~b|~a − |~a|~b orthogonal sind.
b) Was ist das Ergebnis der Operation (~a × ~b)2 + (~a · ~b)2 ?
4) Der Punkt (1|1|1) liegt in den beiden Ebenen e1 und e2 . Die x-Achse liegt in e1 ,
die y-Achse liegt in e2 .
a) Konstruieren Sie die Gleichungen für e1 und e2 in Parameterform.
b) Stellen Sie durch explizite Berechnung die Gleichung für die Schnittgerade der
beiden Ebenen in Parameterform auf. Durch welche Einsicht hätten Sie diese
Schnittgerade auch ohne Rechnung erhalten können?
c) Berechnen Sie den Schnittwinkel von e1 und e2 als Winkel der EbenenNormalenvektoren ~n1 und ~n2 . Wählen Sie dabei das Gesamtvorzeichen von ~n1
bzw. ~n2 so, daß sich der kleinstmögliche Winkel ergibt.
d) Konstruieren Sie ~n3 als Vektor entlang der Winkelhalbierenden zwischen ~n1
und −~n2 (Beachten Sie das Minuszeichen!). Geben Sie die Normalenform
einer Ebenengleichung für eine weitere Ebene e3 an, die ebenfalls den Punkt
(1|1|1) enthält und ~n3 als Normalenvektor hat. Begründen Sie anhand dieser
Normalenform, warum e3 die z-Achse enthalten muß.
5) Gegeben sind die vier Punkte P1 (3/2| − 2| − 1), P2 (3/2|1| − 1), P3 (−1| − 3/2| − 1) und
P5 (1| − 3/2|1) (siehe Zeichnung; die mit ד bezeichneten Punkte befinden sich unter
”
der z-Ebene, die mit “ bezeichneten über der z-Ebene; O“ ist der Ursprung).
”
”
bitte wenden!
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P7
P8
P
P
3
4
y
P
P
5
6
P1
P2
x
−−→
−−→
−−→
a) Die drei Vektoren ~a = P1 P2 , ~b = P1 P3 und ~c = P1 P5 spannen einen Spat
auf. Konstruieren Sie die Koordinaten der übrigen vier Eckpunkte dieses Spats
(P4 , P6 , P7 , P8 ) durch Addition geeigneter Vektoren. (Hinweis: Beachten Sie den
−−−→
−−→
Unterschied zwischen Ortsvektoren OPn und Richtungsvektoren Pn Pm .)
b) Geben Sie die Gerade g1 durch P1 und P8 in Parameterform an.
c) Geben Sie die Ebene e1 durch P2 , P3 und P6 in Parameterform an.
d) Konstruieren Sie den Schnittpunkt von g1 mit e1 .
e) Geben Sie die Ebene e2 durch P1 , P4 und P5 in Parameterform an und wandeln
Sie diese anschließend in die Normalenform um.
f) Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen e1 und e2 ? (Berechnen Sie
diesen Winkel als Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren.)
bitte wenden!