1. Leseprobe - STARK Verlag

Schleswig-Holstein – Mathematik Leistungskurs
Analytische Geometrie: Übungsaufgabe 2
Gegeben sind die Punkte A(–1 | 2 | 1), B(2 | 0 | 3) und C(–2 | 2 | 0) sowie die Ebene
E1: 6x1 + 9x2 – 2x3 = 6.
1. Geben Sie eine Gleichung der Ebene E2, die die Punkte A, B und C enthält, in
Parameterform und in Normalenform an und bestimmen Sie den Schnittwinkel
und die Schnittgerade g der Ebenen E1 und E2.
2. Zeigen Sie, dass es eine Kugel K mit Mittelpunkt M(6 | 2 | 2) gibt, die E1 und E2
berührt, und geben Sie die Gleichung der Kugel sowie einen der Berührpunkte
an.
Fertigen Sie zu dieser Aufgabe eine Schnittzeichnung an, in der der in Teilaufgabe 1 bestimmte Winkel zu sehen ist.
3. Bestimmen Sie die Ebene EW in Normalenform, die M und g enthält, und weisen
Sie per Rechnung nach, dass jeder Punkt dieser Ebene genauso weit von E1 entfernt ist wie von E2.
4. EW ist eine der Winkelhalbierendenebenen von E1 und E2.
Entscheiden Sie, ob sie den größeren oder den kleineren Winkel zwischen E1 und
E2 halbiert.
Bestimmen Sie die Gleichung der zweiten Winkelhalbierendenebene.
5. Leiten Sie eine Formel her, mit der man allgemein aus den Normalenvektoren n1
und n 2 zweier sich schneidender Ebenen E1 bzw. E2 die Normalenvektoren der
Winkelhalbierendenebenen von E1 und E2 bestimmen kann.
43
Hinweise und Tipps
Teilaufgabe 1
r Bestimmen Sie aus den gegebenen Punkten Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen.
r Ein zu diesen Vektoren orthogonaler Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene.
r Der Schnittwinkel γ zweier Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren der beiden Ebenen.
r Es gilt: cos( γ ) = n1 n2
| n1 | ⋅ | n 2 |
r Um die Schnittgerade von zwei Ebenen zu bestimmen, setzen Sie die Parameterform
der einen Ebene in die Normalenform der anderen ein.
Teilaufgabe 2
r Bestimmen Sie den Abstand des Punktes M von der Ebene E1 (oder von der Ebene
E2).
r Ermitteln Sie den Lotfußpunkt von M auf E1 (oder auf E2)
r Zeigen Sie, dass M denselben Abstand auch von E2 bzw. E1 hat.
r Die Gleichung einer Kugel um M mit Radius r lautet: K: (x − M) 2 = r 2
Teilaufgabe 3
r Sie können den Richtungsvektor von g und einen Vektor XM mit X ∈ g als Richtungsvektoren für die Ebene EW wählen.
r Führen Sie die Berechnung des Abstandes zu E1 bzw. E2 allgemein für einen Punkt
von EW durch. Benutzen Sie dazu die Parameterdarstellung von EW.
r Der Abstand eines Punktes P von der Ebene E mit dem Normalenvektor n ist:
n (P − X)
d(P,E) =
mit X ∈ E
|n|
Teilaufgabe 4
r Berechnen Sie den Winkel zwischen EW und E1 und interpretieren Sie das Ergebnis.
r Wie muss die zweite Winkelhalbierendenebene zu EW liegen?
r Die zweite Winkelhalbierendenebene ist orthogonal zu EW und zur Schnittgeraden g
von E1 und E2.
Teilaufgabe 5
r Fertigen Sie eine sorgfältige Zeichnung der Ebenen und ihrer Normalenvektoren so
an, dass die Schnittgerade der Ebenen orthogonal zur Zeichenebene verläuft.
r Wählen Sie betragsgleiche Normalenvektoren für die Ebenen E1 und E2.
44
Lösung
r
r
r
r
r
E 2 (r, s) bezeichnet den Ortsvektor des Punktes der Ebene E2, den man erhält, wenn
man in eine gegebene Parameterform der Ebene die Parameter r und s einsetzt.
Damit ist bei gegebener Parameterform jedem (r, s) ∈ 02 genau ein Punkt der Ebene
bijektiv zugeordnet. Entsprechende Notationen werden auch für Parameterdarstellungen von Geraden verwendet.
1. Zunächst wird die Parameterform der Ebene E2 aufgestellt.
 −1
E 2 (r, s) = A + r ⋅ AB + s ⋅ AC =  2  + r ⋅ (B − A) + s ⋅ (C − A)
 1
 
 −1
 3
 −1
=  2  + r ⋅  −2  + s ⋅  0 
 1
 2
 −1
 
 
 
Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt den Normalenvektor n 2 :
 3   −1  2 
n 2 = (AB × AC) =  −2  ×  0  =  1
 2   −1  −2 
     
Daraus erhält man die Normalenform von E2:
 2   2   −1
E 2: n 2 x = n 2 A ⇔ E 2:  1 x =  1  2 
 −2 
 −2   1
 
   
 2 ⇔ E 2:  1 x = −2
 −2 
 
Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist gleich dem Schnittwinkel der beiden
Normalenvektoren der Ebenen:
 6  2
 −92   −21
n n
   
γ = arccos 1 2 = arccos
2
2
| n1 | ⋅ | n 2 |
6 + 9 + 2 2 ⋅ 2 2 + 12 + 2 2
25
= 40,75° bzw.139,25°
11 ⋅ 3
Der Winkel zwischen den Normalenvektoren n1 und n 2 beträgt etwa 40,75°,
d. h., dass sich die Ebenen E1 und E2 unter einem Winkel von 40,75° bzw.
(180° – 40,75°) = 139,25° schneiden.
(Vergleichen Sie mit der Zeichnung aus Aufgabenteil 2.)
Um die Schnittgerade von E1 und E2 zu bestimmen, wird die Parameterform von
E2 in die Normalenform von E1 (in der Aufgabe gegeben) eingesetzt. Man erhält
eine Gleichung, die einen Zusammenhang der Parameter darstellt. Diese löst man
nach einem Parameter (hier: r) auf und setzt ihn in die Parameterform von E2 ein:
= arccos
r
r
r
r
45